【正文】 推關(guān)系式，如本題。運(yùn)用行列式的性質(zhì)是計(jì)算行列式的一個(gè)重要途徑,大多數(shù)行列式的計(jì)算都依賴于行列式的性[7]質(zhì),將行列式化成上三角(下三角或反三角)的形式,而一切的行列式都可以根據(jù)以上性質(zhì)來(lái)進(jìn)行初等行變換(列變換),變成階梯形(上三角)的行列式,:(ⅰ)看行列式的行和(列和),如果行列和相等,則均加到某一列(行)（直觀上加到第一列(行)）.(ⅱ)有公因子的提出公因子.(ⅲ)進(jìn)行初等行變換(列變換)化成上三角(下三角或反三角)的行列式.(ⅳ),[6] 計(jì)算行列式Dn= 直接用化三角形法化簡(jiǎn)很煩,觀察發(fā)現(xiàn)對(duì)于任意相鄰兩列中的元素,位于同一行的元素中,后面元素與前面元素相差1,因此先從第n1列乘1加到第n列,第n2列乘1加到第n1列, 這樣做下去直到第1列乘1加到第2列,：Dn=345Ln1n1212=31111L111L11n1L1n1M1000M10L00MMMMMn12Ln2n1MMMn1n1L1+2+L+n12Mn111=21001L110L0n10Ln0=nMMMMMn1n0L00000L0n0M00L0n0Ln0M0M0MMn0L000Ln1n(n1)=000Ln2MMMMn0L0(n1)(n2)1n(n1)=(1)2 n2n(n1)(n+1)n1=n(1),2,L,n,這n個(gè)數(shù)我們可以看成有限個(gè)等差數(shù)列在循環(huán), [1]a1D=a1+da1+2dMa1+(n1)da1=a1+da1+2dMa1+(n1)da1=d2dM(n1)da1+=a1+da1+2da1+3dMa1dddMa1+2dLa1+(n1)da1+3dLa1+4dLMa1+ddLda1+nda1MLa1+(n3)dda1+nda1a1+dMa1+(n2)ddLddL(1n)dMdLddndMd(1n)dd Md(1n)ddLdLLndMndM0L0M0M00LL00ndM0 d(n1)d+L+nnd2dM(n1)dMndLndMM0L0(n1)(n2)d(n1)dn1=(a1++L+)(nd)(1)2nn(n1)(n2)1n(a1+a1+(n1)d)n1=()(nd)(1)(n1)(n2)1n(a1+a1+(n1)dn1)(nd)(1)=1，d=1代入=(．拆元法由行列式拆項(xiàng)性質(zhì)知，將已知行列式拆成若干個(gè)行列式之積，計(jì)算其值，再得原行 列式值，此法稱為拆行（列）法。由行列式的性質(zhì)知道，若行列式的某行（列）的元素都是兩個(gè)數(shù)之和，則該行列式可拆成兩個(gè)行列式的和，這兩個(gè)行列式的某行（列）分別以這兩數(shù)之一為該行（列）的元素，而其他各行（列）的元素與原行列式的對(duì)應(yīng)行（列）相同，利用行列式的這一性質(zhì)，有時(shí)較容易求得行列式[2]的值。 設(shè)n階行列式：a11a21Man1a12La1na22La2n=1MMan2Lann且滿足aij=aji,i,j=1,2,L,n,對(duì)任意數(shù)b，求n階行列式a11+ba12+bLa1n+ba21+ba22+bLa2n+bMMM=?an1+ban2+bLann+b 分析:該行列式的每個(gè)元素都是由兩個(gè)數(shù)的和組成，且其中有一個(gè)數(shù)是b，顯然 用拆行（列）法。解：a11+ba12+bLa1n+ba11a12+bLa1n+bba12+bLDa21+ba22+bLa2n+ba21a22+bLa2n+bba22+bLn=MMM=MMM+MMan1+ban2+bLann+ban1an2+bLann+bban2+bLa11a12La1n+ba11bLa1n+b1a12La1n=a21a22La2n+b1a22La2nMMM+a21bLa2n+bMMM+bMMMan1an2Lann+ban1bLann+b1an2Lanna11a12La1na111La1n1a12La1n=a21a22La2nMM+ba211La2n1a22La2nMMMM+L+bMMMan1an2Lannan11Lann1an2Lannnnn=1+b229。A2i+L+b229。A1i=1+bi=1i229。Aij。