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智能紡織品優(yōu)化設(shè)計(jì)-資料下載頁(yè)

2025-01-04 01:40本頁(yè)面
  

【正文】 ,成為現(xiàn)代公認(rèn)的較好的算法之一。 DFP法是基于牛頓法的思想又作了重要改進(jìn)。這種算法僅用到梯度,不必計(jì)算海賽陣及其逆矩陣,但又能使搜索方向逐漸逼近牛頓方向,具有較快的收斂速度。 ( 2) 迭代過(guò)程1) 任選初始點(diǎn) ,計(jì)算收斂精度 ,維數(shù) n;2) 給定變尺度矩陣初值 ( 單位矩陣 ) ,令 ,置 k=0;3) 求探索方向 和最優(yōu)步長(zhǎng)因子4) 進(jìn)行一維搜索,求下一個(gè)迭代點(diǎn)5) 檢驗(yàn)是否滿足,若滿足 ,則 即為極小點(diǎn),停止迭代。否則轉(zhuǎn)下一步;6) 檢查迭代次數(shù),若 ,則 ,轉(zhuǎn)向步驟 2),若 則進(jìn)行下一步;7) 構(gòu)造新的探索方向?yàn)榇藨?yīng)計(jì)算 、 、然后令 轉(zhuǎn)步驟 3)。 線性規(guī)劃 —— 單純形法 線性規(guī)劃是應(yīng)用最廣的優(yōu)化技術(shù)之一,也可以說(shuō)是一種最有效的優(yōu)化技術(shù)。目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)都是線性函數(shù)的最優(yōu)化問(wèn)題,稱(chēng)為線性規(guī)劃或線性優(yōu)化問(wèn)題。線性規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃中的一個(gè)比較成熟的分支。在生產(chǎn)計(jì)劃、工程預(yù)算和經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域內(nèi)應(yīng)用十分廣泛。同時(shí),線性規(guī)劃算法也可作為求解非線性有約束優(yōu)化問(wèn)題的子問(wèn)題的工具,如可行方向法中可行方向的搜尋就是采用線性規(guī)劃方法。 下面是在工廠管理中出現(xiàn)的線性規(guī)劃例子: 1) 按進(jìn)度表安排員工,使一周中每天的勞動(dòng)人數(shù)都很充足,并且要讓工人的滿意程度和勞動(dòng)生產(chǎn)率盡可能的高; 2) 選擇即將要生產(chǎn)的產(chǎn)品,充分利用現(xiàn)有的資源,并在當(dāng)前的價(jià)格下獲取最大的利潤(rùn); 3) 找到一個(gè)工廠車(chē)間到倉(cāng)庫(kù)的分配模式,在有限的能力下使成本最?。?4) 在考慮到利潤(rùn)、競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手出標(biāo)和操作約束條件的情況下,使競(jìng)標(biāo)成功。當(dāng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述時(shí),所有這些問(wèn)題都隱含了許多變量、等式和不等式。一個(gè)解決方案不僅要滿足所有的約束條件,而且必須完成目標(biāo)函數(shù)的極值要求,例如利潤(rùn)最大或成本最小。利用現(xiàn)代軟件,可以建立并解決帶有數(shù)千個(gè)變量和約束條件的線性問(wèn)題。1 線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式與解 線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型同樣由設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件組成,不過(guò)其中的約束條件除變量非負(fù)性限制外都采用等式約束。線性規(guī)劃問(wèn)題的一般形式為( 145)其矩陣形式為( 146)式中, AX=B—— 約束方程; B—— 常數(shù)向量; A—— 系數(shù)矩陣。 一般情況下,應(yīng)有 , 因?yàn)楫?dāng) m=n時(shí)約束方程只有一個(gè)惟一的解,不存在可供選擇的其他解,不存在優(yōu)化問(wèn)題。當(dāng)時(shí),約束方程有無(wú)窮多組解,線性規(guī)劃就是要從這無(wú)窮多組解中尋找一個(gè)使目標(biāo)函數(shù)極小化的最優(yōu)解。