【正文】 EG ⊥ DA交 DA 延長(zhǎng)線于點(diǎn) G ， 則 ∠ C HE ＝ ∠ G ＝ 90 176。 ， ∵ AE ＝ EC ， ∠ E A G ＝ ∠ HCE ＝ 45 176。 ， ∴△ A G E ≌△ C HE ， ∴ EG ＝ EH ， ∠ A E G ＝ ∠ C E H. 又 ED ＝ EF ， ∴ Rt △ D E G ≌ Rt △ F E H ， ∴∠ D E G ＝ ∠ F E H ， ∴∠ D E A ＝ ∠ F E C ， ∴∠ F E C ＋ ∠ D E C ＝ ∠ D E A ＋ ∠ D E C ＝ 90 176。 ， ∴∠ D E F ＝ 90 176。 ， ∴ ED ⊥ E F . 專題八 ┃ 創(chuàng)新學(xué)習(xí)型問(wèn)題 2 ． 正方形 AB CD 的頂點(diǎn) A 在直線 MN 上 ， 點(diǎn) O 是對(duì)角線 AC 、 BD 的交點(diǎn) ， 過(guò)點(diǎn) O 作 OE ⊥ MN 于點(diǎn) E ， 過(guò)點(diǎn) B 作 BF ⊥ MN 于點(diǎn) F. ( 1) 如圖 Z8 － 10 ① ， 當(dāng) O 、 B 兩點(diǎn)均位于直線 MN 上方時(shí) ， 易證： AF ＋BF ＝ 2OE ( 不需證明 ) ； ( 2) 當(dāng)正方形 A B CD 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖 ② 、圖 ③ 的位置時(shí) ， 線段 AF 、BF 、 OE 之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想 ， 并選擇一種情況給 予證明． 圖 Z8 － 10 專題八 ┃ 創(chuàng)新學(xué)習(xí)型問(wèn)題 解： ( 2) 題圖 ② 結(jié)論： AF － BF ＝ 2OE . 題圖 ③ 結(jié)論： BF － AF ＝ 2OE . 對(duì)于題圖 ② 的證明： 過(guò)點(diǎn) B 作 BG ⊥ OE 交 OE 延長(zhǎng)線于點(diǎn) G ， 如圖． 則四邊形 E G B F 是矩形 ， ∴ BF ＝ GE ， EF ＝ G B . ∵ 四邊形 A B CD 是正方形 ， ∴ OA ⊥ OB ， AC ＝ B D. ∵ B G ⊥ OG ， OE ⊥ MN ， ∴∠ 1 ＋ ∠ 2 ＝ 90 176。 ， ∠ 1 ＋ ∠ 3 ＝ 90 176。 ， ∴∠ 2 ＝ ∠ 3 ， ∠ O E A ＝ ∠ O G B ＝ 90 176。 . 又 ∵ 正方形 A B CD ， ∴ OA ＝ OB ＝12AC ＝12BD ， ∴△ AOE ≌△ O B G ， ∴ AE ＝ OG ， OE ＝ GB ， ∴ OE ＝ EF ， ∴ AF － BF ＝ 2OE . 專題八 ┃ 創(chuàng)新學(xué)習(xí)型問(wèn)題 3 ． 如圖 Z8 － 11 ① ， 正六邊形 A B C D E F 的邊長(zhǎng)為 a ， P 是 BC 邊上一動(dòng)點(diǎn) ， 過(guò) P 作 PM ∥ AB 交 AF 于 M ， 作 PN ∥ CD 交 DE 于 N. ( 1) ①∠ M P N ＝ ________ 176。 ； ② 求證： PM ＋ PN ＝ 3a ； ( 2) 如圖 ② ， 點(diǎn) O 是 AD 的中點(diǎn) ， 連接 OM 、 ON. 求證： OM ＝ ON ； ( 3) 如圖 ③ ， 點(diǎn) O 是 AD 的中點(diǎn) ， OG 平分 ∠ M O N ， 判斷四邊形 O M G N是否為特殊四邊形？并說(shuō)明理由． 圖 Z8 － 11 專題八 ┃ 創(chuàng)新學(xué)習(xí)型問(wèn)題 解： ( 1) ① 60 ； ② 如圖 ① ， 過(guò)點(diǎn) B 作 BG ∥ AF ， 交 PM 于點(diǎn) G ；過(guò)點(diǎn) C 作CL ∥ DE ， 交 PN 于點(diǎn) L. 則 MG ＝ AB ＝ a ， NL ＝ CD ＝ a ， △ B P G 與 △ C P L 均是正三角形 ， ∴ PG ＋ PL ＝ PB ＋ PC ＝ BC ＝ a. ∴ PM ＋ PN ＝ MG ＋ NL ＋ PG ＋ PL ＝ 3a. 專題八 ┃ 創(chuàng)新學(xué)習(xí)型問(wèn)題 解： ( 2) 如圖 ② ， 連接 OF . 由 ( 1 ) 知 ， ND ＝ PC ， AM ＝ PB ， ∴ PB ＋ PC ＝ AM ＋ DN ＝ AM ＋ FM ＝ a ， ∴ FM ＝ DN ， 又 ∵ OF ＝ OD ， ∠ OF M ＝ ∠ OD N ＝ 60 176。 ， ∴△ OF M ≌△ OD N ， ∴ OM ＝ ON . 專題八 ┃ 創(chuàng)新學(xué)習(xí)型問(wèn)題 解： ( 3) 四邊形 O M G N 是菱形．理由如下： 連接 OF ， 如圖 ③ ， 由 ( 2 ) 中 △ O F M ≌△ O D N ， 得 ∠ D O N ＝∠ F O M ， ∴∠ D O N ＋ ∠ A O M ＝ 60 176。 ， ∴∠ M O N ＝ 120 176。 ， ∵ OG 平分 ∠ M O N ， ∴∠ M O G ＝ ∠ N O G ＝ 60 176。 ， ∵ OM ＝ ON ＝ OG ， ∴△ O M G 與 △ O N G 均為正三角形． ∴ OM ＝ MG ＝ GN ＝ NO ＝ OG ， ∴ 四邊形 O M G N 是菱形． 專題八 ┃ 創(chuàng)新學(xué)習(xí)型問(wèn)題 4 ． 【問(wèn)題提出】 如圖 Z8 － 12① ， 已知 △ABC 是等邊三角形 ， 點(diǎn) E 在線段 AB 上 ， 點(diǎn) D 在直線 BC 上 ， 且 ED ＝ EC ， 將 △BCE 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60 176。 至 △ACF ， 連接 EF. 試證明： AB ＝ DB ＋ AF. 【類比探究】 (1) 如圖 ② ， 如果點(diǎn) E 在線段 AB 的延長(zhǎng)線上 ， 其他條件不變 ， 線段 AB ，DB ， AF 之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由； (2) 如果點(diǎn) E 在線段 BA 的延長(zhǎng)線上 ， 其他條件不變 ， 請(qǐng)?jiān)趫D ③ 的基礎(chǔ)上將圖形補(bǔ)充完整 ， 并寫(xiě)出 AB ， DB ， AF 之間的數(shù)量關(guān)系 ， 不必說(shuō)明理由． 圖 Z8 － 12 專題八 ┃ 創(chuàng)新學(xué)習(xí)型問(wèn)題 解： 【問(wèn)題提出】證明：由旋轉(zhuǎn)知 BE ＝ AF ， ∠ A B C ＝ ∠ F A C ， EC ＝ FC ，∠ E C F ＝ 60 176。 ， ∴△ E C F 是等邊三角形． ∴∠ F E C ＝ 60 176。 . ∴∠ A E F ＋ ∠ B E C ＝ 120 176。 . ∵△ A B C 是等邊三角形 ， ∴∠ B A C ＝ ∠ A B C ＝ 60 176。 . ∴∠ B E C ＋ ∠ B C E ＝ 120 176。 ， ∴∠ A E F ＝ ∠ B C E . ∵ ED ＝ EC ， ∴∠ D ＝ ∠ E C D . ∴∠ A E F ＝ ∠ D. ∵∠ F A C ＝ 60 176。 ， ∠ B A C ＝ 60 176。 ， ∴∠ E A F ＝ 12 0 176。 . ∵∠ A B C ＝ 60 176。 ， ∴∠ D B E ＝ 120 176。 . ∴∠ E A F ＝ ∠ D B E . ∴△ A E F ≌△ B D E . ∴ AE ＝ D B . ∵ AB ＝ AE ＋ EB ， EB ＝ AF ， AE ＝ DB ， ∴ AB ＝ DB ＋ A F . 專題八 ┃ 創(chuàng)新學(xué)習(xí)型問(wèn)題 【類比探究】 (1) 如圖 ② ， 如果點(diǎn) E 在線段 AB 的延長(zhǎng)線上 ， 其他條件不變 ， 線段 AB ，DB ， AF 之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由； (2) 如果點(diǎn) E 在線段 BA 的延長(zhǎng)線上 ， 其他條件不變 ， 請(qǐng)?jiān)趫D ③ 的基礎(chǔ)上將圖形補(bǔ)充完整 ， 并寫(xiě)出 AB ， DB ， AF 之間的數(shù)量關(guān)系 ， 不必說(shuō)明理由． 圖 Z8 － 12 專題八 ┃ 創(chuàng)新學(xué)習(xí)型問(wèn)題 【類比探究】 ( 1 ) A B ＝ DB － A F . 理由：由旋轉(zhuǎn)知 BE ＝ AF ， ∠ E B C ＝ ∠ F A C ， EC ＝ FC ， ∠ E C F ＝ 60 176。 ， ∴△ E C F 是等邊三角形． ∴∠ F E C ＝ 60 176。 ， ∴∠ F E A ＋ ∠ B E C ＝ 60 176。 . ∵△ A B C 是等邊三角形 ， ∴∠ B A C ＝ ∠ A B C ＝ 60 176。 . ∴∠ B E C ＋ ∠ B C E ＝ 60 176。 ， ∴∠ F E A ＝ ∠ B C E . ∵ DE ＝ CE ， ∴∠ D ＝ ∠ B C E ， ∴∠ F E A ＝ ∠ D. ∵∠ A B C ＝ 60 176。 ， ∴∠ D B E ＝ 60 176。 ， ∠ E B C ＝ 12 0 176。 . ∴∠ F A C ＝ ∠ E B C ＝ 120 176。 . ∵∠ B A C ＝ 60 176。 ， ∴∠ F A E ＝ 60 176。 . ∴∠ F A E ＝ ∠ D B E . ∵ ∠ F E A ＝ ∠ D ， AF ＝ BE ， ∴△ A E F ≌△ B D E . ∴ AE ＝ D B . ∵ AB ＝ AE － BE ， AF ＝ BE ， ∴ AB ＝ DB － A F . 專題八 ┃ 創(chuàng)新學(xué)習(xí)型問(wèn)題 ( 2) A B ＝ AF － D B . 只畫(huà)出圖 ①② 中一個(gè)即可．