i=1,j=1又令a11a12La1nA=a21a22La2nMMM,且aij=aji,i,j=1,2,L,n。an1an2Lann所以 有A=1,且A39。=A。由A－1＝A＊A得：AA－1=A＊即A＊A＝E 所以 A＊＝A－1。7a1n+ba2n+bMann+b又（A＊）=(A1)39。=(A39。)1=(A)1=A＊，所以 A*也為反對(duì)稱矩陣。*又 Aij(i,j=1,2,L,n)為A的元素，所以有i=1,j=139。229。nAij=0。從而知：Dn=1+bi=1,j=1229。nAij=1。．加邊法計(jì)算行列式往往采用降階的辦法，但在一些特殊的行列式的計(jì)算上卻要采用加邊法。行列式的加邊法是為了將行列式降階作準(zhǔn)備的。更有利于將行列式化成上三角的形式，其加邊的元素，也可根據(jù)計(jì)算的難易程度來(lái)確定。具有隨意性。利用行列式按行（列）展開的性質(zhì)把n階行列式通過[3]加行（列）變成與之相等的n+1階行列式,[18]:設(shè)Dn=a11a21Man1a12La1na22La2nMMan2Lann.（1）首行首列Dn=a11a21Man1a11a21Man1a11a21Man1a11a21Man1a12La1na22La2nMMan2Lanna12La1na22La2nMMan2Lanna12La1na22La2nMMan2Lanna12La1na22La2nMMan2Lann1a1a2Lan0a11=0a21M0a11=a21Man1a1a2=a3M1a11a21=（2）首行末列Dn=（3）末行首列Dn=（4）末行末列Dn= 計(jì)算n 階行列式： [4]x12+1Dn=x1x2x1x2x1x2x22+1x1x2x1x2x1x2xn2+1分析 我們先把主對(duì)角線的數(shù)都減1，這樣我們就可明顯地看出第一行為x1與x1,x2,L,xn相乘，第二行為x2與x1,x2,L,xn相乘，??，第n行為xn與x1,x2,L,xn相乘。這樣就知道了該行列式每行有相同的因子x1,x2,L,xn，從而就可考慮此法。解：1x1x2L0x12+1x1x2L2Dn=0x2x1x2+1LM0Mxnx1nxn1x1x2x1(i=1,L,n)x2xnx2ri+1xir1x110M0x2Lxn0L01L0M0LM1Mxnx22i=1M2Lxn+1x110M0Mxnn+11+229。xic1+xici+1(i=1,L,n)x2Lxn01M0LLL00M1=1+229。xi2。i=1n00M0n+1注意:加邊法最在的特點(diǎn)就是要找出每行或每列相同的因子，那么升階之后，就可利用行列式的性質(zhì)把絕大部分元素化為零，然后再化為三角形行列式，這樣就達(dá)到了簡(jiǎn)化計(jì)算的效果。數(shù)學(xué)歸納法有兩種一種是不完全歸納法,另一種是完全歸納法,通常用不完全歸納法尋找行列式[5]的猜想,1)先計(jì)算n=1,2,)觀察D1,D2,) 證明： [6]2cosq1 Dn=12cosq1M0001M00LL000M000M12cosq=sin(n+1)qsinq(sinq185。0)0M002cosqLL2cosqL1證：當(dāng)n=1,2時(shí)，有sin(1+1)qsinq2cosq1sin(2+1)qD2==4cos2q1=12cosqsinqD1=2cosq=結(jié)論顯然成立。現(xiàn)假定結(jié)論對(duì)小于等于n1時(shí)成立。即有Dn2=將Dn按第1列展開，得sin(n2+1)q,sinqDn1=sin(n1+1)q。sinq2cosq1Dn=M001L2cosqLM0000M00M12cosq2cosq1M000L2cosqLM0000M00M12cosqL2cosqL1(n1)L2cosqL1(n1)=2cosqDn1Dn2sin(n1+1)qsin(n2+1)qsinqsinq2cosqsinnqsin(n1)q=sinq2cosqsinnqsinnqcosq+cosnqsinq=sinqsinnqcosq+cosnqsinq=sinqsin(n+1)q=sinq=2cosq故當(dāng)對(duì)n時(shí)，等式也成立。得證。n階行列式等于它的任意一行(列)D=229。aijAij(i=1,2,L,n)或D=229。aijAij(j=1,2,L,n).j=1i=1nn行列式按一行（列）[9] 計(jì)算D= D=3091102200110911=1180。