【正文】 誤差服從統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律，可以用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法估算隨機(jī)誤差。3. 過失誤差實(shí)驗(yàn)中，由于實(shí)驗(yàn)者操作不當(dāng)或粗心大意，例如看錯(cuò)刻度、讀錯(cuò)數(shù)字、記錯(cuò)數(shù)或計(jì)算錯(cuò)誤等都會(huì)使測(cè)量結(jié)果明顯地被歪曲，這種由于錯(cuò)誤引起的誤差稱為過失誤差或粗大誤差。由定義可以看出，嚴(yán)格地講，過失誤差應(yīng)叫做錯(cuò)誤，它是通過實(shí)驗(yàn)者的主觀努力能夠克服的，錯(cuò)誤不是誤差，要及時(shí)發(fā)現(xiàn)并在數(shù)據(jù)處理時(shí)予以剔除。而系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差是客觀的，不可避免的，只能通過實(shí)驗(yàn)條件的改善和實(shí)驗(yàn)方法的改進(jìn)予以減小，它們是由客觀環(huán)境和人的感官的局限決定的。三、測(cè)量的精密度、準(zhǔn)確度和精確度測(cè)量的精密度、準(zhǔn)確度和精確度都是評(píng)價(jià)測(cè)量結(jié)果的術(shù)語，但目前使用時(shí)其涵義并不盡一致，以下介紹較為普遍采用的意見。（1）精密度：精密度是指對(duì)同一被測(cè)量作多次重復(fù)測(cè)量時(shí)，各次測(cè)量值之間彼此接近或分散的程度。它是對(duì)隨機(jī)誤差的描述，它反映隨機(jī)誤差對(duì)測(cè)量的影響程度。隨機(jī)誤差小，測(cè)量的精密度就高。（2）正確度：正確度是指被測(cè)量的總體平均值與其真值接近或偏離的程度。它是對(duì)系統(tǒng)誤差的描述，它反映系統(tǒng)誤差對(duì)測(cè)量的影響程度。系統(tǒng)誤差小，測(cè)量的正確度就高。（3）準(zhǔn)確度：準(zhǔn)確度是指各測(cè)量值之間的接近程度和其總體平均值對(duì)真值的接近程度。它包括了精密度和正確度兩方面的含義。它反映隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差對(duì)測(cè)量的綜合影響程度。只有隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差都非常小，才能說測(cè)量的準(zhǔn)確度高?！皽?zhǔn)確度”是國際上計(jì)量規(guī)范較常使用的標(biāo)準(zhǔn)術(shù)語。 所示的打靶情況可較形象地理解精密度、正確度和準(zhǔn)確度三者的區(qū)別。精密度高，正確度低 正確度高，精密度低 精密度和正確度均低 精密度和正確度均高 精密度、正確度、準(zhǔn)確度示意圖 測(cè)量不確定度一、測(cè)量不確定度的引入根據(jù)誤差的定義，由于真值一般不可能準(zhǔn)確地知道，因而測(cè)量誤差也不可能確切獲知。既然誤差無法按照其定義式精確求出，那么現(xiàn)實(shí)可行的辦法就只能根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)和測(cè)量條件進(jìn)行推算，去求得誤差的估計(jì)值。顯然，由于誤差是未知的，因此不應(yīng)再將任何一個(gè)確定的已知值稱作誤差。誤差的估計(jì)值或數(shù)值指標(biāo)應(yīng)采用另一個(gè)專門名稱，這個(gè)名稱就是不確定度。不確定度愈小，表示測(cè)量結(jié)果與真值愈靠近，測(cè)量結(jié)果愈可靠。反之，不確定度愈大，測(cè)量結(jié)果與真值的差別愈大，它的可靠性愈差，使用價(jià)值就愈低。二、測(cè)量不確定度的基本概念測(cè)量不確定度按《評(píng)定與表示》被定義為：“表征合理地賦予被測(cè)量之值的分散性、與測(cè)量結(jié)果相聯(lián)系的參數(shù)”。測(cè)量不確定度如誤差有系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差等一樣，也由多個(gè)分量組成，并且這些分量可用統(tǒng)計(jì)方法、概率分布、經(jīng)驗(yàn)判斷等來評(píng)定，為一個(gè)正值?；蛘哒f不確定度是一種表征被測(cè)量值所處范圍的評(píng)定，真值以一定置信概率落在測(cè)量平均值附近的一個(gè)范圍內(nèi)。三、不確定度與誤差的關(guān)系不確定度和誤差既是兩個(gè)不同的概念，它們有著根本的區(qū)別，但又是相互聯(lián)系的。不確定度和誤差都是由測(cè)量過程的不完善引起的，而且不確定度概念和體系是在現(xiàn)代誤差理論的基礎(chǔ)上建立和發(fā)展起來的。如前所述，根據(jù)傳統(tǒng)誤差的定義，由于真值一般無從得知，則測(cè)量誤差一般也是未知的，是不能準(zhǔn)確得知的，誤差一個(gè)理想的概念。不確定度則是表示由于測(cè)量誤差的存在而對(duì)被測(cè)量值不能確定的程度，反映了可能存在的誤差分布范圍，表征被測(cè)量的真值所處的量值范圍的評(píng)定，所以不確定度能更準(zhǔn)確地用于測(cè)量結(jié)果的表示。 