【正文】 其中2范數就是通常意義下的距離。 對于這些范數有以下不等式：║x║∞≤║x║2≤║x║1≤n1/2║x║2≤n║x║∞ 另外，若p和q是赫德爾（houml。lder）共軛指標，即1/p+1/q=1，那么有赫德爾不等式： ||=||xh*y|≤║x║p║y║q當p=q=2時就是柯西許瓦茲（cauchyschwarz）不等式 一般來講矩陣范數除了正定性，齊次性和三角不等式之外，還規(guī)定其必須滿足相容性：║xy║≤║x║║y║。所以矩陣范數通常也稱為相容范數。 如果║║α是相容范數，且任何滿足║║β≤║║α的范數║║β都不是相容范數，那么║║α稱為極小范數。對于n階實方陣（或復方陣）全體上的任何一個范數║║，總存在唯一的實數k0，使得k║║是極小范數。 注。如果不考慮相容性，那么矩陣范數和向量范數就沒有區(qū)別，因為mxn矩陣全體和mn維向量空間同構。引入相容性主要是為了保持矩陣作為線性算子的特征，這一點和算子范數的相容性一致，并且可以得到mincowski定理以外的信息。 第四章算法總結 本學期講解過的主要算法列舉如下。線性方程組的解法（高斯消元法，列主消元法，doolittle分解法，追趕法，ldl分解法，jacobi分解法，seidel迭代法）；非線性方程的求根方法（二分法，簡單迭代法，newton迭代法，newton+下山因子，newton迭代法2，newton非線性方程）；矩陣特征值與特征向量的計算（householder矩陣，反冪法，冪法，qr分解）；函數的插值方法（三次樣條插值，lagrange插值法，newton差商插值法）；最佳平方逼近（chebyshev最小二乘法，曲線擬合最小二乘法）；數值積分與數值微分（simpson求積分式算法，romberg算法，外推法）；常微分方程初值問題的數值解法（歐拉改進法、龍格庫塔法和修正的adams法）。下面對主要算法進行分析。 ，其中gauss消元法，列主元消元法，lu分解法，追趕法和ldl’分解法都是解線性方程組的直接方法；而jacobi迭代法和sor法則是解線性方程組的基本迭代法。求解線性方程組時，應該注意方程組的性態(tài)，對病態(tài)方程組使用通常求解方程組的方法將導致錯誤。迭代求精法可用于求解某些病態(tài)方程。 高斯消元法和lu分解法是直接法求解線性方程組中的兩種方法。其中高斯消元法的基本思想是將線性方程組（）通過消元，逐步化為同解的三角形方程組，然后用回代法解出n個解。高斯列主元消元法則是在高斯消元法的基礎上提（k。1）（k。1）a。0akkkk出的先選主元再消元的方法，避免了時消元無法進行或者是當的絕（k。1）a（i。k。1，k。2，ik對值與其下方的元素，n）的絕對值之比很小時，引起計算機 上溢或產生很大的舍入誤差而導致所求出的解失真的問題。lu分解法是將矩陣a用一個下三角矩陣和一個上三角矩陣之積來表示，即a。lu，然后由a。lu，ax。b，得lux。b，將線性方程組的求解化為對兩個三角形方程組ly。b和ux。y的求解，由此可解出線性方程組（）的n個解x1，x2，xn。這兩種求解線性方程組的方法在處理單個線性方程組時沒有差別，只是方法的不同，但在處理系數矩陣a相同，而右端項不同的一組線性方程組時，lu分解法就有明顯的優(yōu)勢，因為它是將系數矩陣a和右端項b分開處理的，這樣就可以只進行一次分解。例如，求解線性方程組ax。bi，i。1，2，m，用高斯消元法求解的計算量1313mnn。mn2大約為3，而用lu分解求解的計算量約為3，后者計算量顯然小很多。但是lu分解法同樣有可能由于ujj的絕對值很小而引起計算機上溢或產生很大的舍入誤差而導致所求出的解失真。因此提出了結合高斯列主元消元的lu分解法。 我們采用的計算方法是先將a矩陣進行高斯列主元消元，然后再計算相應的l矩陣和u矩陣（u矩陣就是經過n1步消元后的a矩陣）。但要注意，第k步消元時會產生mik（i。k。1，k。2，n），從而可以得到l矩陣的第k列元素，但在下一步消元前選取列主元時可能會交換方程的位置，因此與方程位置對應的l矩陣中的元素也要交換位置。 本章學習的二分法簡單迭代法、newton迭代法等方法，代表著求解非線性方程所采用的兩類方法。大范圍收斂方法的初值x0選取沒有多少限制，只要在含根區(qū)間任選其一即可，二分法就是這類方法。局部收斂法要求x0要充分靠近根x*才能保證收斂，以簡單迭代法為基礎，newton迭代法為代表的各類迭代法都屬這類方法。 牛頓迭代法的構造過程是這樣的。設x0是f（x）。0的一個近似根，將f（x）在f（x0）f（x）。f（x0）。f（x0）（x。x0）。（x。x0）2。x0處作taylor展開得2。，若取其 x。x。f（x）/f（x0），然后再對x1做f（x）100前兩項來近似代替，得近似方程的根f上述同樣處理，繼續(xù)下去，一般若（xk）。0，則可以構造出迭代格式xk。1。xk。f（xk）f（xk）此格式稱為牛頓迭代格式，用它來求解f（x）。0的方法稱為牛頓迭代法。牛頓迭代法的幾何意義是用f（x）在xk處的切線與x軸得交點作為下一個迭代點xk。1的。由于這一特點，牛頓迭代法也常稱為切線法。 牛頓迭代法雖然收斂很快，但它通常過于依賴初值x0的選取，如果x0選擇不當，將導致迭代發(fā)散或產生無限循環(huán)。 第22頁 共22