[高考]20xx高考調(diào)研理科數(shù)學(xué)單元測(cè)試講解_第九章單元測(cè)試-資料下載頁(yè)
2025-08-17 04:28本頁(yè)面
【正文】 得(4＋k2)x2＋2ktx＋t2－4＝0.③設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則由③得x1＋x2＝－，x1x2＝.又由l與圓x2＋y2＝1相切，得＝1，即t2＝k2＋1.所以|AB|＝＝＝.因?yàn)閨AB|＝＝≤2，且當(dāng)t＝177。時(shí)，|AB|＝2，所以|AB|的最大值為2.依題意，圓心O到直線AB的距離為圓x2＋y2＝1的半徑，所以△AOB面積S＝|AB|1≤1，當(dāng)且僅當(dāng)t＝177。時(shí)，△AOB面積S的最大值為1，相應(yīng)的T的坐標(biāo)為(0，－)或(0，)．18．已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C1：＋＝1經(jīng)過(guò)A(1,0)點(diǎn)，且離心率為.(1)求橢圓C1的方程；(2)過(guò)拋物線C2：y＝x2＋h(h∈R)上P點(diǎn)的切線與橢圓C1交于兩點(diǎn)M、N，記線段MN與PA的中點(diǎn)分別為G、H，當(dāng)GH與y軸平行時(shí)，求h的最小值．解析 (1)由題意可得解得a＝2，b＝1，所以橢圓C1的方程為x2＋＝1.(2)設(shè)P(t，t2＋h)，由y′＝2x，拋物線C2在點(diǎn)P處的切線的斜率為k＝y(tǒng)′＝2t，所以MN的方程為y＝2tx－t2＋h.代入橢圓方程得4x2＋(2tx－t2＋h)2－4＝0，化簡(jiǎn)得4(1＋t2)x2－4t(t2－h(huán))x＋(t2－h(huán))2－4＝0.又MN與橢圓C1有兩個(gè)交點(diǎn)，故Δ＝16[－t4－2(h＋2)t2－h(huán)2＋4]0.①設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中點(diǎn)橫坐標(biāo)為x0，則x0＝＝.設(shè)線段PA的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為x3＝.由已知得x0＝x3，即＝.②顯然t≠0，h＝－(t＋＋1)．③當(dāng)t0時(shí)，t＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)t＝1時(shí)取得等號(hào)，此時(shí)h≤－3不符合①式，故舍去；當(dāng)t0時(shí)，(－t)＋(－)≥2，當(dāng)且僅當(dāng)t＝－1時(shí)取得等號(hào)，此時(shí)h≥1，滿足①式．綜上，h的最小值為1.19．已知△ABC中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(－，0)，B(，0)，點(diǎn)C在x軸上方．(1)若點(diǎn)C坐標(biāo)為(，1)，求以A、B為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)P(m,0)作傾斜角為π的直線l交(1)中曲線于M、N兩點(diǎn)，若點(diǎn)Q(1,0)恰在以線段MN為直徑的圓上，求實(shí)數(shù)m的值．解析 (1)設(shè)橢圓方程為＋＝1，c＝，2a＝|AC|＋|BC|＝4，b＝，所以橢圓方程為＋＝1.(2)直線l的方程為y＝－(x－m)，令M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)立方程解得 3x2－4mx＋2m2－4＝0，若Q恰在以MN為直徑的圓上，則＝－1，即m2＋1－(m＋1)(x1＋x2)＋2x1x2＝0,3m2－4m－5＝0，解得m＝.20．已知橢圓C：＋＝1(ab0)的離心率為，其中左焦點(diǎn)F(－2,0)．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線y＝x＋m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)M關(guān)于直線y＝x＋1的對(duì)稱點(diǎn)在圓x2＋y2＝1上，求m的值．解析 (1)?＋＝1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x3，y3)，V(x4，y4)．由?3x2＋4mx＋2m2－8＝0.∴Δ＝96－8m20?－2m2.∴x3＝＝－，y3＝x3＋m＝.又?在x2＋y2＝1上．