張英伯clifford-theorem-rv-資料下載頁(yè)
2025-08-04 15:26本頁(yè)面
【正文】 是關(guān)于模為 1 的復(fù)數(shù) ? 的初等對(duì)稱多項(xiàng)式。則 ?根據(jù)引理 , 第二個(gè)方程的共軛方程為 ?將兩端同乘以 ，根據(jù)引理 得： 221 , ?puuu ??221 , ?pttt ??tuus iii 1???)()1()()1()()1()1(0213212122121121212212tuatuuatuaasasasaappppppppppppppppp????????????????????????????????2?pu ?將第 p 個(gè)方程的兩端同乘以 ，并顛倒次序，我們有方程： ?易見(jiàn)這兩個(gè)方程共軛， 故 ， 在單位圓上。 ?在關(guān)于 2p 的 p 個(gè)方程中消去 ，即得所求公式，定理的第一部分證畢。 tatuatuuaua ppppppppp 11122322212 )1()1()1()(0 ???????? ???????? ?1)1( ?? pppppppppp atuatuuatua 11123222212 )1()()1()(0 ???????? ???????? ?1?tt t121 , ?psss ???我們來(lái)考察 2p+1 的情況。根據(jù)引理 , 2p 條直線的特征常數(shù)可以通過(guò) 2p+1 條直線的特征常數(shù)表示出來(lái)。故 2p 條直線的 Clifford 點(diǎn)滿足的方程誘導(dǎo)出下述 p 個(gè)方程： 12121121111222111112111433211113221)()1()()(0)()1()()(0)()1()()(0)()1()()(???????????????????????????????????????????????????ppppppppppppppppppppppppstaastaataastaastaataastaastaataastaastaataax???????????????????????????關(guān)于 p1 個(gè)變?cè)某醯葘?duì)稱多項(xiàng)式 ?與 誘導(dǎo)出 p 個(gè)變?cè)某醯葘?duì)稱多項(xiàng)式 ?原方程變?yōu)椋? 121 , ?psss ???tpp ssss , 121 ???ppppppppppppppppppppppppppppsasasaasasasaasasasaasasasaax2112111121221112111132111121)1()1(0)1()1(0)1()1(0)1()1(???????????????????????????????????????????????????????????運(yùn)用引理 ，與 2p 的情況類似可驗(yàn)，方程組中的第 i+1 個(gè)方程與第 pi+1 個(gè)方程是共軛的， t 在單位圓上。 ?在關(guān)于 2p+1 的 p 個(gè)方程中消去 ，即得所求公式。定理的第二部分證畢。 ? Clifford 定理的正確性從數(shù)學(xué)歸納法得到。 121 , ?psss ???當(dāng)然， 特征常數(shù) a 需要滿足一定的條件 ， 使得直線兩兩相交，且沒(méi)有三條直線交于一點(diǎn)。下面列出的第二篇參考文獻(xiàn)就專門討論了這個(gè)問(wèn)題。 ?我教過(guò)多年的線性代數(shù)，從來(lái)沒(méi)有想到用矩陣、行列式和對(duì)稱多項(xiàng)式能夠如此 巧妙 地解決這樣 復(fù)雜 的平面幾何問(wèn)題。偉大的數(shù)學(xué)家高斯曾經(jīng)說(shuō)過(guò)： “數(shù)學(xué)中的一些美麗定理具有這樣的特性：它們極易從事實(shí)中歸納出來(lái)，但證明卻隱藏得極深?！?當(dāng)我讀到這篇文獻(xiàn)時(shí)，不由地驚嘆數(shù)學(xué)家的智慧，數(shù)學(xué)的深刻與優(yōu)美。 ? 參考文獻(xiàn) ? , On the metric geometry of the plane nline, ,1900. ? , The failure of the Clifford chain， American . , 1920, 137167. ? 就講到這里， 謝謝大家
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