【正文】 00。(2)第2個小問題 因要保持PRO的順序，就將PRO視為相同元素（跟B，I類似的性質(zhì)），則其排列數(shù)有11！/（2！2！3！）= 166320種。（三）李先生與其太太有一天邀請鄰家四對夫婦共10人圍坐一圓桌聊天，試求下列各情形之排列數(shù)：（1）男女間隔而坐。（2）主人夫婦相對而坐。（3）每對夫婦相對而坐。（4）男女間隔且夫婦相鄰。（5）夫婦相鄰。（6）男的坐在一起，女的坐在一起。[解析](1)這個問題也在先簡單介紹一下環(huán)形排列的特征, 環(huán)形排列的特征是 第一個人是做參照物,:(1)先讓5個男的或5個女的先坐下來 全排列應該是 P44, 空出來的位置他們的妻子(丈夫), 妻子(丈夫)的全排列這個時候有了參照物所以排列是P55 答案就是 P44*P55=2880種(2)先讓主人夫婦找一組相對座位入座 其排列就是P11(記住不是P22),這個時候其他8個人再入座,就是P88,所以此題答案是 P88(3)每對夫婦相對而坐,座的夫婦的,剩下的4組位置就是P44, 考慮到剩下來的4組位置夫婦可以互換位置即 P44*2^4=384(4)夫婦相鄰, 那么就是5個元素做環(huán)形全排列 即P44 這里在從性別上區(qū)分 男女看作2個元素 可以互換位置 即答案是P44*2=48種(值得注意的是,這里不是*2^4 因為要互換位置,必須5對夫婦都得換 要不然就不能保持男女間隔)(5)夫婦相鄰 這個問題顯然比第4個問題簡單多了,即看作捆綁 答案就是P44 最后答案是P44*2^5(6)先從大方向上確定男女分開座,1 , 剩下的5個男生和5個女生單獨做直線全排列 所以答案是P1,1 *P55*P55（四）在一張節(jié)目表中原有8個節(jié)目，若保持原有節(jié)目的相對順序不變，再增加三個節(jié)目，求共有多少種安排方法？[解析]這個題目相信大家都見過 就是我們這次2008年國家公務員考試的一道題目: 這是排列組合的一種方法 叫做2次插空法或多次插空法直接解答較為麻煩，我們知道8個節(jié)目相對位置不動,前后共計9個間隔,故可先用一個節(jié)目去插9個空位，有C9取1種方法；這樣9個節(jié)目就變成了10個間隔,再用另一個節(jié)目去插10個空位，有C10取1種方法；同理用最后一個節(jié)目去插10個節(jié)目形成的11個間隔中的一個，有C11取1方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法為9*10*11=990種。方法2: 我們先安排11個位置,把8個節(jié)目按照相對順序放進去,在放另外3個節(jié)目,11個位置選3個出來進行全排列 那就是P11,3=11*10*9=990（五）0，1，2，3，4，5五個數(shù)字能組成多少個被25整除的四位數(shù)？[解析] 這里考察了一個常識性的問題 即 什么樣數(shù)才能被25整除 即這個數(shù)的后2位必須是25或者50，或者75或者00 :千位只有3個數(shù)字可選(0不能)百位也是3個可選 即3*3=9種后兩位是50的情況有:剩下的4個數(shù)字進行選2位排列 P4,2=12種75不可能，因為數(shù)字中沒有7 00也不可能，因為數(shù)字不能重復 共計 9+12=21種6.【分享】“插板法”的條件模式隱藏運用分析在說這2 道關于“插板法”的排列組合題目之前，我們需要弄懂一個問題：插板法排列組合是需要什么條件下才可以使用？這個問題清楚了，我們在以后的答題中 就可以盡量的變化題目使其滿足這個條件。這個條件就是： 分組或者分班等等 至少分得一個元素。注意條件是 至少分得1個元素！好我們先來看題目，例題1：某學校四、五、六三個年級組織了一場文藝演出，共演出18個節(jié)目，如果每個年級至少演出4個節(jié)目，那么這三個年級演出節(jié)目數(shù)的所有不同情況共有幾種？ －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【解析】這個題目是Q友出的題目，題目中是不考慮節(jié)目的不同性 你可以視為18個相同的節(jié)目 不區(qū)分！發(fā)現(xiàn)3個年級都是需要至少4個節(jié)目以上！跟插板法的條件有出入，插板法的條件是至少1個，這個時候?qū)Ρ纫幌?，我們就有了這樣的思路，為什么我們不把18個節(jié)目中分別給這3個年級各分配3個節(jié)目。這樣這3個班級就都少1個，從而滿足至少1個的情況了33＝9 還剩下18－9＝9個剩下的9個節(jié)目就可以按照插板法來解答。9個節(jié)目排成一排共計8個間隔。分別選取其中任意2個間隔就可以分成3份（班級）！C8取2＝28練習題目：有10個相同的小球。分別放到編號為1，2，3的盒子里 要使得每個盒子的小球個數(shù)不小于其編號數(shù)。那么有多少種放法？－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【解析】還是同樣的原理。每個盒子至少的要求和插板法有出入 那么我們第一步就是想辦法滿足插板法的要求。編號1的盒子是滿足的 至少需要1個，編號2至少需要2個，那么我們先給它1個，這樣就差1個 編號3至少需要3個，那么我們先給它2個，這樣就差1個現(xiàn)在三個盒子都滿足插板法的要求了 我們看還剩下幾個小球 ？ 10－1－2＝7 7個小球6個間隔 再按照插板法來做 C6，2＝15種！7.【糾錯】兩個相同的正方體的六個面上分別標有數(shù)字的排列組合問題有兩個相同的正方體，每個正方體的六個面上分別標有數(shù)字6。將兩個正方體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的有多少種情形？（）A．9 B．12 C．18 D．24－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－很多教材給出的答案是18這里我更正以下：請大家注意紅色字體 “相同”如果一個顯示3，一個顯示1，交換以下 是 1，3是否是2種呢？顯然不是 是1種這是這個題目存在的陷阱－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 方法一：為偶數(shù)的情形 分2種情況（1）、奇數(shù)＋奇數(shù)：（1，3，5）C（3，1）C（3，1）注意因為這里是相同的兩個色子。所以 3，1和1，3是不區(qū)分的 要去掉C3，2＝3種 實際上是6種，（2）、偶數(shù)＋偶數(shù)（2，4，6）偶數(shù)的情況跟奇數(shù)相同 也是6種！答案是 6＋6＝12方法二：當然我們也可以算總的，那么就是 C6，1C6，1－C6，2＝36－15＝21種（為什么要減去C（6，2），因為任意2個數(shù)字顛倒都是一種情況）看奇數(shù)： 奇數(shù)＝奇數(shù)＋偶數(shù) C3，1C3，1＝9種 所以答案是 21－9＝12種8.【討論】裴波納契數(shù)列的另類運用先說典型的裴波納契數(shù)列：圖片：裴波納契數(shù)列 就是移動求和A＋B＝C因為第一個月這對小兔長成大兔 所以第一個月還是1對 即A從1開始。第2個月開始剩下一對小兔 合計2對 B從2開始。1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233小明家住二層，他每次回家上樓梯時都是一步邁兩級或三級臺階。已知相鄰樓層之間有16級臺階，那么小明從一層到二層共有多少種不同的走法？