∴(－1)2＋(1－)2＝1?－＋－＋1＝0.∴5m2－18m＋9＝0?(5m－3)(m－3)＝0.∴m＝或m＝3經(jīng)檢驗(yàn)成立．∴m＝或m＝3.21．(2012浙江寧波市期末)已知拋物線C：x2＝2py(p0)的焦點(diǎn)為F，拋物線上一點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x1(x10)，過(guò)點(diǎn)A作拋物線C的切線l1交x軸于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)Q，交直線l：y＝于點(diǎn)M，當(dāng)|FD|＝2時(shí)，∠AFD＝60176。.(1)求證：△AFQ為等腰三角形，并求拋物線C的方程；(2)若B位于y軸左側(cè)的拋物線C上，過(guò)點(diǎn)B作拋物線C的切線l2交直線l1于點(diǎn)P，交直線l于點(diǎn)N，求△PMN面積的最小值，并求取到最小值時(shí)的x1的值．解析 (1)設(shè)A(x1，y1)，則切線AD的方程為y＝x－.所以D(，0)，Q(0，－y1)，|FQ|＝＋y1，|FA|＝＋y1，所以|FQ|＝|FA|.所以△AFQ為等腰三角形，且D為AQ中點(diǎn)，所以DF⊥AQ.∵|DF|＝2，∠AFD＝60176。，∴∠QFD＝60176。，＝1，得p＝2，拋物線方程為x2＝4y.(2)設(shè)B(x2，y2)(x20)，則B處的切線方程為y＝x－.由?P(，)，?M(＋，1)．同理N(＋，1)，所以面積S＝(＋－－)(1－)＝.①設(shè)AB的方程為y＝kx＋b，則b0.由?x2－4kx－4b＝0，得代入①得S＝＝，使面積最小，則k＝0，得到S＝.②令＝t，②得S(t)＝＝t3＋2t＋，S′(t)＝，∴當(dāng)t∈(0，)時(shí)S(t)單調(diào)遞減；當(dāng)t∈(，＋∞)時(shí)S(t)單調(diào)遞增．∴當(dāng)t＝時(shí)，S取最小值為，此時(shí)b＝t2＝，k＝0，∴y1＝即x1＝.22.如圖，已知M(m，m2)、N(n，n2)是拋物線C：y＝x2上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，且m2＋n2＝1，m＋n≠0，直線l是線段MN的垂直平分線，設(shè)橢圓E的方程為＋＝1(a0，a≠2)．(1)當(dāng)M、N在C上移動(dòng)時(shí)，求直線l的斜率k的取值范圍；(2)已知直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，與橢圓E交于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為R，線段QP的中點(diǎn)為S，若＝0，求橢圓E的離心率的取值范圍．解析 (1)由題意知，直線MN的斜率kMN＝＝m＋n.又l⊥MN，m＋n≠0，∴直線l的斜率k＝－.∵m2＋n2＝1，由m2＋n2≥2mn，得2(m2＋n2)≥(m＋n)2，即2≥(m＋n)2(當(dāng)m＝n時(shí)，等號(hào)成立)，∴|m＋n|≤.∵M(jìn)、N是不同的兩點(diǎn)，即m≠n，∴0|m＋n|.∴|k|，即k－或k.(2)由題意易得，線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(，)．∵直線l是線段MN的垂直平分線，∴直線l的方程為y－＝k(x－)．又∵m2＋n2＝1，k＝－，∴直線l的方程為y＝kx＋1.將直線l的方程代入拋物線方程和橢圓方程并分別整理，得x2－kx－1＝0，?、?a＋2k2)x2＋4kx＋2－2a＝0.?、谝字匠挞俚呐袆e式Δ1＝k2＋40，方程②的判別式Δ2＝8a(2k2＋a－1)．由(1)易知k2，且a0，∴2k2＋a－1a0，∴Δ20恒成立．設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，則xA＋xB＝k，yA＋yB＝kxA＋1＋kxB＋1＝k(xA＋xB)＋2＝k2＋2.∴線段AB的中點(diǎn)R的坐標(biāo)為(，＋1)．又xP＋xQ＝－，yP＋yQ＝kxP＋1＋kxQ＋1＝k(xP＋xQ)＋2＝.∴線段QP的中點(diǎn)S的坐標(biāo)為(，)．∴＝(，＋1)，＝(，)，由＝0，得＝0，即－k2＋a(＋1)＝0.∴a＝.∵k2，∴a＝＝，a＝＝2－2.∴a，橢圓E的離心率e＝，∴a＝2－2e2，∴2－2e22，∴0e2，∴0e.∴橢圓E的離心率的取值范圍是(0，)
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