【正文】 動(dòng)力系統(tǒng)的分形圖形分析和繪制 34 34 參考文獻(xiàn) [1]潘金貴，艾早陽(yáng)．分形藝術(shù)圖形設(shè)計(jì) [M]．南京：南京大學(xué)出版社， 1998. [2]謝和平等．分形幾何中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及應(yīng)用 [M]．重慶：重慶大學(xué)出版社， 1992. [3]黨有杰．迭代函數(shù)系統(tǒng)和分形插值算法研究 [D]．西安：西北工業(yè) 。 我的作品當(dāng)中仍然有許多待完善和補(bǔ)充的地方，希望后來(lái)者能夠彌補(bǔ)這些缺陷。完成 《 動(dòng)力系統(tǒng)的分形圖形 分析和繪制 》經(jīng)過(guò)了兩個(gè)多月的 艱苦奮戰(zhàn) 。分形是我從來(lái)都沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)的新知識(shí)，從當(dāng)初拿到課題時(shí)的手足無(wú)措，到現(xiàn)在對(duì)分形有了很深入的了解，都是在何老師的幫助下完成的。本文主要討論了分形圖形的繪制與分析，但對(duì)分形的維數(shù)和連通性沒(méi)有做深入的研究和探討，希望后人能進(jìn)一步研究這方面的 問(wèn)題，深入分析高次方程的連通性。 結(jié)束語(yǔ) 分形發(fā)展至今已經(jīng)滲透到現(xiàn)代科技生活的各個(gè)領(lǐng)域，尤其是分形幾何的研究更是不斷的發(fā)展當(dāng)中。 else %修正 2：原始分支條件仍不完備， bug 時(shí) x,y=NaN seta=pi/2。 y=0 seta=pi+atan(y/x)。 else seta=pi/2。 動(dòng)力系統(tǒng)的分形圖形分析和繪制 31 31 if disdelta f=i。 seta=f_arg(x,y)。)。c.39。 case 4 plot(x,y,39。)。c.39。 if f0 switch rem(f,7) case 0 plot(x,y,39。 b1=。 3． 接著在復(fù)平面上取第二個(gè)點(diǎn)，記為 0z 按照第 2 步 的方式進(jìn)行迭代繪制出復(fù)平面上所有的 點(diǎn)。當(dāng)初始點(diǎn) 0z 距離方程1)( 2 ??zzf 根較近時(shí)，迭代次數(shù)較少，距離遠(yuǎn)時(shí)，迭代過(guò)程就越多甚至于不收斂。在這里我們直接給出算法所需的迭代公式： 動(dòng)力系統(tǒng)的分形圖形分析和繪制 29 29 ? ?? ? ? ??????????????????nnntztznty nnntztzntx1]1s i n1s i n1[11]1c os1c os)1[(1???? （ ） 牛頓迭代法的算法 在復(fù)平面上選取一個(gè) 類似于計(jì)算機(jī)屏幕的窗口 ， 我們 將這個(gè)窗口均勻離散為 有限個(gè)點(diǎn)， 假 設(shè)這些離散的點(diǎn)為初始原點(diǎn) 0z 。我們用 })(:{)( wzfzwA d ?? 表示零點(diǎn) w 的吸引域，即在牛頓迭代法下收斂于初始點(diǎn)集。 ? 是定義域中的一個(gè)點(diǎn)。這些原創(chuàng)的經(jīng)典圖案，可以為現(xiàn)代的廣告，染色，動(dòng)畫(huà)設(shè)計(jì)等提供高質(zhì)量的資源。現(xiàn)在我們給出一些函數(shù)的迭代圖案。 Mandelbort(30,500) Mandelbort(10,500) 圖 廣 義 Mandelbrot 集不同參數(shù)的圖形 根據(jù)上面兩節(jié)繪制出來(lái)的圖形，我們可以得到廣義 Julia 集和 Mandelbrot 的圖形都很不規(guī)則，事實(shí)上它以一般的分形圖形一樣，都是不能由傳統(tǒng)的集合圖動(dòng)力系統(tǒng)的分形圖形分析和繪制 26 26 形來(lái)描述的，而且這些圖形如果通過(guò)放大局部我們可以得到整體與局部具有相似的性質(zhì)。 z=cos(pi*z).*c。 c=Re+1i*Im。 Julia8(+,10,300) Julia8(+,10,300) Julia8(+,18,300) Julia8(+,18,300) 圖 廣義 Julia 集不同參數(shù)的分形圖 Mandelbrot 集算法與圖形繪制 對(duì)于廣 義的 Mandelbrot 集的算法思想與 Julia 集的類似，只是將 c 值的區(qū)域設(shè)置為 ],[],[ MMMM ??? ,然后區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)用逃逸時(shí)間算法進(jìn)行繪圖， MATLAB清單如下： function Mandelbrot(k,v) M=2。 