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法前面我們已經(jīng)討論了測(cè)量與誤差的基本概念，測(cè)量結(jié)果的最佳值、誤差和不確定度的計(jì)算。然而，我們進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的最終目的是為了通過數(shù)據(jù)的獲得和處理，從中揭示出有關(guān)物理量的關(guān)系，或找出事物的內(nèi)在規(guī)律性，或驗(yàn)證某種理論的正確性，或?yàn)橐院蟮膶?shí)驗(yàn)準(zhǔn)備依據(jù)。因而，需要對(duì)所獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行正確的處理，數(shù)據(jù)處理貫穿于從獲得原始數(shù)據(jù)到得出結(jié)論的整個(gè)實(shí)驗(yàn)過程。包括數(shù)據(jù)記錄、整理、計(jì)算、作圖、分析等方面涉及數(shù)據(jù)運(yùn)算的處理方法。常用的數(shù)據(jù)處理方法有：列表法、圖示法、圖解法、逐差法和最小二乘線性擬合法等，下面分別予以簡(jiǎn)單討論。一、列表法列表法是將實(shí)驗(yàn)所獲得的數(shù)據(jù)用表格的形式進(jìn)行排列的數(shù)據(jù)處理方法。列表法的作用有兩種：一是記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，二是能顯示出物理量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。其優(yōu)點(diǎn)是，能對(duì)大量的雜亂無章的數(shù)據(jù)進(jìn)行歸納整理，使之既有條不紊，又簡(jiǎn)明醒目；既有助于表現(xiàn)物理量之間的關(guān)系，又便于及時(shí)地檢查和發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是否合理，減少或避免測(cè)量錯(cuò)誤；同時(shí)，也為作圖法等處理數(shù)據(jù)奠定了基礎(chǔ)。用列表的方法記錄和處理數(shù)據(jù)是一種良好的科學(xué)工作習(xí)慣，要設(shè)計(jì)出一個(gè)欄目清楚、行列分明的表格，也需要在實(shí)驗(yàn)中不斷訓(xùn)練，逐步掌握、熟練，并形成習(xí)慣。一般來講，在用列表法處理數(shù)據(jù)時(shí)，應(yīng)遵從如下原則：(1) 欄目條理清楚，簡(jiǎn)單明了，便于顯示有關(guān)物理量的關(guān)系。 (2) 在欄目中，應(yīng)給出有關(guān)物理量的符號(hào)，并標(biāo)明單位(一般不重復(fù)寫在每個(gè)數(shù)據(jù)的后面)。
(3) 填入表中的數(shù)字應(yīng)是有效數(shù)字。 (4) 必要時(shí)需要加以注釋說明。二、圖示法 圖示法就是用圖象來表示物理規(guī)律的一種實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法。一般來講,一個(gè)物理規(guī)律可以用三種方式來表述:文字表述、解析函數(shù)關(guān)系表述、圖象表示。圖示法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的優(yōu)點(diǎn)是能夠直觀、形象地顯示各個(gè)物理量之間的數(shù)量關(guān)系，便于比較分析。一條圖線上可以有無數(shù)組數(shù)據(jù)，可以方便地進(jìn)行內(nèi)插和外推，特別是對(duì)那些尚未找到解析函數(shù)表達(dá)式的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，可以依據(jù)圖示法所畫出的圖線尋找到相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)公式。因此，圖示法是處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的好方法。 要想制作一幅完整而正確的圖線，必須遵循如下原則及步驟： 1．選擇合適的坐標(biāo)紙作圖一定要用坐標(biāo)紙，常用的坐標(biāo)紙有直角坐標(biāo)紙、雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙、單對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙、極坐標(biāo)紙等。選用的原則是盡量讓所作圖線呈直線，有時(shí)還可采用變量代換的方法將圖線作成直線。
