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2024-10-08 19:51本頁(yè)面
【正文】 q246。24231。1+232。l2R2r2+2Rrcosq247。mR2230。dq248。231。246。232。dt247。248。+mg(l0=常數(shù)。（10）該式為一階變系數(shù)非線性微分方程。若初始條件設(shè)為：qt=0=a；dq。dtt=0=0即可以從（10）式中得到： mg(l0=常數(shù)。最終得到三線擺無(wú)阻尼轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程為：1230。24231。1+2r2sin2q246。2230。d232。l2R2r2+2Rrcosq247。mRq248。231。246。232。dt247。 248。+mg=0。（11）（11）式是一個(gè)復(fù)雜的三線擺無(wú)阻尼轉(zhuǎn)動(dòng)的非線性微分方程，我們應(yīng)用計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)符號(hào)運(yùn)算軟件Maple 6，畫出它的相軌圖，再通過(guò)相圖尋找三線擺運(yùn)動(dòng)的非線性特征。為了畫圖所需，首先令dqdt=y，q=x，代入（11）式，并化簡(jiǎn)得：1230。2+2rsin2x246。4231。1232。l2R2r2+2Rr247。R2ycosx248。+g=0（12）不失一般性，可設(shè)參數(shù)：R=，r=，l=，g= m/s2；將參數(shù)代入方程（12），可得：x246。24231。1+232。+247。y248。=0（13） 初始角a與角度、角速度的關(guān)系由（13）式可得圖21，其中x軸表示q角的變化，y軸表示三線擺的角速度，a表示初始時(shí)最大的轉(zhuǎn)角。圖21表明，隨著a的增大，角度x與角速度y的橢圓相圖的面積也隨之增大。當(dāng)其他參數(shù)不變，取a==，得到圖22與圖23所示的相軌圖。比較圖22與圖23，進(jìn)一步可以看出，當(dāng)a改變時(shí),橢圓的形狀不變，即角度x與角速度y的關(guān)系不變，但是大小發(fā)生了變化：x軸的半徑，y軸的半徑從。這就不難理解：圖21中橢圓的大小隨初始角a的增大而變大，即角度x與角速度y的橢圓相圖的面積隨著a的增大而增大。 上圓盤大小與角度、角速度的關(guān)系 僅改變上圓盤半徑r時(shí)，又可得到如圖24所示的角度x與角速度y的相軌圖。比較圖23與圖24，可以看出在初始角a=，當(dāng)三線擺的上圓盤的半徑r增大時(shí)，橢圓中橫軸的半徑不變，但縱軸的半徑從，即三線擺的角速度y隨著上圓盤的半徑r的增大而增大，因此角度x與角速度y的關(guān)系也就發(fā)生了變化。它們之間的關(guān)系隨r的變化趨勢(shì)，如圖25及圖26所示，從中可以看到三線擺的橢圓軌跡所圍成的面積和角速度隨著上圓盤的半徑r的增大而增大的非線性變化關(guān)系。圖26y與r的關(guān)系圖 下圓盤大小與角度、角速度的關(guān)系如果僅改變下圓盤的半徑R時(shí)，可以得到圖27所示的角度x與角速度y的相軌圖。圖29 y與R的關(guān)系圖比較圖23和圖27，從中可以看出：在初始角a=，當(dāng)改變下圓盤的半徑R，橫軸的半徑依舊不變，但三線擺的角速度y隨著下圓盤的半徑R的變化而變化。當(dāng)我們進(jìn)一步分析如圖28，29所示的角度x與角速度y，隨下圓盤的半徑R的變化趨勢(shì)，可以發(fā)現(xiàn)三線擺的角速度y先隨著下圓盤的半徑R增大而減小，而當(dāng)下圓盤的半徑R增大到一定的程度，角速度y又隨之增大。 擺長(zhǎng)與角度、角速度的關(guān)系如果僅改變參數(shù)中擺線的長(zhǎng)度l時(shí)，可得到圖210所示的角度x與角速度y的相軌圖。同樣比較圖23與圖210，可以看出當(dāng)擺線的長(zhǎng)度l變長(zhǎng)時(shí)，橢圓橫軸的半徑仍然不變，而，即三線擺角速度y隨擺長(zhǎng)l的增大而變小。圖211,及圖212清楚地表明擺長(zhǎng)與角速度之間的非線性變化關(guān)系。本文從能量守恒定理入手，建立了三線擺無(wú)阻尼轉(zhuǎn)動(dòng)的非線性微分方程。借助Maple對(duì)三線擺無(wú)阻尼轉(zhuǎn)動(dòng)的非線性運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行分析。得出不同的初始角a對(duì)應(yīng)的角度x與角速度y之間不同的橢圓，該橢圓表示出了三線擺的的關(guān)系；同時(shí)也分析了在a一定的情況下，三線擺的角速度y及角度x與下圓盤的半徑R、上圓盤的半徑r、及擺長(zhǎng)l這三個(gè)物理量之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)三線擺的角速度y隨著R、r、l三個(gè)量的改變而發(fā)生著非線性變化。這些結(jié)論，在提高對(duì)三線擺的認(rèn)識(shí)，及其在工程中的應(yīng)用，具有一定的理論意義。參考文獻(xiàn)：[1] [J].重慶大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）,1997,20（1）.[2] （一、力學(xué)及熱學(xué)部分）（第三版）[M].北京:高等教育出版社, 2002,133~138.[3] [J].四川輕化工學(xué)院學(xué)報(bào),1999,12（2）.[4] [J].大學(xué)物理, 2005,24（8）.[5] [J].宇航計(jì)測(cè)技術(shù),2002,22（6）.[6] 、非線性波與Jacobi橢圓函數(shù)[J].大學(xué)物理, 2004,23（1）.[7] （第二版）[M].北京:高等教育出版社, 2003,155~223.[8] （第一版）[M].合肥:中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2002,1~51.
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