A：54 B：64 C：57 D：37－－－－－－－－－－－－－－－－－－－這個題目剛剛看到討論 我也用排列組合的辦法參與了討論 現(xiàn)在我再來說說裴波納契數(shù)列的解法樓梯級數(shù)：1，2，3，4，5，6........走法情況：0，1，1，1，2，2........這是一個裴波納契的間隔運用 因為他沒有走1步的情況即A＋B＝D0，1，1，1，2，2，3，4，5，7，9，12，16，21，28，37在舉例1題：小明家住二層，他每次回家上樓梯時都是一步邁一級，兩級或三級臺階。已知相鄰樓層之間有10級臺階，那么小明從一層到二層共有多少種不同的走法？因為是1，2，3級都可以所以可以采用A＋B＋C＝D的 裴波納契數(shù)列變式！列舉前3個 分別是1，2，3則 10個是 1，2，4，7，13，24，44，81，149，274練習題目：小明家住二層，他每次回家上樓梯時都是一步邁一級或三級臺階。已知相鄰樓層之間有10級臺階，那么小明從一層到二層共有多少種不同的走法？9.【經(jīng)驗分享】關于臨界點類型算數(shù)問題的分析所謂臨界點問題 我們也可看作是青蛙跳井問題，這類問題的特征是 將2次具有結(jié)果上互斥（相反）的操作看作1組操作的運算例如典型的青蛙跳井，每跳上去5米 會滑下來3米 5米和3米的2個結(jié)果對應的操作就是互斥操作。對于這樣的類型問題 其考查的要點是： 我們最終要求的結(jié)果 有可能是在某一組互斥操作的上半部分的操作時就已經(jīng)達到目的或者說已經(jīng)完成任務。如果仍然看作一組來結(jié)果 就會使其從到達目的得位置上被互斥操作得另一個相反操作給拖回去。所以不對最后一組臨界點情況做提前判斷 就容易產(chǎn)生結(jié)果變大得情況！下面我們結(jié)合3個例題來看這個類型的題目！例一： 一個數(shù)是20 現(xiàn)在先加30，再減20，再加30，再減20，反復這樣操作 請問至少經(jīng)過多少次操作 結(jié)果是500？－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－我們先找最后一組達到500的臨界點 也就是我們把＋30，－20 2次操作看作1組，我們必須看＋30的時候是否能夠達到500先找臨界點最后一次增加 是需要＋30 基數(shù)是20 每一組操作是增加10那么計算是這樣的（500－30－20）/10=45 組 也就是說經(jīng)過45組即90次操作達到了470答案就是91次例二：小明的爸爸在高山上工作,那里的氣溫白天和夜晚相差很大,他的手表由于受氣溫的影響走得不正常,白天快1/2分鐘,夜里慢1/3分鐘,他10月1日白天對準時間,問到哪一天手表正好快5分鐘?()A 10月25日 B10月28日 C10月26日 D10月29日－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－我們知道 白天 和晚上 為一組 即一天 整體情況是 可以塊1/21/3=1/6分鐘要得結(jié)果是快5分鐘 即我們必須最后一個白天情況進行判斷即我們找出臨界點是 5－1/2=按照每天快1/6 （1/6）=27天 這時候 我們發(fā)現(xiàn)此時再加上一個白天即可完成 說明經(jīng)過了28天快了5分鐘答案就是10月28日。例三：機場上停著10架飛機，第一架起飛后，每隔4分鐘就有一架飛機接著起飛，而在第一架飛機起飛后2分鐘，又有一架飛機在機場上降落，以后每隔6分鐘就有一架飛機在機場上降落，降落在飛機場上的飛機，又依次隔4分鐘在原10架之后起飛。那么，從第一架飛機起飛之后，經(jīng)過多少分鐘，機場上第一次沒有飛機停留？A 104 B 108 C 112 D 116－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－這個題目類似于“青蛙跳井”問題，我們不能直接求最終結(jié)果，否則我們會忽略在臨界點狀態(tài)的一些變化。