【正文】 60。青蛙跳井的問題 井深10米，青蛙每次向上跳5米，又向下滑4米，問他幾次能夠跳上井？ A、5B、6C、10D、9 答案X 鐘表指針重疊問題 中午12點，時針與分針完全重合，那么到下次12點時，時針與分針重合多少次？ A、10B、11C、12D、13 答案B 中午12點，秒針與分針完全重合，那么到下午1點時，兩針重合多少次？ A、60B、59C、61D、62 答案B 余數(shù)相加法 假如今天是星期二，那么再過45天，應(yīng)該是星期幾？ A、6B、5C、4D、3 答案B 今天是200101，那么再過65天是幾月幾日？ 200003 200004 200005 200006 能夠被4整除的年是閏年，2月有29天 比例分配法 學(xué)校一、二、三年級學(xué)生總數(shù)是450人，三個年級學(xué)生人數(shù)的比例是 2：3：4，問人數(shù)最多的年級是多少人？ A、100 B、150 C、200D、250 答案 數(shù)學(xué)應(yīng)用例 李明、王寧、張虎三個男同學(xué)都各有一個妹妹，六個人在一起打羽毛球，舉行混合雙打比賽。事先規(guī)定，兄妹二人不許搭伴。 第一盤，李明和小華對張虎和小紅； 第二盤，張虎和小林對李明和王寧的妹妹； 請判斷，小華、小紅和小林各是誰的妹妹。 [分析]： 張虎和小紅、小林都搭伴比賽，根據(jù)已知條件，兄妹二人不許搭伴，所以張虎的妹妹不是小紅和小林，那么只能是小華，剩下就只有兩種可能： 第一種可能是：李明的妹妹是小紅，王寧是妹妹是小林； 第二種可能是：李明的妹妹是小林，王寧的妹妹是小紅。 對于第一種可能，第二盤比賽是張虎和小林對李明和王寧的妹妹。那么成了三個人打混合比賽了，不符合實際，所以第一種可能不成立的，只有第二種可能是合理的。 例“迎春杯”數(shù)學(xué)競賽后，甲、乙、丙、丁四名同學(xué)猜測他們之中誰能獲獎。甲說：“如果我能獲獎，那么乙也能獲獎。” 乙說：“如果我能獲獎，那么丙也能獲獎?！北f：“如果丁沒獲獎，那么我也不能獲獎。”實際上，他們之中只有一個人沒有獲獎。并且甲、乙、丙說的話都是正確的。那么沒能獲獎的同學(xué)是（……）？ [分析] 首先根椐丙說的話以可以推知,丁必能獲獎。否則，假設(shè)丁沒有獲獎，那么丙也沒獲獎，這與“他們之中只有一人沒有獲獎”矛盾。 其次，考慮甲是否獲獎，假設(shè)甲能獲獎，那么根椐甲說的話可以推知，乙也能獲獎；再根椐乙說的話又可以推知丙也能獲獎，這樣就得出4個人全都能獲獎，不可能。因此，只有甲沒有獲獎。 例數(shù)學(xué)競賽后，小明、小華、小強各獲得一枚獎牌，其中一人得金牌，一人得銀牌，一個得銅牌。王老師猜測：“小明得金牌；小華不得金牌；小強不得銅牌?！钡霉趵蠋熤徊聦α艘粋€。那么小明得（）牌，小華得（ ）牌，小強得（ ）牌。 [分析] 若“小明得金牌”時，小華一定“不得金牌”，這與“王老師只猜對一個”相矛盾。 若小明得銀牌時，再以小華得獎情況分別討論。如果小華得金牌，小強得銅牌那么王老師沒有猜對一個，不合題意。如果小華得銅牌，小強得金牌，那么王老師猜對了兩個，也不合題意。 若小明得銅牌時，仍以小華得獎情況分別討論。如果小華得金牌，小強得銀牌，那么王老師只猜對小強得獎牌的名次，符合題意；如果小華得銀牌，小強得金牌，那么王老師猜對了兩個，不合題意。 ============================================== 還原與年齡1. 某數(shù)加上6，乘以6，減去6，除以6，其結(jié)果等于6，則這個數(shù)是多少？ 解答：（66+6）247。66=1，這個數(shù)是1 2. 兩個兩位數(shù)相加，其中一個加數(shù)是73，另一個加數(shù)不知道，只知道另一個加數(shù)的十位數(shù)字增加5，個位數(shù)字增加1，那么求得的和的后兩位數(shù)字是72，問另一個加數(shù)原來是多少？ 解答：和的后兩位數(shù)字是72，說明另一個加數(shù)變成了99，所以原來的加數(shù)是9951=48. 