【導(dǎo)讀】移動(dòng)通信系統(tǒng)為人們更有效地利用時(shí)間提供了可能。由于網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，數(shù)據(jù)和多。媒體通信發(fā)展迅猛，所以第三代移動(dòng)通信的目標(biāo)是寬帶通信，也就是擴(kuò)頻通信。

　　

【正文】 接起來(lái)的關(guān)系式。如果 n 元布爾函數(shù) f (x1 , x2 ,..., xn) 可 以 表 示 成 n 個(gè) 變 元 x1 x2 ,..., xn ， 的 線 性 齊 次 函 數(shù)f(x1,x2,...,xn)=C1xn+C2xn1, +...+Cnx1，其中 cj= 0 或 1，則以 f(x1,x2,...,xn)為反饋函數(shù)的移位寄存器就叫做線性反饋移位寄存器，其模型如圖 22 所示 。否則，當(dāng) .f (x1 , x2 ,..., xn)不能表示成 n 個(gè)變?cè)?x1 , x2 ,..., xn，的線性齊次函數(shù)時(shí)，則以f (x1 , x2 ,..., xn)為反饋函數(shù)的移位寄存器就叫做 圖 線性反饋移位寄存器模型 非線性反饋移位寄存器。以不同的 n 元布爾函數(shù)作為反饋函數(shù)，一共可有 22n 個(gè)功能各不相同的 n 級(jí)反饋移位寄存器，其中線性反饋移位寄存器的總數(shù)是 2n 個(gè)，非線性反饋移位寄存器的總數(shù)是 22n 一 2n 個(gè) [12]。線性反饋移位寄存器的開關(guān)網(wǎng)絡(luò)是模 2 加法器，因此，線性反饋移位寄存器比非線性反饋移位寄存器簡(jiǎn)單得多。線性移位寄存器生成的序列與移位寄存器階的數(shù) n 及反饋函數(shù)和移位寄存器的初始狀態(tài)有關(guān)。線性移位寄存器序列有最大長(zhǎng)度序列和非最大長(zhǎng)度序列兩類。如果 n 階移位寄存器產(chǎn)生的序列周期為 21，則移位寄存器序列是最大長(zhǎng)度序列，否則為非最大長(zhǎng)度序列川。移位寄存器給定后，能否產(chǎn)生最大長(zhǎng)度序列，取決于反饋函數(shù)。與反饋函數(shù)對(duì)應(yīng)的是線性移位寄存器的特征多項(xiàng)式。特征多項(xiàng)式為本原多項(xiàng)式 (本原多項(xiàng)式一定是最簡(jiǎn)多項(xiàng)式 )的移位寄存器一定能生成周期為N=21 的最大長(zhǎng)度序列，反之，若移位寄存器序列是最大長(zhǎng)度序列，則它所對(duì)應(yīng)的特征多項(xiàng)式一定是本原多項(xiàng)式。要注意的是，線性移位寄存器的初始狀態(tài)不能全為零，否則將產(chǎn)生周期為 1 的全 0 序列。所以，在設(shè)訓(xùn) 1 和使用線性移位寄存器時(shí)要避開這種全 0 狀 態(tài)。 m 序列的性質(zhì) m 序列的定義 在緒論中已指出對(duì)擴(kuò)頻序列的要求，而實(shí)際上這些理想特性卻很難達(dá)到。在 實(shí)際應(yīng)用中，要求擴(kuò)頻通信中的偽隨機(jī)序列滿足的條件是 [1]。 (1)在每一序列周期中， 1”的碼元數(shù)目與“ 0”的碼元數(shù)目相同或相差極小。 (2)在每一序列周期中，連續(xù)出現(xiàn)“ 1”或“ 0”的碼元長(zhǎng)度 (游程 )為 u，則碼元數(shù)為 1 的游程有 u/2 個(gè)，為 2 的游程有 u/4 個(gè)，為 3 的游程有 u/8 個(gè)，?，其中“ 1”的游程和“ 0”的游程數(shù)目相同。 (3)序列的自相關(guān)函數(shù)是二值的，即 其中 N 為 序列自相關(guān)峰值，等于序列的周期， 為序列自相關(guān)的旁瓣值，N。 滿足這三個(gè)偽隨機(jī)序列條件的序列有好幾種，如二次剩余序列(Legendre),Hall 序列、孿生素?cái)?shù)序列等，其中最主要的是線性反饋移位寄存器的最大長(zhǎng)度序列。 n 階移位寄存器最大長(zhǎng)度序列在 N=2 1 的周期內(nèi)，有 2n1個(gè)“ 1 ” 2n11 個(gè)“ 0” ， “ 0,”的數(shù)目比“ 1”的數(shù)目?jī)H少一個(gè)，滿足偽隨機(jī)序列的條件 (1)。 對(duì) n階移位寄存器最大長(zhǎng)度序列共有 2n1個(gè)游程，其中長(zhǎng)度為 1 的游程占 1/2,長(zhǎng)度為 2 的游程占 1/4，長(zhǎng)度為 3 的 游程占 1/8,?，游程長(zhǎng)度僅在長(zhǎng)度為 n 的連1”碼和長(zhǎng)度為 n1 的連“ 0”碼上不同，滿足偽隨機(jī)序列的條件 (2)。 為了討論問(wèn)題和實(shí)際應(yīng)用的方便，總是把 0, 1 序列變成 1， 1 序列，即將 0 用一定寬度和幅度的正脈沖表示， 1 用一定寬度和幅度的負(fù)脈沖表示。對(duì)于 n 階移位寄存器最大長(zhǎng)度序列 {a } =(a0,1t,a2,...,an1)，在 (+1， 1)二值域上，自相關(guān)值為 當(dāng) j=0 時(shí)， ai .ai=1，所以 Ra (0) = N。當(dāng) j≠ 0 時(shí) ， 所以， n 階線性移位寄存器的最大長(zhǎng)度序列的自相關(guān)函數(shù)為 ，滿足 偽隨機(jī)序列的條件 (3)。 因此，線性移位寄存器最大長(zhǎng)度序列是偽隨機(jī)序列，這種序列通常稱為 m序列。 m序列經(jīng)循環(huán)移位后仍然是 m序列，即 m 序列的移位等價(jià) tlZ]，勝 。在 IS95和 cdma2021 中就是應(yīng)用了 m 序列的這一特性，即用同一 m 序列的不同相移區(qū)分用戶地址。 m 序列的自相關(guān)特性 周期為 N=2 n1的 m序列，若是 (+1， 1}的二值序列，其自相關(guān)函數(shù)為 : （ 3— 1） 如果 m 序列不是 ((+1，一 1)的二值序列，而是碼元寬度為 T}、幅值為 ++1或 1 的矩形波信號(hào)，則 m序列信號(hào) 的周期自相關(guān)函數(shù)是 : （ 3— 2） 從 m 序列的自相關(guān)函數(shù)表達(dá)式可以看出，序列的長(zhǎng)度 N 越大，其自相關(guān)特性越接近白噪聲的自相關(guān)特性 (s 函數(shù) )，即一 1/N 接近于 0，這樣，序列和其自身的時(shí)間偏移就很容易區(qū)分，這對(duì)擴(kuò)頻通信是十分有利的。所以，在 CDMA 系統(tǒng)中采用較長(zhǎng)的 m 序列作為擴(kuò)頻地址碼以區(qū)分不同的用戶。當(dāng)然， N 也不能取的過(guò)大，否則會(huì)給系統(tǒng)的同步及 PN 碼的捕獲造成困難，同時(shí)也會(huì)增加接收設(shè)備和發(fā)射設(shè)備的復(fù)雜性。 m 序列優(yōu)選對(duì) 在擴(kuò)頻通信中用偽隨機(jī)序列來(lái)區(qū)分和識(shí)別信號(hào)。對(duì)于周期為 N=2n1， 的 m序列 a 和 b，若 b=a[q]，表示對(duì)序列。