B=B+(abs(A)=M)。 d=linspace(M,M,v)。 3． 將區(qū)域 ],[],[ MMMM ??? 分成 vv? 的網(wǎng)格，以每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)為迭代初始值00 iyxz ?? ，代入方程 )(zf 中迭代。第一種，趨向于無(wú)窮；第二種，趨向于零；第三種， 0z 會(huì)變化，非 1 和非 2。 動(dòng)力系統(tǒng)的分形圖形分析和繪制 23 23 事實(shí)上我們第二和第三章都用到了逃逸時(shí)間算法的原理，為了下面的分析我們有必要進(jìn)一步加深對(duì)逃逸時(shí)間算法的理解。我們同樣可以改變上面的式子 A=A.*A.*A+ones(v,v)*c 中 A 的個(gè)數(shù)，即可以推廣到更高階。 axis equal。 end。 A = ones(v,1)*d+1i*(ones(v,1)*d)39。 k = 14。標(biāo)記初動(dòng)力系統(tǒng)的分形圖形分析和繪制 21 21 始值 cz? 迭代后收斂的 c 組成的集合，即我們所要繪制的 bzazzfc ??? 24)(的分形圖。設(shè) D 的子集 F 為一個(gè)閉集， F 在映射 f 的作用下不變，對(duì)于包含 F 的開(kāi)集 V 中所有的點(diǎn)， )(xfk 到 F 的距離隨著 k 趨于無(wú)窮大而趨于 0。設(shè) )(fk 為一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)， x0 為初始點(diǎn)，令 )( 01 xfx ? ， )(),(),(544332 xfxxfxxfx ???...等等。 ③ 當(dāng) f 的臨界點(diǎn)不滿足 1， 2 時(shí)， f 的 J 集有可數(shù)個(gè)非平凡的連通集。在這種情況下， Julia 集有無(wú)窮個(gè)連通分支，所以研究什么時(shí)候 Julia 集 是完全不連通的就成為一個(gè)重要的問(wèn)題 ， Branner 和Hubbard 通過(guò)研究三次多項(xiàng)式，發(fā)明了拼圖技巧的研究方法，利用拼圖技巧，他們發(fā)現(xiàn)三次多項(xiàng)式有一個(gè)臨界軌道趨于無(wú)窮，另一個(gè)臨界軌道是有界的。本章主要介紹更為復(fù)雜的雙二次動(dòng)力系統(tǒng)，雙二次多項(xiàng)式即是兩個(gè)二次多項(xiàng)式的 復(fù) 合 ， 也 即 是 偶 四 次 多 項(xiàng) 式 ， 在 同 一 個(gè) 線 性 共 軛 下 可 以 記 做bzazzf c ??? 24)( ，其中 ba, 是參數(shù)， 0 是它的一個(gè)臨界點(diǎn)，另外還有兩個(gè)對(duì)稱的臨界點(diǎn)。 ② 逃逸時(shí)間算法更復(fù)雜迭代次數(shù)多，而反函數(shù)迭代法迭代次數(shù)少。我們根據(jù) （ ） 式，求 kz 逆像 1?kz 的過(guò)程表示為函數(shù)迭代系統(tǒng)： ???????????????????kkikk yxuyx11 ， ||,2,1 wi ?? （ ） 其中 ? ?wipu ii ?3,2,1, ? ，概率 1,00 ?? ??ai ii pp，為使得生產(chǎn)的 Julia 集圖形均勻，不妨取概率相等。 反函數(shù)迭代法的算法 填充的 Julia 集的圖形可以用 多種方法，比如說(shuō)最基本的 逃逸時(shí)間算法， 還有 旋轉(zhuǎn)逃逸時(shí)間算法， 以及 IFS 吸引子算法等等。 Julia 集的標(biāo)準(zhǔn)定義為： 動(dòng)力系統(tǒng)的分形圖形分析和繪制 17 17 }z}{|{)( n 非正規(guī)在點(diǎn)函數(shù)族 fCzfJ ?? （ ） 令 )(1 zfz kk ??，我們稱 zk1? 為前像， zk 為后像，在復(fù)映射 )(zf 中，前像是唯一的，后像則有可能有多個(gè)。而 Mandelbrot 集 ，則是這個(gè)四維圖形在 0?c 處的一個(gè)切片，并且是最具有概括力的一個(gè)切片。 Julia 集 、 Im(c) 1 1 Re（ c） 2 動(dòng)力系統(tǒng)的分形圖形分析和繪制 16 16 Mandelbrot 集上的 Julia 集 就是給 定 c 的實(shí)部、虛部后所得的結(jié)果，而 Mandelbrot 集 則是限定 z 的實(shí)部和虛部均為 0 后 得出來(lái) 的結(jié)果。 