220=11021= （列）化為只含有一個(gè)非零元素,然后再按此行（列）展開,如此進(jìn)行下去, 利用拉普拉斯定理在利用行列式的一行(列)展開式時(shí),我們可以發(fā)現(xiàn)計(jì)算行列式可以按某一行(列)展開,我們可以根據(jù)行列式的某一個(gè)K級(jí)字式展開嗎? ,并給出了嚴(yán)密的證明,為了使行列式的計(jì)算更為簡(jiǎn)潔,[12]:設(shè)在行列式D中任意取定了k(1163。k163。n1)個(gè)行,：1）AnnCmn00BmmAnnCmn=AnnBmmAnn2）0Cnm=AnnBmm Bmm3）Bmm=(1)mnAnnBmm 4）CnmBmmAnn0=(1)mnAnnBmmlaaaLabaDn=bbMbMbaMbLbbLbMMbbbLa解lDn(i=2，n1)aaaLabMli+1l2ab0baaM0(n1)a00M0M00abL0LMaab0MLLLa0LablC2+Ci0ba+(n2)b(i=3,Ln)0M0bab0M0b0M0b00MabLLabab利用拉普拉斯定理l(n1)aba+(n2)b2180。20M0n20L0abL0MM0Lab(n2)180。(n2)=[la+l(n2)bab(n1)](ab) 利用范德蒙行列式范德蒙行列式[14]：1x1x12x1n11x2x22n1x21x3x32n1x31xn2xn=1163。ji163。nn1xn213。(xixj)(an+1)n1(an+1)[16](an+2)n1L(a1)n1(an+2)n2L(a1)n2Man+21LLMa11an1an2M a1：計(jì)算n階行列式 Dn=Man+11解 ： 顯然該題與范德蒙行列式很相似，但還是有所不同，所以先利用行列式的性質(zhì)把它化為范德蒙行列式的類型。先將的第n行依次與第n1行，n2行，?,2行，1行對(duì)換，再將得到到的新的行列式的第n行與第n1行，n2行，?,2行對(duì)換，繼續(xù)仿此作法，直到最后將第n行與第n1行對(duì)換，這樣，共經(jīng)過（n1）+（n2）+?+2+1=n（n1）/2次行對(duì)換后，得到1Dn=(1)n(n1)21an+2MLL1a1M1aM an2an1an+1M(an+1)n2(an+1)n1(an+2)n2L(a1)n2(an+2)n1L(a1)n1上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的結(jié)果得lEnAB=lnmlEmBADn=(1)n(n1)21163。ji163。n213。[(an+i)(an+j)]=(1)n(n1)21163。ji163。n213。(ij)結(jié)論：綜上所述，針對(duì)行列式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)而采用與之相適應(yīng)的計(jì)算技巧，從而總結(jié)出了多種類型題目所適用的計(jì)算方法，因此，對(duì)于計(jì)算行列式的方法，我們首先要熟練掌握并懂得如何選擇、運(yùn)用，不管是哪一種行列式的計(jì)算，選取恰當(dāng)?shù)姆椒?，才能較快地解出其值。參考文獻(xiàn)［1］, 2005 ［2］張賢科 , 2000 ［3］, 1995 ［4］許甫華 , 2001 ［5］, 2000 ［6］王萼芳 , 2003 ［7］ 2006 ［8］, Journal of Heze Teachers College, 1999年 02期［9］吳曉慶， 2011年第3期[10] .[11] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組，高等代數(shù)（第二版）.北京：高等教育出版社，1994 [12] 王品超著，：山東教育出版社，1989 [13] 李師正,2005[14] 劉洪星,2009 [15] 姚慕生,：復(fù)旦大學(xué)出版社，2002 [16] 許甫華，：清華大學(xué)出版社，2001 [17] 期刊論文 ,，2009，（3）：1823 [18] 張禾瑞 郝鈵新 《高等代數(shù)》 高等教育出版社 1999 [19] 徐仲 陸全 張凱院 呂全義 安曉虹 《高等代數(shù)》 西北工業(yè)大學(xué)出版社 2006