每隔 q 位進(jìn)行一次采樣 II3]， q=2k+1 或 q=22k一 2k + 1，且 e= gcd(n, k) (e 為 n 和 k 的最大公約數(shù) ),e 與 n 滿足 n/e 為奇數(shù)， 則 m序列 a, b 之間的互相關(guān) Rab(i)是三值的，它們的互相關(guān)值和一周期中出現(xiàn)的 次數(shù)為 [1]： （ 3— 3） 顯然，如果 e 小，則 Rab (1)值也小。如果 n 是奇數(shù)，則 e=1，可取 k=1 或 k=2,則 a, a[3]之間， a, a[5]之間， a, a[13],?的互相關(guān)特性滿足上式給出的結(jié)果。如果定義 t(n) 1 + 2floor[(n+2)/2]，其中 flooor(x)表示取實(shí)數(shù) x 的整數(shù)部分。這樣，對(duì)于上述的 m序列 a, b=a[q]，式 ( 23 )可簡(jiǎn)化為 : （ 3— 4） 這一對(duì) m序列 a, b 被稱為 m序列優(yōu)選對(duì)，其互相關(guān)值為優(yōu)選二值互相關(guān)。反之，若 a, b 為 m序列優(yōu)選對(duì)，必有 。這也是尋找 m序列優(yōu)選對(duì)的主要依據(jù)之一。關(guān)于 m 序列優(yōu)選對(duì)的作用及尋找方法將在后文介紹。 產(chǎn)生 m 序列的方法 尋求本原多項(xiàng)式的方法 在實(shí)際工程應(yīng)用中， m序列既可以用硬件產(chǎn)生，也可以用軟件產(chǎn)生，然后存在 ROM 中通過(guò)相應(yīng)的時(shí)鐘同步輸出。在硬件中可使用移位寄存器，也可用聲表面 濾波器件等延遲線 [8]來(lái)產(chǎn)生。由 節(jié)的內(nèi)容可知，移位寄存器能否產(chǎn)生 m 序列，取決于反饋函數(shù)，而反饋函數(shù)與移位寄存器的特征多項(xiàng)式相對(duì)應(yīng)。 n 階線性移位寄存器產(chǎn)生 m序列的充要條件是特征多項(xiàng)式 f (x)為伽羅瓦 (Galois)域 F2 的 n次本原多項(xiàng)式 [13]。由文獻(xiàn) [1]可知，一個(gè)本原多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)一個(gè) m 序列。另外還可以證明， m序列都存在一個(gè) 與之對(duì)應(yīng)的反商 (或反碼 )，有時(shí)也稱為鏡像序列。兩者輸出的 0, 1 序列在周期內(nèi)輸出次序正好是鏡像的。并且本原多項(xiàng)式的反商 (互反多項(xiàng)式 )也是本原多項(xiàng)式。令本原多項(xiàng)式為 : (3— 5) 反商定義為 : （ 3— 6） 即知道一個(gè)產(chǎn)生 m 序列本原多項(xiàng)式 (寄存器的抽頭位置 )，就能由式 (26 )確定對(duì)應(yīng)的互反多項(xiàng)式，以產(chǎn)生同周期的不同的 m序列 (互反序列 )。本原多項(xiàng)式這一性質(zhì)減少了尋找本原多項(xiàng)式及產(chǎn)生 m序列時(shí)的大量計(jì)算。 所以，不論是用硬件或軟件產(chǎn)生 m序列，首先得求出 F:域上的本原多項(xiàng)式。下面給出獲得本原多項(xiàng)式的常用方法 : (1).直接查閱有關(guān) 文獻(xiàn)的附表。如文獻(xiàn) [1]. [12]. [13].[14]等。 (2).采用梅西迭代算法 p z}，通過(guò)編程由計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。 (3).利用 MATLAB 軟件編程實(shí)現(xiàn)。 