3. 有磚26塊，兄弟二人爭著去挑。弟弟搶在前面，剛擺好磚，哥哥趕到了。哥哥看弟弟挑的太多，就搶過一半。弟弟不肯，又從哥哥那兒搶走一半。哥哥不服，弟弟只好給哥哥5塊，這時哥哥比弟弟多挑2塊。問最初弟弟準備挑多少塊？ 解答：先算出最后各挑幾塊：（和差問題）哥哥是（26+2）247。2=14，弟弟是2614=12，然后來還原：1. 哥哥還給弟弟5塊：哥哥是145=9，弟弟是12+5=17；2. 弟弟把搶走的一半還給哥哥：搶走了一半，那么剩下的就是另一半，所以哥哥就應(yīng)該是9+9=18，弟弟是179=8；3. 哥哥把搶走的一半還給弟弟：那么弟弟原來就是8+8=16塊. 4. 甲、乙、丙三人錢數(shù)各不相同，甲最多，他拿出一些錢給乙和丙，使乙和丙的錢數(shù)都比原來增加了兩倍，結(jié)果乙的錢最多；接著乙拿出一些錢給甲和丙，使甲和丙的錢數(shù)都比原來增加了兩倍，結(jié)果丙的錢最多；最后丙拿出一些錢給甲和乙，使甲和乙的錢數(shù)都比原來增加了兩倍，結(jié)果三人錢數(shù)一樣多了。如果他們?nèi)斯灿?1元，那么三人原來的錢分別是多少元？ 解答：三人最后一樣多，所以都是81247。3=27元，然后我們開始還原：1. 甲和乙把錢還給丙：每人增加2倍，就應(yīng)該是原來的3倍，所以甲和乙都是27247。3=9，丙是8199=63；2. 甲和丙把錢還給乙：甲9247。3=3，丙63247。3=21，乙81321=57；3. 最后是乙和丙把錢還給甲：乙57247。3=19，丙21247。3=7，甲81197=55元. 5. 甲、乙、丙三人各有糖豆若干粒，甲從乙處取來一些，使自己的糖豆增加了一倍；接著乙從丙處取來一些，使自己的糖豆也增加了一倍；丙再從甲處取來一些，也使自己的糖豆增加了一倍?，F(xiàn)在三人的糖豆一樣多。如果開始時甲有51粒糖豆，那么乙最開始有多少粒糖豆？ 解答：先假設(shè)后來三個人都是4份，還原后得到甲、乙、丙分別是3份，5份，4份，實際上甲原來有51粒，51247。3=17，那么我們可以把1份看成17粒，所以乙最開始有糖豆175=85粒. 6. 有一筐蘋果，把它們?nèi)确趾筮€剩2個蘋果；取出其中兩份，將它們?nèi)确趾筮€剩兩個；然后再取出其中兩份，又將這兩份三等分后還剩2個。問：這筐蘋果至少有幾個？ 解答：如果最后的1份只有1個的話，我們很快就可以發(fā)現(xiàn)前面的1份就是（13+2）247。2=，這是不可能的，所以最后的那一份至少是2個，那么這筐蘋果原來至少有：[（23+2）247。23+2] 247。23=2=23個. 7. 今年父親的年齡是兒子的5倍，15年后，父親的年齡是兒子年齡的2倍，問：現(xiàn)在父子的年齡各是多少歲？ 解答：今年父子的年齡差是兒子的51=4倍，15年后父子的年齡差是兒子的21=1倍，這說明在過了15年后，兒子的年齡是現(xiàn)在的四倍，根據(jù)差倍問題的公式可以計算出兒子今年的年齡是15247。（41）=5歲，父親今年是55=25歲. 8. 有老師和甲乙丙三個學(xué)生，現(xiàn)在老師的年齡剛好是三個學(xué)生的年齡和；9年后，老師年齡為甲、乙兩個學(xué)生的年齡和；又3年后，老師年齡為甲、丙兩個學(xué)生的年齡和；再3年后，老師年齡為乙、丙兩個學(xué)生的年齡和。求現(xiàn)在各人的年齡。 解答：老師=甲+乙+丙，老師+9=甲+9+乙+9，比較一下這兩個條件，很快得到丙的年齡是9歲；同理可以得到乙是9+3=12歲，甲是9+3+3=15歲，老師是9+12+15=36歲. 9. 全家4口人，父親比母親大3歲，姐姐比弟弟大2歲。四年前他們?nèi)业哪挲g和為58歲，而現(xiàn)在是73歲。問：現(xiàn)在各人的年齡是多少？ 解答：7358=15≠44，我們知道四個人四年應(yīng)該增長了44=16歲，但實際上只增長了15歲，為什么呢？是因為在4年前，弟弟還沒有出生，那么弟弟今年應(yīng)該是幾歲呢？