碰到這種問題 首先就是求臨界點是在什么時候發(fā)生，發(fā)生時的狀況怎么樣。這樣才好判斷。例如“青蛙跳井”問題，10米深的井，青蛙每次跳5米 就會下滑4米。問幾次能夠跳上來。這個題目的臨界點就是當青蛙最后一次跳5米的時候剛好到井口！也就是說我們只需研究到青蛙跳到10－5＝5米的地方，這里都是常規(guī)計算（10－5）/(54)=5次。最后一次的時候 我們就無需考慮下滑了 因為已經(jīng)到頂了。同樣這個題目很多人做出116分鐘，其原因就是犯了這個錯誤。我們必須先求臨界點。所謂的臨界點就是當機場剩下1架飛機的時候假設是N分鐘剩下一架飛機！N/4 +1=(N2)/6 + 1 +（101）為什么兩邊都＋1 那是因為這是植樹問題。從0分鐘開始計算的 所以要多加1次解得N＝104分鐘所以我們知道104分鐘的時候是臨界點 飛機場只有1架飛機沒有起飛。當108分鐘的時候，飛機起飛了。而下一架飛機到機場則是在110分鐘的時候，所以從108～110這段時間是機場首次出現(xiàn)沒有飛機的現(xiàn)象！答案應該選B10.【經(jīng)驗總結(jié)】關于比例法中變量守恒與變化的思路分析這個帖子主要是討論在一些存在三個變量公式中，由于某個變量守恒，另外兩個變量之間的關系引出的 通過變量發(fā)生改變的部分縮小范圍和數(shù)值來求解的方法，簡稱比例法比例法我粗略分為2類（一）變量變化之比例這部分大家可以參考上面鏈接的習題 常識去掌握這部分的題目（二）變量守恒之比例這部分是通過 我們求解的試題中 某個變量恒定的把握。通過這個恒量在整個比例中所得的比例點的不同參照物下的變化 來反向了解整體變化 或者是與之相關聯(lián)的變量變化的情況。下面我們通過試題來了解這樣的類型【2008年安徽真題】一個袋子里放著各種顏色的小球，其中紅球占四分之一，后來又往袋子里放了10個紅球，這時紅球占總數(shù)的三分之二，問原來袋子里有多少小球？A8 B12 C16 D20―――――――――――――――――――――――這個題目中我們可以直接看出不變的部分 是除紅色小球以外的部分 我們稱之為 非紅色部分小球個數(shù)＝紅色＋非紅色剛開始 非紅色：整體＝3：4添加10個紅球之后是非紅色：整體＝1：3這兩個比例的參照對象是不同的他們相差10個球我們可以將表示同一恒量的比例值統(tǒng)一起來看3：41：3＝3：9我們發(fā)現(xiàn) 整體的比例值發(fā)生了變化 變化了多少 9－4＝5個比例點 對應的就是10個小球所以每個比例點是2個小球 則答案應該是 24＝8個小球【習題二】某校六年級有甲,乙兩個班,甲班學生人數(shù)是乙班的5/7,如果從乙班調(diào)3人到甲班,甲班人數(shù)是乙班的4/5,則乙班原有學生多少人? ――――――――――――――――――――――――――這個題目的恒量是甲乙兩個班級的總?cè)藬?shù)，我們發(fā)現(xiàn)題目所有的變動 只是內(nèi)部活動 沒有外界的加入和整體的流失。所以總?cè)藬?shù)就是一個恒定量開始的時候乙班人數(shù)：總?cè)藬?shù)＝7：12從乙班調(diào)3人進入甲班 則比例發(fā)生變化為乙班人數(shù)：總?cè)藬?shù)＝5：9總?cè)藬?shù)分別是12和9個比例點 是不統(tǒng)一的 即每個比例單位值不相同了 所以我們首先進行的就是統(tǒng)一比例值12和9的最小公倍數(shù)是 36那么調(diào)動前后的比例就可以表示為21：36 和 20：36 我們發(fā)現(xiàn)甲班的人數(shù)多了一個比例點 那么這1個比例點就是對應的調(diào)入的3人 總?cè)藬?shù)是36個比例點 則總?cè)藬?shù)336＝108人 而乙班人數(shù)則是321＝63人【習題三】有銀銅合金