本文采用了第 3 種方法 。其特點(diǎn)是編程簡(jiǎn)單，可以方便地找出 F2 域上的 n 次最小項(xiàng)本原多項(xiàng)式 (指本原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)最少，即反饋抽頭數(shù)最少的線性位寄存器所對(duì)應(yīng)的本原多項(xiàng)式 )或最大項(xiàng)本原多項(xiàng)式 (指本原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)最多，即反饋抽頭數(shù)最多的線性移位寄存器所對(duì)應(yīng)的本原多項(xiàng)式 )以及全部的本原多項(xiàng)式。具體的程序見附錄 1。受計(jì)算機(jī)運(yùn)行速度的限制，本文只給出 2~11 階 的全部本原多項(xiàng)式，如表 21 所示。 表 31 級(jí)數(shù)為 2~11 的線性移位寄存器對(duì)應(yīng)的全部本原多項(xiàng)式 m 序列個(gè)數(shù) 由擴(kuò)頻通信原理可知，擴(kuò)頻地址碼的數(shù)目直接影響著系統(tǒng)的容量，碼的數(shù)目越多，系統(tǒng)的容量可做得越大些。對(duì)于 n 階線性移位寄存器，擴(kuò)頻地址它所產(chǎn)生的同周期的、非移位等價(jià) [y z}(由不同的本原多項(xiàng)式產(chǎn)生 )的 m序列的個(gè)數(shù)為 [1]。 （ 2— 7） 其中， N=2 1 為 m序列的周期，必 (N)為歐拉函數(shù)，表示式必 (N)為不超過(guò) N 且與 N 互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)。式 (27 )的證明請(qǐng)參看文獻(xiàn) [12], [13]。本文就 24 階以下線性移位寄存器所產(chǎn)生的 m序列的個(gè)數(shù)進(jìn)行了 MATLAB 編程計(jì)算，具體的程序見附錄 2，運(yùn)行的結(jié)果列于表 22。由表 22 可見， n 階線性移位寄存器所能產(chǎn)生的 m序列的數(shù)目遠(yuǎn)小于 m序列的周期 N，所以，在 CDMA 系統(tǒng)中無(wú)法直接用不同的 m 序列 (非移位等價(jià) )來(lái)區(qū)分不同的用戶，而是用同一個(gè)長(zhǎng) m 序列的隨機(jī)相位來(lái)區(qū)分不同的用戶，這個(gè)隨機(jī)相位是由分配給用戶 (手機(jī) )的電子序列號(hào) [2]相對(duì)應(yīng)掩碼來(lái)決定的。由于 m 序列的雙值自相關(guān)特性，每?jī)蓚€(gè)用戶之間都近似正交，用戶間的干擾 (多址干擾 )很小，充分利用了 m序列優(yōu)良的自相關(guān)特性。另外，通過(guò)對(duì) m序列的某種運(yùn)算或組合，可以產(chǎn)生序列數(shù)較多的其它類型偽隨機(jī)序列，如 Gold 序列、類 Gold 序列、正交 Gold 序列等，詳見后文。 由硬件產(chǎn)生 m 序列 用移位寄存器產(chǎn)生 m 序列，從結(jié)構(gòu)上又有兩種方式。一種是簡(jiǎn)單線性碼序列 表 32 m序列個(gè)數(shù) 發(fā)生器 ((SSRG)，其反饋信號(hào)的抽頭通常用 [[a， b， c， ...n]s 的形式表示 。另一種是模塊式碼序列發(fā)生器 (MSRG)，其反饋信號(hào)的抽頭通常用 [[a, b, c, ...n]m的形式表示。