我們可以這樣想：父親、母親、姐姐三個人4年增長了12歲，1512=3，3就是弟弟的年齡！那么很快能得到姐姐是3+2=5歲，父母今年的年齡和是7335=65歲，根據(jù)和差問題，就可以得到父親是（65+3）247。2=34歲，母親是6534=31歲. 10. 學(xué)生問老師多少歲，老師說：“當我象你這么大時，你剛3歲；當你象我這么大時，我已經(jīng)39歲了。”求老師與學(xué)生的年齡。 解答：老師的這句話表示3，學(xué)生年齡，老師年齡，39這4個數(shù)是一個等差數(shù)列，即學(xué)生年齡3=老師年齡－學(xué)生年齡=39老師年齡，我們可以先求出這個差是多少：（393）247。3=12，所以學(xué)生年齡是3+12=15歲，老師年齡是15+12=27歲. 11. 哥哥現(xiàn)在的年齡是弟弟當年年齡的3倍，哥哥當年的年齡與弟弟現(xiàn)在的年齡相同，哥哥與弟弟現(xiàn)在的年齡和為30歲。問：哥哥現(xiàn)在多少歲？ 解答：假設(shè)弟弟當年年齡是1份，那么哥哥現(xiàn)在的年齡就是3份，因為哥哥當年的年齡與弟弟現(xiàn)在的年齡相同，因為弟弟當年年齡，弟弟現(xiàn)在年齡（=哥哥當年年齡），哥哥現(xiàn)在年齡這三個數(shù)是等差的，所以弟弟現(xiàn)在年齡（=哥哥當年年齡）就剛好是2份，那么兄弟現(xiàn)在的年齡和是3+2=5份，一份就是30247。5=6，哥哥現(xiàn)在是63=18歲. 12. 梁老師問陳老師有多少子女，她說：“現(xiàn)在我和愛人的年齡和是子女年齡和的6倍；兩年前，我們的年齡和是子女年齡和的10倍；六年后，我們的年齡和是子女年齡和的3倍?！眴栮惱蠋熡卸嗌僮优?解答：2年前，年齡差是子女年齡和的101=9倍；今年，年齡差是子女年齡和的61=5倍；6年后，年齡差是子女年齡和的31=2倍。這個時候可以看到這個題中的年齡差不是一定的，否則年齡差是9，5，2倍數(shù)，至少是90，這是不合常理的，也就是說子女個數(shù)不會是2個。如果這個題目不用方程的話，我想最好的方法就是先假設(shè)陳老師有1個子女，很快就會得到矛盾，最后可以算出陳老師是3個子女。本題推薦使用方程求解！ 13. 今年是1996年。父母的年齡和是78歲，兄弟的年齡和是17歲。四年后，父的年齡是弟的4倍，母的年齡是兄的年齡的3倍。那么當父的年齡是兄的年齡的3倍時是公元哪一年？ 解答：四年后，父母的年齡和是78+8=86歲，兄弟的年齡和是17+8=25歲，父=弟4，母=兄3，那么父+母=弟4+兄3=3（弟+兄）+弟，即86=325+弟，所以弟是11歲，兄是2511=14歲，父是114=44歲，母是143=42歲（以上都是4年后的年齡，即公元2000年），很顯然再過1年后父親45歲，兄是15歲，父親是哥哥年齡的3倍，所以答案就是公元2001年. 14. 甲、乙、丙三人現(xiàn)在歲數(shù)的和是113歲，當甲的歲數(shù)是乙的歲數(shù)的一半時，丙是38歲，當乙的歲數(shù)是丙的歲數(shù)的一半時，甲是17歲，那么乙現(xiàn)在是多少歲？ 解答：假設(shè)當甲的歲數(shù)是乙的歲數(shù)的一半時，甲是a歲，乙就是2a歲，丙38歲；當甲17歲的時候，注意到甲乙的年齡差不變，都是a，所以乙是17+a歲，那么丙是乙的2倍，就是2（17+a），再根據(jù)甲丙的年齡差可以得到：38a=2（17+a）17，由此可以得到a是等于7的，所以在某一年，甲7歲，乙14歲，丙38歲，和是7+14+38=59歲，（11359）247。3=18，再過18年后，三人年齡和是113歲，所以乙今年的年齡是14+18=32歲. 15. 今年，祖父的年齡是小明的年齡的6倍。幾年后，祖父的年齡將是小明年齡的5倍。又過幾年以后，祖父的年齡將是小明年齡的4倍。求：祖父今年是多少歲？ 解答：觀察年齡差：今年的年齡差是小明年齡的5倍；幾年后的年齡差是小明當時年齡的4倍；又過幾年以后的年齡差是小明年齡的3倍，所以年齡差是5，4，3的倍數(shù)，很快就能得到年齡差應(yīng)該是60（當然不可能是120，180等等），今年小明的年齡是：60247。