其實(shí)上述的方法簡(jiǎn)單的用文字來(lái)說(shuō)就是我們將 這個(gè)矩形與屏幕上的區(qū)域進(jìn)行映射，也就是將屏幕上的一個(gè)像素映射為該矩形內(nèi)一點(diǎn)，如果點(diǎn)屬于 Mandelbrot 集，就將該像素著為紅色，這樣逐一對(duì)每個(gè)像素進(jìn)行判斷和著色，就如上面繪制出的Mandelbrot 集一樣，矩形長(zhǎng)寬比為 3:2，精度 為 800*600 的矩形區(qū)域。 n=n+1。 k=[k(1)^2k(2)^2k(3)^2。c=u。 for j=1:b+1。b=600。 qmin=。 v2=[0 1 0 0]’ 。令 1 0 0, m a xm i nm a xm i n ??????? Mqqpp 令 b qqqa ppp m inm a xm inm a x ?????? ， 對(duì)所有 )( qp nn， ，其中 。依次遍歷整個(gè)計(jì)算機(jī)屏幕后，我們可以得到 Mandelbrot 集圖形。 經(jīng)過(guò)研究和計(jì)算事實(shí)上，只要 Mandelbrot 集合當(dāng)中對(duì) 應(yīng)序列中任意一個(gè)元素的模都不大于 2，那么這個(gè)點(diǎn)就是 Mandelbrot 集合 內(nèi) 部 的 點(diǎn)。序列 ))),0((),0(,0( ?ccc fff 的元素的模（復(fù)數(shù)具有模的概念）或者延伸到無(wú)窮大，或者只停留在有限半徑的圓盤內(nèi) 。而動(dòng)力平面卻不一樣。所以Mandelbrot 可表示為： |{ CcM ?? 迭代 { cz?0 and czznn ??? 21 保持收斂 } （ ） Mandelbrot 把 c 的參數(shù)平面被分為兩面， M 集和它的補(bǔ)集。 end 動(dòng)力系統(tǒng)的分形圖形分析和繪制 11 11 Julia(i,512,200,0,0,1) Julia(i,512,200,0,0,2021) a 圖 b 圖 圖 參數(shù)變化時(shí)候的 Julia集 上圖中的初始點(diǎn)為原點(diǎn)，參數(shù) ic? ，經(jīng)過(guò) 200 次的迭代后圖形收斂于一個(gè)完全連通的區(qū)域，由此可知每一步迭代復(fù)數(shù) z 的模都不會(huì)超過(guò) 。 z(abs(z)2)=0。 C=c*ones(res,res)。 y=linspace(y0,y1,res)。x1=xc+2/xoom。 1． 設(shè)定 inm in ??? yx ， 2maxmax ?? yx ， 100?M ；我們假設(shè)1/)( m inm a x ???? axxx ， 1/)( m inm a x ???? byyy ，對(duì)所有點(diǎn) ),( yx nn 實(shí)現(xiàn)下面的步驟，其中 1,3,2,1,01,3,2,1,0 ???? bnan yx ?? 和。 將其 代入多項(xiàng)式 )(zfc 當(dāng)中，則 可以得到 二 維映射迭代公式 : pyxx ttt ???? 221 ， qyxy ttt ??? 21 () Julia 集的 逃逸時(shí)間算法原理 簡(jiǎn)單描述 ， Julia 集內(nèi)部收斂于一個(gè)點(diǎn) 或收斂于多個(gè)點(diǎn)，而外部 這些點(diǎn) 隨著逃逸時(shí)間 t 的 增加 將會(huì) 發(fā)散到 ? ， 這些 逃逸邊界 就 是我們 想 要研究的 Julia 集。多次映射后，我們得出一個(gè)新的復(fù)數(shù)，將其變換后賦給 )( 00 yxz ， 。在 Julia 集中，當(dāng)1??c ，那么這個(gè) Julia 集是連通的，但卻不是簡(jiǎn)單的閉合的。在復(fù)平面上任意取一個(gè)復(fù)數(shù)值 z0 ，代入下面的方程進(jìn)行迭代運(yùn)算： czz nn ??? 21 Cc? () p0 內(nèi)的點(diǎn)可以認(rèn)為是復(fù)平面上的吸引域，原點(diǎn) 00?z 為吸引點(diǎn)。 對(duì)多項(xiàng)式 f ，以 z0 為原始迭代點(diǎn)，它的軌跡有下面的序列： z0 ， )( 01 zfz ? ， ... )(1 zfz nn ?? , ... 動(dòng)力系統(tǒng)的分形圖形分析和繪制 8 8 由上可得，動(dòng)力系統(tǒng)上的每一個(gè)初始點(diǎn)在經(jīng)過(guò)迭代后會(huì)生成一條軌跡 。 由上可得在映射 f 下點(diǎn) z 的迭代順序 )}({ zfn 是在 fc下點(diǎn) )(zH 的迭代順序))}(({ zHf n 在 H1? 下面的象。如果函數(shù) )(zR 有公式： )( )()( zq zpzR ?