【正文】 ∴，∴，即 ，∵，∴，∴P1（1，）；②若AD是矩形的一條對(duì)角線，則線段AD的中點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，），Q（2，），m＝，則P（1，8a），∵四邊形APDQ為矩形，∴∠APD＝90176?！摺螦EM＝90176?！唷螹PD＝∠BPE＝45176?！進(jìn)E⊥x軸于點(diǎn)E，PB＝t∴∠BEP＝90176。故有∠DMP=90176。9．如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B與y軸交于點(diǎn)C（0，3），拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式； （2）在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC為等腰三角形？若存在．請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)； （3）有一個(gè)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度在AB上向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)N從點(diǎn)D與點(diǎn)M同時(shí)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，問(wèn)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△MNB面積最大，試求出最大面積．【答案】（1）二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2﹣4x+3；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，3）或（0，0）；（3）當(dāng)點(diǎn)M出發(fā)1秒到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，△MNB面積最大，最大面積是1．此時(shí)點(diǎn)N在對(duì)稱軸上x軸上方2個(gè)單位處或點(diǎn)N在對(duì)稱軸上x軸下方2個(gè)單位處．【解析】【分析】（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程組，解方程組即可得二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理求得BC的長(zhǎng)，當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)分三種情況進(jìn)行討論：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；分別根據(jù)這三種情況求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)AM=t則DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=（2﹣t）2t=﹣t2+2t，把解析式化為頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得△MNB最大面積；此時(shí)點(diǎn)M在D點(diǎn)，點(diǎn)N在對(duì)稱軸上x軸上方2個(gè)單位處或點(diǎn)N在對(duì)稱軸上x軸下方2個(gè)單位處．【詳解】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，解得：b=﹣4，c=3，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2﹣4x+3；（2）令y=0，則x2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=3，點(diǎn)P在y軸上，當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)分三種情況進(jìn)行討論：如圖1，①當(dāng)CP=CB時(shí)，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；②當(dāng)PB=PC時(shí)，OP=OB=3，∴P3（0，3）；③當(dāng)BP=BC時(shí)，∵OC=OB=3∴此時(shí)P與O重合，∴P4（0，0）；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如圖2，設(shè)AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，則DN=2t，∴S△MNB=（2﹣t）2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，當(dāng)點(diǎn)M出發(fā)1秒到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，△MNB面積最大，最大面積是1．此時(shí)點(diǎn)N在對(duì)稱軸上x軸上方2個(gè)單位處或點(diǎn)N在對(duì)稱軸上x軸下方2個(gè)單位處．10．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三點(diǎn)．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖1，P為拋物線上在第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，若△PAC面積為3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，D為拋物線的頂點(diǎn)，在線段AD上是否存在點(diǎn)M，使得以M，A，O為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，4）或（﹣2，3）；（3）存在，（，）或（，），見解析.【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法，然后將A、B、C的坐標(biāo)代入解析式即可求得二次函數(shù)的解析式；（2））過(guò)P點(diǎn)作PQ垂直x軸，交AC于Q，把△APC分成兩個(gè)△APQ與△CPQ，把PQ作為兩個(gè)三角形的底，通過(guò)點(diǎn)A，C的橫坐標(biāo)表示出兩個(gè)三角形的高即可求得三角形的面積．（3）通過(guò)三角形函數(shù)計(jì)算可得∠DAO=∠ACB，使得以M，A，O為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則有兩種情況，∠AOM=∠CAB=45176。∴點(diǎn)P 的坐標(biāo)為（2，﹣2）。若，解得x=4 或x=0（舍去）。若∠POB=90176。又∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（ ，﹣），＜4，∴x軸下方不存在B點(diǎn)?！郃O=3。（3）根據(jù)B點(diǎn)坐標(biāo)可求出直線OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，代入二次函數(shù)解析式可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)．求△POB的面積時(shí)，求出OB，OP的長(zhǎng)度即可求出△BOP的面積。？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出△POB的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）y=x2﹣3x?！唷螾AG=∠APG=45176?！嘀荒苡小螾AE=90176?；颉螦PE=90176。兩種情況，當(dāng)∠PAE=90176?；颉螦PE=90176。∴PG=AG，∴t=﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），②當(dāng)∠APE=90176。（2）點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（4，4）。【詳解】解：（1）∵函數(shù)的圖象與x軸相交于O，∴0=k+1，∴k=﹣1。∵△AOB的面積等于6，∴AO?BD=6?！帱c(diǎn)B的坐標(biāo)為：（4，4）。則∠POD=45176。此時(shí)不存在點(diǎn)P（與點(diǎn)B重合）?！?。即OM為y=x，若∠AOM=∠CBA，則OM為y=3x+3，然后由直線解析式可求OM與AD的交點(diǎn)M．【詳解】（1）把A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）代入拋物線解析式y(tǒng)＝ax2+bx+c得，解得，所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2﹣2x+3．（2）如解（2）圖1，過(guò)P點(diǎn)作PQ平行y軸，交AC于Q點(diǎn)，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴直線AC解析式為y＝x+3，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，﹣x2﹣2x+3．），則Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x+3），∴PQ＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x．∴S△PAC＝，∴，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2．當(dāng)x＝﹣1時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4），當(dāng)x＝﹣2時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，3），綜上所述：若△PAC面積為3，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，4）或（﹣2，3），（3）如解（3）圖1，過(guò)D點(diǎn)作DF垂直x軸于F點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作AE垂直BC于E點(diǎn)，∵D為拋物線y＝﹣x2﹣2x+3的頂點(diǎn)，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4），又∵A（﹣3，0），∴直線AC為y＝2x+4，AF＝2，DF＝4，tan∠PAB＝2，∵B（1，0），C（0，3）∴tan∠ABC＝3，BC＝，sin∠ABC＝，直線BC解析式為y＝﹣3x+3．∵AC＝4，∴AE＝AC?sin∠ABC＝＝，BE＝，∴CE＝，∴tan∠ACB＝，∴tan∠ACB＝tan∠PAB＝2，∴∠ACB＝∠PAB，∴使得以M，A，O為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則有兩種情況，如解（3）圖2Ⅰ．當(dāng)∠AOM＝∠CAB＝45176。不合題意；②若DM=DP，則∠DMP=∠MPD=45176?！郣t△BEP中， ∴，∴ ∵點(diǎn)M在拋物線上∴，∴ ，∵PN⊥y軸于點(diǎn)N∴