（61）=12歲，那么祖父就是12+60=72歲. 抽屜原則 　　抽屜原則，又叫狄利克雷原則，它是一個重要而又基本的數(shù)學(xué)原理，應(yīng)用它可以解決各種有趣的問題，并且常常能夠得到令人驚奇的結(jié)果，許多看起來相當復(fù)雜，甚至無從下手的問題，利用它能很容易得到解決．那么，什么是抽屜原則呢？我們先從一個最簡單的例子談起． 　　將三個蘋果放到兩只抽屜里，想一想，可能會有什么樣的結(jié)果呢？要么在一只抽屜里放兩個蘋果，而另一只抽屜里放一個蘋果；要么一只抽屜里放有三個蘋果，而另一只抽屜里不放．這兩種情況可用一句話概括：一定有一只抽屜里放入了兩個或兩個以上的蘋果．雖然哪只抽屜里放入至少兩個蘋果我們無法斷定，但這是無關(guān)緊要的，重要的是有這樣一只抽屜放入了兩個或兩個以上的蘋果． 　　如果我們將上面問題做一下變動，例如不是將三個蘋果放入兩只抽屜里，而是將八個蘋果放到七只抽屜里，我們不難發(fā)現(xiàn)，這八個蘋果無論以怎樣的方式放入抽屜，仍然一定會有一只抽屜里至少有兩個蘋果． 　　如果將上述問題中的蘋果換成兔子、糖果、書本或數(shù)，同時，將抽屜相應(yīng)地換成兔籠、小孩、學(xué)生或數(shù)的集合，仍然可以得到相同的結(jié)論．由此可以看出，上面推理的正確性與具體的事物是沒有關(guān)系的．如果我們把一切可以與蘋果互換的事物稱為元素，而把一切可以與抽屜互換的事物叫做集合，那么上面的結(jié)論就可以敘述為：八個元素以任意方式分到七個集合之中，一定有一個集合中至少有兩個元素． 　　同樣，蘋果與抽屜的具體數(shù)目也是無關(guān)緊要的，只要蘋果的數(shù)量比抽屜的數(shù)量多，推理依然成立． 　　通過上面的分析，我們可以將上面問題中包含的基本原理寫成下面的一般形式． 　　抽屜原理（一）：把多于幾個的元素按任一確定的方式分成幾個集合，那么一定至少有一個集合中，至少含有兩個元素． 　　應(yīng)用抽屜原理來解題，首先要審題，即分清什么作為“元素”，什么做為“抽屜”；其次要根據(jù)題目的條件和結(jié)論，結(jié)合有關(guān)的數(shù)學(xué)知識，來設(shè)計抽屜，在應(yīng)用抽屜原理解題時，正確地設(shè)計抽屜是解題的關(guān)鍵． 　下面，我們先來看一看如何運用這一原則解決日常生活中的一些有趣的問題． 例1 在某個單位里，任意選出13個人，則這13個人至少有兩個人的屬相相同． 證明 屬相一共有12種，不妨假設(shè)12種屬相為12個“抽屜”，而將13個人當作13個“蘋果”．根據(jù)抽屜原則知，有一只“抽屜“里至少放入了兩個“蘋果”，也就是說，至少有兩個人的屬相相同． 例2 求證同一年出生的四百個人中，一定有兩個人的生日相同． 　　分析 也許有的同學(xué)看了這個問題以后會說，只要查一查這四百個人的戶口就知道了，如果我們規(guī)定不能查戶口，那么，怎樣才能說明其中的道理呢？其實，完全沒有必要查看戶口，我們只要將一年中的每一天看作一只“抽屜”，而將每一個人的生日看作一個“蘋果”，這樣，運用抽屜原則就可以很方便地解答此問題． 　　證明 把一年中的三百六十五天（閏年三百六十六天）中的每一天看作一個“抽屜”，將四百人的每一個人的生日看成一個“蘋果”，由于“蘋果”數(shù)目多于“抽屜”數(shù)目，根據(jù)抽屜原則可知，一定有一個“抽屜”里至少有兩個“蘋果”．也就是說，至少有兩個人的生日相同． 　　例3 有紅、黃、綠三種顏色的小球各四顆混放在一只盒子里，為了保證一次能取到兩顆顏色相同的小球，一次至少要取幾顆？ 　　解答 將三種不同的顏色看作三個抽屜，為了保證一次能取到兩顆顏色相同的小球，即要求至少有兩顆小球出自同一抽屜，因此一次至少要取4顆小球． 例4 某班有30名學(xué)生，班里建立一個小書庫，同學(xué)們可以任意借閱，問小書庫中至少要有多少本書，才能保證至少有一個同學(xué)一次能至少借到兩本