第一種 結(jié)構(gòu)如圖 23 ( a)，其中 ci=0 或 1, i (1,2,… n1)。參加反饋的各級(jí)輸出經(jīng)多次模 2 和后把最后結(jié)果送入第一級(jí)。第二種結(jié)構(gòu)如圖 23 ( b，其中 Ci=0 或 1,i (1,2,… n1)。多級(jí)的輸出與反饋信號(hào)模 2 和后送入下一級(jí)，因?yàn)?n 級(jí)碼產(chǎn)生器是由 n 個(gè)相同模塊構(gòu)成，因而稱為模塊式結(jié)構(gòu)，每個(gè)模塊中包括一級(jí)觸發(fā)器和一 圖 33 m序列發(fā)生器結(jié)構(gòu) 級(jí)模 2 和加法器構(gòu)成?？梢宰C明，這兩種結(jié)構(gòu)是等價(jià)的，以 }」可產(chǎn)生同一 m序列，不同的是前一種因多個(gè)模 2 和是串聯(lián)的，所以延時(shí)較大，工作速度較低，后一 種模 2 和在各一級(jí)觸發(fā)器之間，模 2 和的動(dòng)作是同時(shí)并行的，所以延時(shí)小，工作速度高。需要注意的是，不管哪種結(jié)構(gòu)都需有全“ 0” 啟動(dòng)電路，否則由于某種原因 (如啟動(dòng)等 )，可能使序列發(fā)生器死在全“ 0狀態(tài)。 圖 24 是產(chǎn)生長(zhǎng)度為 31 的 m序列的具體電路。圖中 Q5Q1 為 5 個(gè) D 觸 發(fā)器，序列信號(hào)由 Q5 串行輸出， CLK 作為時(shí)鐘信號(hào)，五輸入與門及或門是為上電防全零輸出而設(shè)置的，當(dāng)寄存器出現(xiàn)全“ 0”狀態(tài)時(shí)，觸發(fā)器 D1 將被門電路強(qiáng)制置 1，使電路脫離全 0 狀態(tài) 。異或門起模 2 和加法器作用，從圖中可看出，反饋抽頭的位置在 Ds 和 Ds 上，所以對(duì) 應(yīng)的本原多項(xiàng)式為 f(x)=1+x3+x5。 圖 34 產(chǎn)生 m序列電路 由 MATLAB 軟件仿真 m 序列 本文以 6 階移位寄存器為例，以 f(x)=1+x5 +x6為本原多項(xiàng)式，由 MATLAB 軟件產(chǎn)生周期為 63 的 m 序列，程序見附錄 3。這里僅指出編程時(shí)需要注意的問(wèn)題。 (1)由本原多項(xiàng)式確定移位寄存器的抽頭位置，要注意本原多項(xiàng)式 f (x)的系數(shù)與程序中抽頭位置所對(duì)應(yīng)向量元素的關(guān)系，程序中抽頭位置向量元素應(yīng)按 降冪順序取 f (x)的各項(xiàng)系數(shù)，否則，得不到最大長(zhǎng)度序列。例如 :當(dāng) f (x)=1+x5 +x6時(shí)，抽頭 位置所 對(duì)應(yīng)的 向量為 [110000] ， 生產(chǎn)周 期為 63 的 m 序列為 : 按升 冪 排 列 時(shí) ， 即 抽 頭 位 置 對(duì) 應(yīng) 的 向 量 為 [000011] 時(shí) ， 生 產(chǎn) 的 序 列為 :110110110…… ，其周期為 3，不是 m序列。 (2)移位寄存器的初始狀態(tài)設(shè)為〔 000001 ] 。 (3)編程時(shí)要注意的是，必須將移位寄存器的狀態(tài)由十進(jìn)制轉(zhuǎn)換到二進(jìn)制才能得到 m序列。 第四章 m 序列設(shè)計(jì)方案 擴(kuò)頻地址碼的選 擇是 CDMA 體制的關(guān)鍵技術(shù)之一。香農(nóng)在證明編碼定理的時(shí)候，提出了用具有白噪聲統(tǒng)計(jì)特性的編碼序列對(duì)欲傳輸?shù)臄?shù)據(jù)