20xx陜西省聚焦中考數(shù)學(xué)-專題聚焦課件：專題一-最值問(wèn)題-資料下載頁(yè)
2025-08-04 18:35本頁(yè)面
【正文】 2＝ 5 ， BC2＝ OC2＋ OB2＝ 20 ，∴ AC2＋ BC2＝ AB2， ∴△ ABC 是直角三角形 ( 3 ) 作出點(diǎn) C 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn) C ′ ， 則 C ′ ( 0 ， 2 ) ． 連接 C ′ D 交 x 軸于點(diǎn) M ， 根據(jù)軸對(duì)稱性及兩點(diǎn)之間線段最短可知 ， CD 長(zhǎng)一定 ， 當(dāng) MC＋ MD 的值最小時(shí) ， △ C D M 的周長(zhǎng)最小 ， 設(shè)直線 C ′ D 的解析式為 y ＝ax ＋ b ( a ≠ 0 ) ， 則????? b ＝ 2 ，32a ＋ b ＝－258，解得 a ＝－4112， b ＝ 2 ， ∴ y C ′ D ＝－4112x ＋2 ， 當(dāng) y ＝ 0 時(shí) ， －4112x ＋ 2 ＝ 0 ， 則 x ＝2441， ∴ M (2441， 0 ) 【 點(diǎn)評(píng) 】 本 題綜 合考 查 了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)解析式、拋物 線 的性 質(zhì) 、勾股定理的逆定理以及 軸對(duì) 稱 ——最短路 線 等重要知 識(shí)點(diǎn) ， 綜 合性 強(qiáng) ， 能力要求極高．考 查 學(xué)生數(shù)形 結(jié) 合的數(shù)學(xué)思想方法． [ 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 ] 1 ． 如圖 ， 經(jīng)過(guò)原點(diǎn) O 的拋物線 y ＝ ax2－ 6a x 交 x 軸于點(diǎn) A ， 頂點(diǎn) B 在正比例函數(shù) y ＝43x 的圖象上．若點(diǎn) M 在直線 OB 上 ， 點(diǎn) N 在拋物線的對(duì)稱軸上 ， 求 ON ＋ MN 的最小值． 解：令 y ＝ 0 ， ax2－ 6ax ＝ 0 ， 解得 x1＝ 0 ， x2＝ 6 ， 則 A(6 ， 0) ， 所以拋物線的對(duì)稱軸為直線 x ＝ 3 ， 當(dāng) x ＝ 3 時(shí) ， y ＝43x ＝ 4 ， 則 B(3 ， 4) ， 所以 BO＝ BA ＝ 5 ， 作點(diǎn) M 關(guān)于直線 x ＝ 3 的對(duì)稱點(diǎn) M ′ ， 直線 x ＝ 3 與 x 軸的交點(diǎn)為 C ， 如圖 ， 因?yàn)?BO 與 BA 關(guān)于 BC 對(duì)稱 ， 所以點(diǎn) M ′在 BA 上 ， 則ON ＋ MN ＝ ON ＋ M ′ N ， 所以當(dāng)點(diǎn) O ， N ， M ′共線且垂直 AB 時(shí) ， 即OM ′ ⊥ AB ， ON ＋ M ′ N 最短 ， 最短長(zhǎng)度為垂線段 OM ′的長(zhǎng) ， 而12OM′ AB ＝12BC OA ， 所以 OM ′＝245， 即 ON ＋ MN 的最小值為245 2． (2022 新疆 )如圖 ， 直線 y＝－ 3x＋ 3與 x軸、 y軸分別交于點(diǎn) A， 物線 y＝ a(x－ 2)2＋ k經(jīng)過(guò) A， B， 并與 x軸交于另一點(diǎn) C， 其頂點(diǎn)為 P. (1)求 a， k的值； (2)拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn) M， 使△ ABM的周長(zhǎng)最??？若存在， 求△ ABM的周長(zhǎng)；若不存在 ， 請(qǐng)說(shuō)明理由． 解： (1) 在 y ＝－ 3x ＋ 3 中 ， 令 y ＝ 0 ， 可求得 x ＝ 1 ， 令 x ＝ 0 ， 可求得 y ＝ 3 ，∴ A(1 ， 0) ， B (0 ， 3) ， 分別代入 y ＝ a(x － 2)2＋ k ， 可得????? a ＋ k ＝ 0 ，4a ＋ k ＝ 3 ，解得??? a ＝ 1 ，k ＝－ 1 (2) 由條件可知對(duì)稱軸方程為 x ＝ 2 ， 連接 BC 交對(duì)稱軸于點(diǎn) M ，連接 MA ， 如圖 ， ∵ A ， C 兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱 ， ∴ AM ＝ MC ， ∴ BM ＋AM 最小 ， ∴△ ABM 周長(zhǎng)最小 ， ∵ B (0 ， 3) ， C( 3 ， 0) ， ∴ 可設(shè)直線 BC解析式為 y ＝ mx ＋ 3 ， 把 C 點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得 m ＝－ 1 ， ∴ 直線 BC 解析式為 y ＝－ x ＋ 3 ， 當(dāng) x ＝ 2 時(shí) ， 可得 y ＝ 1 ， ∴ M( 2 ， 1) ， ∴ 存在滿足條件的 M 點(diǎn) ， 此時(shí) BC ＝ 3 2 ， 且 AB ＝ 10 ， ∴△ A BM 的周長(zhǎng)的最小值為 3 2＋ 10
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