(精華版)國家開放大學(xué)電大本科常微分方程網(wǎng)絡(luò)課形考任務(wù)1-6試題及答案-資料下載頁
2024-10-09 12:51本頁面
【正文】 程y″+p(x)y′+q(x)y=0中，p(x),q(x)在(∞,+∞)上連續(xù)，則它的任一非零解在xOy平面上可以與x軸橫截相交．12．二階線性方程的基本解組是 ?。?3．線性方程的基本解組是．14．方程的所有解構(gòu)成一個維線性空間．15．n階線性齊次微分方程的所有解構(gòu)成一個n維線性空間．二、計算題1．將下列方程式化為一階方程組（1）（2）1．（1）解，（2）解2．求解下列方程組：（1）（2）（1）解方程組的系數(shù)陣為特征方程為：det(AE)==，其特征根為.當(dāng)時,，其中a,b滿足(AE)==0,則有a+b=0．取a=1,b=1,則得一特解同理,當(dāng)時，所以方程組的解為（2）解方程組的系數(shù)陣為.特征方程為:det(AE)==特征根為.當(dāng)時,其中a,b滿足(AE)==0,故有即.取，于是方程組對應(yīng)于=故特征根所對應(yīng)的實解為=,=所以方程組的解為=3．求解下列方程組：（1）（2）（1）解方程組的系數(shù)陣為.特征方程為:det(AE)==特征根為當(dāng)時,其中a,b滿足（=0,即第一個方程有令，則于是由解得通解=.（2）解系數(shù)陣為特征方程為:det(AE)==.特征根為.通解解為.4．求解下列方程組：（1）（2）4．解方程組的系數(shù)陣為，其特征方程為：det(AE)==.特征根為,方程組有如下形式的解:代入原方程組有消去得令,則令,則所以方程組的解為（2）解.其特征方程為：det(AE)==.特征根為當(dāng)時，其中a,b滿足(AE)==0,則有ab=0取a=b=1,則得一特解同理,當(dāng)時，所以對應(yīng)齊次線性方程組的通解為，得解得.原方程組的特解為所以原方程組的通解為5．已知方程的一個解，求其通解．解：由通解公式，6．試求下列n階常系數(shù)線性齊次方程的通解（1）（2）6．（1）解特征方程為:特征根為:。它們對應(yīng)的解為:方程通解為:.（2）解特征方程為:特征根為:它們對應(yīng)的解為:方程通解為:.7．試求下述各方程滿足給定的初始條件的解：（1），（2），7．（1）解特征方程為:.特征根為:，方程通解為:由初始條件有:,:.（2）解特征方程為:.特征根為:，方程通解為:由初始條件有:,:.8．求下列n階常系數(shù)線性非齊次方程的通解：（1）（2）8．（1）解由于，故齊次方程的通解為.由于不是特征根，得,，所求通解為.（2）解由于，.因為不是特征根，故已知方程有形如的特解．將上式代入原方程，可得，所求通解為.三、證明題1．設(shè)矩陣函數(shù)，在（a,b）上連續(xù)，試證明，若方程組與有相同的基本解組，則186。．2．設(shè)在方程中，在區(qū)間上連續(xù)且恒不為零，試證它的任意兩個線性無關(guān)解的朗斯基行列式是在區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)．3．試證明：二階線性齊次方程的任意兩個線性無關(guān)解組的朗斯基行列式之比是一個不為零的常數(shù)．1．證明設(shè)為基本解矩陣,因為基本解矩陣是可逆的,故有．證明設(shè)w(x)是方程的任意兩個線性無關(guān)解的朗斯基行列式，則且有，.又因為在區(qū)間上連續(xù)且恒不為零,從而對,或,所以,在上恒正或恒負(fù),即w(x)．證明設(shè)兩個線性的解組的朗斯基行列式分別為，且，、應(yīng)用題1．一質(zhì)量為m的質(zhì)點由靜止開始沉入液體中，當(dāng)下沉?xí)r，液體的反作用與下沉的速度成正比，求此質(zhì)點的運動規(guī)律。解設(shè)液體的反作用與質(zhì)點速度的比例系數(shù)為則指點的運動滿足方程：即則(*)所對應(yīng)的齊次方程的通解為：又是齊次方程的特征根,故特解形式為：代入(*)式得：所以由得故
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