2．確定坐標(biāo)的分度和標(biāo)記一般用橫軸表示自變量，縱軸表示因變量，并標(biāo)明各坐標(biāo)軸所代表的物理量及其單位(可用相應(yīng)的符號(hào)表示)。坐標(biāo)軸的分度要根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的有效數(shù)字及對(duì)結(jié)果的要求來確定。在坐標(biāo)軸上應(yīng)每隔一定間距均勻地標(biāo)出分度值，標(biāo)記所用有效數(shù)字的位數(shù)應(yīng)與原始數(shù)據(jù)的有效數(shù)字的位數(shù)相同，單位應(yīng)與坐標(biāo)軸單位一致。要恰當(dāng)選取坐標(biāo)軸比例和分度值，使圖線充分占有圖紙空間，不要縮在一邊或一角。除特殊需要外，分度值起點(diǎn)可以不從零開始，橫、縱坐標(biāo)可采用不同比例。3．描點(diǎn)根據(jù)測(cè)量獲得的數(shù)據(jù)，用一定的符號(hào)在坐標(biāo)紙上描出坐標(biāo)點(diǎn)。一張圖紙上畫幾條實(shí)驗(yàn)曲線時(shí)，每條曲線應(yīng)用不同的標(biāo)記，以免混淆。常用的標(biāo)記符號(hào)有☉、╂、╳、△、□等。4．連線要繪制一條與標(biāo)出的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)基本相符的圖線，圖線盡可能多的通過實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，由于測(cè)量誤差，某些實(shí)驗(yàn)點(diǎn)可能不在圖線上，應(yīng)盡量使其均勻地分布在圖線的兩側(cè)。圖線應(yīng)是直線或光滑的曲線或折線。5．注解和說明應(yīng)在圖紙上標(biāo)出圖的名稱，有關(guān)符號(hào)的意義和特定實(shí)驗(yàn)條件。 三、圖解法 圖解法是在圖示法的基礎(chǔ)上，利用已經(jīng)作好的圖線，定量地求出待測(cè)量或某些參數(shù)或經(jīng)驗(yàn)公式的方法。 由于直線不僅繪制方便，而且所確定的函數(shù)關(guān)系也簡(jiǎn)單等特點(diǎn)，因此，對(duì)非線性關(guān)系的情況，應(yīng)在初步分析、把握其關(guān)系特征的基礎(chǔ)上，通過變量變換的方法將原來的非線性關(guān)系化為新變量的線性關(guān)系。即將“曲線化直”，然后再使用圖解法。 下面僅就直線情況簡(jiǎn)單介紹一下圖解法的一般步驟：1．選點(diǎn)。通常在圖線上選取兩個(gè)點(diǎn)，所選點(diǎn)一般不用實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，并用與實(shí)驗(yàn)點(diǎn)不同的符號(hào)標(biāo)記，此兩點(diǎn)應(yīng)盡量在直線的兩端。如記為和，并用“+”表示實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，用“☉”表示選點(diǎn)。2．求斜率。根據(jù)直線方程，將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，可解出圖線的斜率為3．求與y軸的截距?？山獬?．與x軸的截距。記為例如，用圖示法和圖解法處理熱敏電阻的電阻隨溫度T變化的測(cè)量結(jié)果。 (1) 曲線化直：根據(jù)理論，熱敏電阻的電阻—溫度關(guān)系為 為了方便地使用圖解法，應(yīng)將其轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系，取對(duì)數(shù)有令，，有這樣，便將電阻與溫度T的非線性關(guān)系化為了與的線性關(guān)系。(2) 轉(zhuǎn)化實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：將電阻取對(duì)數(shù)，將溫度T取倒數(shù)，然后用直角坐標(biāo)紙作圖，將所描數(shù)據(jù)點(diǎn)用直線連接起來。
(3) 使用圖解法求解：先求出和；再求；最后得出～T函數(shù)關(guān)系。四、逐差法 由于隨機(jī)誤差具有抵償性，對(duì)于多次測(cè)量的結(jié)果，常用平均值來估計(jì)最佳值，以消除隨機(jī)誤差的影響。但是，當(dāng)自變量與因變量成線性關(guān)系時(shí)，對(duì)于自變量等間距變化的多次測(cè)量，如果用求差平均的方法計(jì)算因變量的平均增量，就會(huì)使中間測(cè)量數(shù)據(jù)兩兩抵消，失去利用多次測(cè)量求平均的意義。例如，在拉伸法測(cè)楊氏模量的實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)荷重均勻增加時(shí)，標(biāo)尺位置讀數(shù)依次為，如果求相鄰位置改變的平均值有 =即中間的測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)的計(jì)算值不起作用。為了避免這種情況下中間數(shù)據(jù)的損失，可以用逐差法處理數(shù)據(jù)。
