數(shù)學(xué)概念的定義形式-資料下載頁(yè)
2025-04-04 04:29本頁(yè)面
【正文】 ，稱數(shù)n是數(shù)列{ }當(dāng)n趨于無(wú)限大時(shí)的極限，記為 ．概念中刻畫了 與 “要多么接近就可以多么接近(只要 )”的程度，使“ 無(wú)限接近 ”的直覺(jué)說(shuō)法上升到嚴(yán)格水平．函數(shù)極限概念：對(duì)于在 附近有定義的函數(shù)和一個(gè)數(shù)A，如果對(duì)任意給定的正數(shù) ，都存在一個(gè)正數(shù)，對(duì)定義域中的x只要 ，成立 ，稱數(shù) 是 當(dāng) 趨近于 時(shí)的極限，記為，概念中刻畫了 與A“要多接近就可以有多接近（只要）”的程度，是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)概念。過(guò)程性定義有些復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念是由在實(shí)踐基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)活動(dòng)造就的，這樣的概念由過(guò)程來(lái)引導(dǎo)．例如：導(dǎo)數(shù)：設(shè)y=f(x) 在點(diǎn)(x0,f(x0))附近有定義．當(dāng)自變量x 取得改變量△x (△x≠0)，函數(shù)取得相應(yīng)改變量△y=yy0，比值，當(dāng)時(shí)的極限存在，這個(gè)極限值就稱作的導(dǎo)數(shù)，“作改變量——作商——求極限”的過(guò)程獲得．定積分：設(shè)有界函數(shù) 定義在[ ]上．在[ ]中插入分點(diǎn)： 取 ，作和 令當(dāng) 時(shí)，和 的極限存在，這個(gè)極限值稱作 在[ ]上的定積分．定積分概念通過(guò)“分割[ ](插入了分點(diǎn))一作和一求極限”的過(guò)程獲得．此外，數(shù)學(xué)中的概念還有其他給出方式．如n維向量空間的定義：“n為有序?qū)崝?shù)組( )的全體，并賦予加法與數(shù)乘的運(yùn)算( )+”．它是二維向量空間{ }的類比推廣．再如“群”和“距離空間”的概念，則是用一組公理來(lái)定義的．公理法定義的方式多用于高等數(shù)學(xué)，中學(xué)中涉及得很少．此外，中學(xué)數(shù)學(xué)中還有遞推式定義法(如階行列式、n階導(dǎo)數(shù)、n重積分的定義)，借助另一對(duì)象來(lái)進(jìn)行定義(如借助指數(shù)概念定義對(duì)數(shù)概念)等等．上述分類是大致的，學(xué)習(xí)概念的定義，并不在于區(qū)分它究竟屬于那種定義方式，而在于理解概念的內(nèi)涵，把握概念的外延，應(yīng)用它們?nèi)W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)和解決有關(guān)問(wèn)題。為了正確地給概念下定義，定義要符合下列基本要求：(1)定義應(yīng)當(dāng)相稱．即定義概念的外延與被定義概念的外延必須是相同的，既不能擴(kuò)大也不能縮?。磻?yīng)當(dāng)恰如其分，既不寬也不窄．例如，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，叫做無(wú)理數(shù)．而以無(wú)限小數(shù)來(lái)定義無(wú)理數(shù)(過(guò)寬)，或以除不盡方根的數(shù)來(lái)定義無(wú)理數(shù)(過(guò)窄)．顯然，這都是錯(cuò)誤的．(2)定義不能循環(huán)．即在同一個(gè)科學(xué)系統(tǒng)中，不能以A概念來(lái)定義B概念，而同時(shí)又以B概念來(lái)定義A概念．例如，的角叫做直角，直角的九十分之一，叫做1度，這就發(fā)生循環(huán)了．(3)定義應(yīng)清楚、簡(jiǎn)明，一般不用否定的形式和未知的概念．例如，筆直筆直的線，叫做直線(不清楚)；兩組對(duì)邊互相平行的平面平行四邊形(不簡(jiǎn)明)；不是有理數(shù)的數(shù)，叫做無(wú)理數(shù)(否定形式)；對(duì)初中生來(lái)說(shuō)，在復(fù)數(shù)a+ i中，虛部6—0的數(shù)，叫做實(shí)數(shù)(應(yīng)用未知概念)等，這些都是不妥的．
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