在線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型中,約束條件主要是等式約束,不等式約束僅限于變量的非負(fù)約束。對(duì)于其他形式的不等式約束,可以通過(guò)引入松弛變量的方法將其轉(zhuǎn)化為等式約束。例如 , 對(duì)于約束條件 可通過(guò)引人松弛變量 , 變換為 如果原來(lái)問(wèn)題中的某些變量并不要求非負(fù),則可將其變換為兩個(gè)非負(fù)變量之差。經(jīng)過(guò)上述處理后 ,線性規(guī)劃問(wèn)題總能變換為式 (132)或式 (133)所示的線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式。 例 111某車(chē)間生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品。生產(chǎn)甲種產(chǎn)品每件需要材料 9kg、 3個(gè)工時(shí)、 4kw電能,可獲利 60元。生產(chǎn)乙種產(chǎn)品每件需用材料 4kg 、 10個(gè)工時(shí)、 5kw電能,可獲利 120元。若每天能供應(yīng)材料 360kg, 有 300個(gè)工時(shí),能供 200kw電能,則每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少件才能夠獲得最大的利潤(rùn)。 設(shè)每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品分別為 、 件 , 則此問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型如下 引入松弛變量 、 、 ,將其轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)形式該問(wèn)題的解如圖 124所示。在約束方程中,若令 nm個(gè)變量為 0, 就可求得另外m個(gè)不全為 0的解。于是這 m個(gè)不全為 0的解和 nm個(gè)為 0的解共同組成一個(gè)解向量,稱(chēng)為線性規(guī)劃問(wèn)題的基本解。其中 m個(gè)不全為 0的變量稱(chēng)為基本變量,其余 nm個(gè)為 0的變量稱(chēng)為非基本變量。 在系數(shù)矩陣中,任取 m列可以構(gòu)成一個(gè)基本解,可知一個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題的基本解的個(gè)數(shù)等于排列組合數(shù)圖 124二維線性規(guī)劃問(wèn)題的圖解法由圖可以看出,線性規(guī)劃的約束邊界為一組直線或平面,由這些直線和平面構(gòu)成的可行域是一個(gè)封閉的凸多邊形或凸多面體。這個(gè)凸多邊形或凸多面體的每一個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)該線性規(guī)劃問(wèn)題的一個(gè)基本可行解。因此線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解必定在這些頂點(diǎn)上取得。實(shí)際上,線性規(guī)劃解法就是一種關(guān)于基本可行解的迭代算法,或者說(shuō)是一種可行域頂點(diǎn)轉(zhuǎn)換的算法。2基本可行解及其轉(zhuǎn)換 既然線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解必定在約束條件所圍成的凸多邊形或凸多面體的頂點(diǎn)上取得,而每一個(gè)頂點(diǎn)都 是線性規(guī)劃問(wèn)題的一個(gè)基本可行解,則線性規(guī)劃問(wèn)題的求解可歸結(jié)為找出目標(biāo)函數(shù)值下降的基本可行解的過(guò)程。這樣,求解線性規(guī)劃問(wèn)題需要解決以下兩個(gè)問(wèn)題:① 基本可行解的求解;② 新的基本可行解應(yīng)使目標(biāo)函數(shù)有較大的下降。( 1) 基本解及其轉(zhuǎn)換1) 基本解的產(chǎn)生 根據(jù)基本解的定義,對(duì)由系數(shù)矩陣和常數(shù)向量組成的如下增廣矩陣( 147) 進(jìn)行一系列初等變換,將其中系數(shù)矩陣 的 m列依次變?yōu)榛蛄繒r(shí),滿足約束方程的一個(gè)基本解便產(chǎn)生了。 