注冊(cè)設(shè)備工程師10年培訓(xùn)課件1-資料下載頁(yè)
2025-01-14 14:25本頁(yè)面
【正文】 ， 則 因等值面上 u 值沒(méi)有變化，故有： ( ) 0du u dl? ? ? ?可見(jiàn) u dl?? 所以梯度的 定義 ：標(biāo)量場(chǎng) u 在某點(diǎn)的梯度是一個(gè)矢量，其方向?yàn)? u 增加最大的方向，即等值面法線(xiàn)方向；其大小等于 u 在該方向上的增加率，即最大增加率。 換言之，梯度是與等值面垂直的一個(gè)矢量。 若用沿 u 增加方向的單位法向矢量 n 表示等值面上面元的方向，則 //un? 設(shè) u1和 u2=u1+du 為 u 值相差很小的兩個(gè)等值面，如圖所示。沿法向 n的位移最短， u 的增加率最大。由 nnudu dll???又由式（ ） () nndu u dl u dl? ? ? ? ? 比較上兩式，得到梯度的模為： nuul????由式（ ）可得 ( ) c os ldu u dl u dl u dl?? ? ? ? ? ? ?其中 c os dl uu u ll? ?? ? ? ? ? 為 梯 度 在 上 的 投 影 。二 . 梯度的物理意義 ? 標(biāo)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)矢量 ,是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù) 。 ? 標(biāo)量的梯度表示了標(biāo)量 u 增加率的最大值及方向。 梯度的有一個(gè)重要性質(zhì)： ( ) 0rot gra du u? ? ? ? ?若有矢量場(chǎng) ，其旋度處處為 0，則 )(rA?? )()( rurA ??? ??如電場(chǎng)強(qiáng)度 ，則 0??? E? ????E ? 指向地勢(shì)升高的方向。 ? 數(shù)值等于該點(diǎn)位移的最大變化率； ? 與過(guò)該點(diǎn)的等高線(xiàn)垂直； 高度場(chǎng)的梯度 ? 指向電位增加的方向。 ? 數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)； ? 與過(guò)該點(diǎn)的等位線(xiàn)垂直； 電位場(chǎng)的梯度 圖 三維高度場(chǎng)的梯度 圖 電位場(chǎng)的梯度 例 1 三維高度場(chǎng)的梯度 例 2 電位場(chǎng)的梯度 矢量場(chǎng)有兩種不同性質(zhì)的源： 散度源 ρ：標(biāo)量，產(chǎn)生穿過(guò)曲面的通量，空間一點(diǎn)源的強(qiáng)度為矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的散度； 旋度源 J ：矢量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)有渦旋的性質(zhì)，空間一點(diǎn)源的強(qiáng)度與矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的 旋度成正比。 亥姆霍茨定理 任一矢量場(chǎng)可能由上述二者之一產(chǎn)生，或由二者共同產(chǎn)生。 一般的矢量場(chǎng)可表示成一個(gè)無(wú)散場(chǎng)和一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)之和。即： )()()( rFrFrF Sl?????? ??其中： 為無(wú)旋場(chǎng)分量，其散度不為零，設(shè)為 ； 為無(wú)散度分量，其旋度不為零，設(shè)為 ，因此有 )(rFl ?? )(r?? )(rFS ??)(rJ ?? ( ) ( ) ( )lSF r F r F r u A? ? ? ? ? ? ? ?由此式可知： F 的散度代表矢量場(chǎng)的一種源 ρ； F 的旋度代表矢量場(chǎng)的另一種源 J 。當(dāng) ρ、 J 給定后，矢量函數(shù) F 也就確定了。這就是 亥姆霍茨定理 。 并可得到： ()()l s ll s sF F F FF F F F J?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 亥姆霍茨定理可理解為： 在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場(chǎng)由它的散度、旋度及邊界條件唯一地確定。 已知 矢量 F的通量源密度 矢量 F的旋度源密度 場(chǎng)域邊界條件 在電磁場(chǎng)中 電荷密度 ? 電流密度 J 場(chǎng)域邊界條件 （ 矢量 F 唯一地確定 ） 例：判斷矢量場(chǎng)的性質(zhì) ????????FF????????FF????????FF=0 =0 =0 ?0 ?0 =0 zeyexe zyx ?????????? ???a．矢性微分算子，有矢性和微分雙重性質(zhì)。 b．作用在數(shù)性函數(shù)或矢性函數(shù)上僅有三種方式： , , u A A? ? ? ? ?分別對(duì)應(yīng)標(biāo)量場(chǎng)的梯度，矢量場(chǎng)的散度和旋度。 C．定義算子 ( ) ( )x x y y z z x y zx y zA A e A e A e e e ex y zA A Ax y z? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?補(bǔ)充 關(guān)于 Hamilton算子 ： 如果在經(jīng)過(guò)某一軸線(xiàn) (設(shè)為 Z 軸 )的一族平行平面上，場(chǎng) F 的分布都相同，即 F=f(x,y)，則稱(chēng)這個(gè)場(chǎng)為平行平面場(chǎng)。 ： 如果在經(jīng)過(guò)某一軸線(xiàn) (設(shè)為 Z 軸 )的一族子午面上，場(chǎng) F 的分布都相同，即 F=f(r,?)，則稱(chēng)這個(gè)場(chǎng)為軸對(duì)稱(chēng)場(chǎng)。 3,球面對(duì)稱(chēng)場(chǎng)： 如果在一族同心球面上 (設(shè)球心在原點(diǎn) )，場(chǎng) F 的分布都相同，即 F=f(r)，則稱(chēng)這個(gè)場(chǎng)為球面對(duì)稱(chēng)場(chǎng)。 附： 三種特殊形式的場(chǎng) 0013,???????????????Arrrrrr?zzyyxxzyxzyxAAA)z,y,x(zyxzyxeeeAeeereeer????????????????2. 3. 式中： *思考題： 試證明下列各題 1. 演講完畢，謝謝觀看！
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