逐差法是物理實(shí)驗(yàn)中常用的一種數(shù)據(jù)處理方法，特別是當(dāng)自變量與因變量成線性關(guān)系，而且自變量為等間距變化時(shí)，更有其獨(dú)特的特點(diǎn)。逐差法是將測(cè)量得到的數(shù)據(jù)按自變量的大小順序排列后平分為前后兩組，先求出兩組中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的差值(即求逐差)，然后取其平均值。例如，對(duì)上述楊氏模量實(shí)驗(yàn)中的10個(gè)數(shù)據(jù)的逐差法處理為： 1．將數(shù)據(jù)分為兩組 Ⅰ組： Ⅱ組： 2．求逐差：，， 3．求差平均：在實(shí)際處理時(shí)可用列表的形式較為直觀，如：Ⅰ組Ⅱ組逐差（） 但要注意的是：使用逐差法時(shí)之，相當(dāng)于一般平均法中的倍(n為的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù))。五、最小二乘法 通過實(shí)驗(yàn)獲得測(cè)量數(shù)據(jù)后，可確定假定函數(shù)關(guān)系中的各項(xiàng)系數(shù)，這一過程就是求取有關(guān)物理量之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式。從幾何上看，就是要選擇一條曲線，使之與所獲得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)更好地吻合。因此，求取經(jīng)驗(yàn)公式的過程也即是曲線擬合的過程。 那么，怎樣才能獲得正確地與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)配合的最佳曲線呢？常用的方法有兩類：一是圖估計(jì)法，二是最小二乘擬合法。 圖估計(jì)法是憑眼力估測(cè)直線的位置，使直線兩側(cè)的數(shù)據(jù)均勻分布，其優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單、直觀、作圖快；缺點(diǎn)是圖線不唯一，準(zhǔn)確性較差，有一定的主觀隨意性。如，圖解法，逐差法和平均法都屬于這一類，是曲線擬合的粗略方法。最小二乘擬合法是以嚴(yán)格的統(tǒng)計(jì)理論為基礎(chǔ)，是一種科學(xué)而可靠的曲線擬合方法。此外，還是方差分析、變量篩選、數(shù)字濾波、回歸分析的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。在此僅簡(jiǎn)單介紹其原理和對(duì)一元線性擬合的應(yīng)用。 1．最小二乘法的基本原理 設(shè)在實(shí)驗(yàn)中獲得了自變量與因變量的若干組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，在使偏差平方和取最小值時(shí)，找出一個(gè)已知類型的函數(shù)(即確定關(guān)系式中的參數(shù))。這種求解的方法稱為最小二乘法。 根據(jù)最小二乘法的基本原理，設(shè)某量的最佳估計(jì)值為，則可求出即而且可證明0說明可以取得最小值。 可見，當(dāng)時(shí)，各次測(cè)量偏差的平方和為最小，即平均值就是在相同條件下多次測(cè)量結(jié)果的最佳值。根據(jù)統(tǒng)計(jì)理論，要得到上述結(jié)論，測(cè)量的誤差分布應(yīng)遵從正態(tài)分布(高斯分布)。這也即是最小二乘法的統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)。2．一元線性擬合設(shè)一元線性關(guān)系為實(shí)驗(yàn)獲得的對(duì)數(shù)據(jù)為（=1，2，…，）。由于誤差的存在，當(dāng)把測(cè)量數(shù)據(jù)代入所設(shè)函數(shù)關(guān)系式時(shí)，等式兩端一般并不嚴(yán)格相等，而是存在一定的偏差。為了討論方便起見，設(shè)自變量的誤差遠(yuǎn)小于因變量的誤差，則這種偏差就歸結(jié)為因變量的偏差，即根據(jù)最小二乘法，獲得相應(yīng)的最佳擬合直線的條件為若記代入方程組可以解出由誤差理論可以證明，最小二乘一元線性擬合的標(biāo)準(zhǔn)差為為了判斷測(cè)量點(diǎn)與擬合直線符合的程度，需要計(jì)算相關(guān)系數(shù)一般地。如果，說明測(cè)量點(diǎn)緊密地接近擬合直線；如果，說明測(cè)量點(diǎn)離擬合直線較分散，應(yīng)考慮用非線性擬合。 從上面的討論可知，回歸直線一定要通過點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做該組測(cè)量數(shù)據(jù)的重心。注意，此結(jié)論對(duì)于我們用圖解法處理數(shù)據(jù)是很有幫助的。 一般來講，使用最小二乘法擬合時(shí)，要計(jì)算上述六個(gè)參數(shù)：。參 考 文 獻(xiàn)[1] 涂頡，章熙民，李漢炎，林瑞泰. 熱工實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ). 北京：高等教育出版社，1986年6月[2] 童鈞耕. 熱工基礎(chǔ). 北京：高等教育出版社，2009年6月[3] 傅秦生，羅來勤. 熱工基礎(chǔ)要點(diǎn)與解題. 西安：西安交通大學(xué)出版社，2006年9月[4] 錢政，王中宇，劉桂禮. 測(cè)試誤差分析與數(shù)據(jù)處理. 北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2008年5月64