若經(jīng) m次主元變換后,將增廣矩陣的前 m列變?yōu)槿缦聠挝蛔泳仃? ( 148) 約束方程變換為如下的正則方程 = ( 149) 則 , 對(duì)應(yīng)的基本解為( 150)其中,前 m個(gè)變量為基本變量,后 nm個(gè)變量為非基本變量。若變換后的常數(shù)項(xiàng)均為非負(fù),即 , 則此基本解是一個(gè)基本可行解。可見(jiàn),得到一個(gè)基本解或基本可行解的方法,都是對(duì)增廣矩陣進(jìn)行高斯消元變換。消元變換的基本公式為上式表明了對(duì)轉(zhuǎn)軸變量 以 為轉(zhuǎn)軸元素的轉(zhuǎn)軸變換或消元變換。2) 解的轉(zhuǎn)換 在式 (148)的增廣矩陣中,將某一非基本變量 對(duì)應(yīng)的任意一個(gè)系數(shù)作為轉(zhuǎn)軸變換的轉(zhuǎn)軸元素,進(jìn)行另一次消元變換,又可得到一個(gè)新的增廣矩陣和相應(yīng)的基本解。這種變換實(shí)際上是一種非基本變量和基本變量的轉(zhuǎn)換,也是從一組基本解向另一組基本解的轉(zhuǎn)換。但是這樣的變換并不能保證變換后的常數(shù)向量為非負(fù)。也就是說(shuō),如果原來(lái)的解是一個(gè)基本可行解,不能保證變換后的解也是一個(gè)基本可行解。( 2) 基本可行解的轉(zhuǎn)換 —— 規(guī)則 (選擇轉(zhuǎn)軸行 )要使變換后所得的基本解為可行解,還要研究這樣的方法,即如何使某個(gè)選定的變量 進(jìn)入基本變量,來(lái)替換另一個(gè)現(xiàn)在還在基本變量中的 , 形成新的基本可行解。 當(dāng)已經(jīng)得到一組可行解,即 , 若要求把 選進(jìn)基本變量的下一組基本解是可行解的話,則在系數(shù)矩陣第 k列所有系數(shù)中不能取任何負(fù)值的 軸元素,否則將使轉(zhuǎn)軸變換后 的對(duì)應(yīng)元素 為負(fù)值,結(jié)果對(duì)應(yīng)的 必將是負(fù)的,它就不是可行解的一個(gè)元素。 因此,第一個(gè)要求是,若 ,則必需叫 才可選做轉(zhuǎn)軸元素進(jìn)行轉(zhuǎn)軸運(yùn)算,用 代替 這個(gè)過(guò)程是反復(fù)進(jìn)行轉(zhuǎn)軸運(yùn)算,直到 從某個(gè)正值變成 0, 而 從 0變成某個(gè)正值為止。根據(jù)原來(lái)的正則形式方程組 (149), 由于要求 由非基本變量變成基本變量,其值將由 0變成某一正值 ,這將引起原來(lái)各基本變量取值的變化( 152)如果式 ( 152) 是可行解,且 又是其中的一個(gè)基本變量 ,則在 中必然有一個(gè) (假定它是 )是 0, 其余皆為正。當(dāng)然這個(gè)變量 就應(yīng)從基本變量中排除出去。 這就是說(shuō),只有取式 ( 152) 中各差值的最小者為0時(shí),才能保證使其余各差值皆為正。所以,由可知,只有保證 才能使 進(jìn)入可行解的基本變量,將 置換出去。同時(shí),由于 非負(fù),對(duì) 又有 的要求。此時(shí),上式中的 就是進(jìn)行轉(zhuǎn)軸運(yùn)算時(shí)應(yīng)取的轉(zhuǎn)軸元素。這就是所謂的選擇轉(zhuǎn)軸行的 規(guī)則。若想使 取代 成為可行解中的基本變量,所選的轉(zhuǎn)軸行 或轉(zhuǎn)軸元素 要滿足條件( 153) 在例 111中, 可得一組可行解 、 為非基本變量, 、 、 為基本變量??紤]將 變換為基本變量,由于 最小者為 ,故取 調(diào)出行 (第 1行 )為轉(zhuǎn)軸行,取調(diào)出行與調(diào)入列 (第 1列 )相交處的元素 為轉(zhuǎn)軸元素,作轉(zhuǎn)軸變換,使 取代 成為基本變量,從而得到一組新的基本可行解。( 3) 初始基本可行解的建立初始基本可行解可通過(guò)三種方法獲得:1) 通過(guò)對(duì)增廣矩陣進(jìn)行消元變換得到,這是一種較繁瑣的方法;2) 當(dāng)約束條件全部為不等式約束,且常數(shù)向量均大于零時(shí),引入松弛變量,并選取松弛變量作為基本變量,就可得到一個(gè)基本可行解 ( 例 111) ;3) 如果除變量非負(fù)約束條件外,其他約束均為等式約束而無(wú)法引入松弛變量時(shí) ,可引入人工變量,并構(gòu)造以人工變量之和為輔助目標(biāo)函數(shù)的輔助線性規(guī)劃問(wèn)題,即( 154)式中, 為引入的人工變量。如果不等式約束條件右端項(xiàng) 是負(fù)值,它所對(duì)應(yīng)的松弛變量就不能作為基本可行解的基本變量,所以上述方法并不是總能成功的。這時(shí)需引入人工變量,經(jīng)過(guò)變換再將它從基本變量中替換出去,具體作法舉例說(shuō)明如下。例 112 對(duì)線性規(guī)劃問(wèn)題引入松弛變量 、 、 、 ,將問(wèn)題變換為標(biāo)準(zhǔn)形式: 由于 中的系數(shù)為 1,而常數(shù)項(xiàng)為 3500, 所以 不能進(jìn)入基本可行解的基本變量中。為此需引入一個(gè)非負(fù)的人工變量 , 將約束條件變?yōu)橛纱艘鹨粋€(gè)問(wèn)題,就是要保證最后能把 從最優(yōu)解中排除出去。為了做到這一點(diǎn),可以給 一個(gè)很大的系數(shù) , 對(duì)于極小值問(wèn)題它應(yīng)取正值 (對(duì)于極大值問(wèn)題取負(fù)值 )。而只要 F(X)還沒(méi)有達(dá)到極值,運(yùn)算過(guò)程還可以繼續(xù)進(jìn) 行下去。在給 一個(gè)很大的系數(shù) 后,目標(biāo)函數(shù)中將增加一項(xiàng)給 因此,只要 還不為零,目標(biāo)函數(shù)就沒(méi)有達(dá)到極小 (大 )值。這樣,該線性規(guī)劃問(wèn)題變?yōu)?(取 =1000)。初始基本可行解為 對(duì)此輔助規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行消元變換,當(dāng)輔助目標(biāo)函數(shù)值等于 0時(shí),所得輔助線性規(guī)劃問(wèn)題的前 n個(gè)變量的值便構(gòu)成了線性規(guī)劃問(wèn)題的一個(gè)初始基本可行解。3最優(yōu)解的搜索 —— 最速變化規(guī)則 (選擇轉(zhuǎn)軸列 )通過(guò) 規(guī)則可以實(shí)現(xiàn)從一個(gè)基本可行解到另一個(gè)基本可行解的變換。為了通過(guò)基本可行解的變換盡快找到最優(yōu)解,進(jìn)行基本可行解變換應(yīng)向著目標(biāo)函數(shù)值有較大下降的方向進(jìn)行,這可通過(guò)最速變化規(guī)則來(lái)實(shí)現(xiàn)。對(duì)于由前 m個(gè)變量為基本變量組成的基本可行解( 155)目標(biāo)函數(shù)可以寫(xiě)成( 156)將上式對(duì)應(yīng)的基本可行解變換,得到另一組基本可行解,它的基本變量中包含有 ,即( 157)其中的 , 所對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)為( 158)令 ( 159)則 ( 160)式中 為相對(duì)價(jià)值系數(shù)。 ( 161) 顯然,對(duì)極小化問(wèn)題,應(yīng)有 ,即 r是負(fù)值。只要 r仍是負(fù)值,則目標(biāo)函數(shù) 還沒(méi)有達(dá)到極小值,還有下降的趨勢(shì),就還可以進(jìn)行轉(zhuǎn)軸運(yùn)算,生成另一組可行解。一旦 r為正,即可停止轉(zhuǎn)軸運(yùn)算,對(duì)應(yīng)的可行解就是最優(yōu)解。也可能有幾組 都為負(fù)值。對(duì)極小化問(wèn)題應(yīng)?。?162)式中 ,這樣可以使目標(biāo)函數(shù)獲得最大下降。根據(jù)式 ( 162) 的正負(fù)性判斷是否取得最優(yōu)解的方法稱(chēng)為最速變化規(guī)則。在求解極小點(diǎn)過(guò)程中,先利用約束條件方程組解出可行解,再用最速變化規(guī)則對(duì)其檢驗(yàn),從中找出最優(yōu)解。計(jì)算時(shí),也可以直接把目標(biāo)函數(shù)和約束條件同時(shí)列為轉(zhuǎn)軸運(yùn)算方程組。采用邊計(jì)算可行解,邊校驗(yàn)?zāi)繕?biāo)函數(shù)值的變化情況的辦法來(lái)求最
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