【正文】 數(shù)為27．所以三個(gè)數(shù)324，243，135的最大公約數(shù)為 27．考查內(nèi)容：中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的算法案例認(rèn)知層次：a難易程度：中10．用三種不同顏色給圖中的3個(gè)矩形隨機(jī)涂色，每個(gè)矩形只涂一種，求：（1）3個(gè)矩形顏色都相同的概率；（2）3個(gè)矩形顏色都不同的概率．參考答案：按涂色順序記錄結(jié)果為（x，y，z），由于是隨機(jī)涂色，所以x，y，z各有3種不同的涂法，故所有基本事件共有27種．（1）三個(gè)矩形顏色都相同的基本事件有3個(gè)，所以三個(gè)矩形都涂同一種顏色的概率為（2）三個(gè)矩形顏色都不同的基本事件有（x，y，z），（x，z，y），（y，x，z），（y， z，x），（z，x，y），（z，y，x）共6個(gè)，所以三個(gè)矩形顏色都不同的概率為考查內(nèi)容：隨機(jī)事件及概率的意義，用列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率認(rèn)知層次：b難易程度：中11．假設(shè)某種設(shè)備使用的年限x（年）與所支出的維修費(fèi)用y（元）有以下統(tǒng)計(jì)資料：使用年限x23456維修費(fèi)用y2．23．85．56．57．0 參考數(shù)據(jù)：，如果由資料知y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系．試求：（1）； （2）線性回歸方程；（3）估計(jì)使用10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？參考答案：（1）．（2）由已知可得：=．于是 ．所求線性回歸方程為：．（3）由（2）可得，當(dāng)時(shí)，（萬元）．即估計(jì)使用10年時(shí)，維修費(fèi)用是12．38萬元．考查內(nèi)容：最小二乘法的思想，線性回歸方程認(rèn)知層次：b難易程度：中2aroM12．平面上畫了一些彼此相距的平行線，把一枚半徑為的硬幣任意擲在這個(gè)平面上，求硬幣不與任何一條平行線相碰的概率．參考答案：把“硬幣不與任一條平行線相碰”的事件記為事件A，為了確定硬幣的位置，由硬幣中心O向靠得最近的平行線引垂線OM，垂足為M，如圖所示，這樣線段OM長(zhǎng)度的取值范圍就是，只有當(dāng)時(shí)，硬幣不與平行線相碰，所以所求事件A的概率就是．考查內(nèi)容：幾何概型的意義認(rèn)知層次：a難易程度：中13．已知 ,．（1）求的值； （2）求的值．參考答案：（1）因?yàn)椋?故，所以． （2）．考查內(nèi)容：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式： ，的正弦的誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦公式認(rèn)知層次：c難易程度：中14．在△中, 所對(duì)的邊分別為，已知． （1）求的大??； （2）求△ABC的面積．BCAH┌參考答案：（1）依題意，由余弦定理得．解得 ． （2）如圖，過點(diǎn)A作AH垂直BC的延長(zhǎng)線于H， 則==．ADCB北120176。75176。30176。所以===．考查內(nèi)容：余弦定理認(rèn)知層次：c難易程度：中15．如圖，某貨輪在A處看燈塔B在貨輪的北偏東的方向，距離為n mile；在A處看燈塔C在貨輪的北偏西的方向，距離為n mile．貨輪由A處向正北航行到D處時(shí)，再看燈塔B在北偏東，求：（1）A處與D處之間的距離；（2）燈塔C與D處之間的距離．參考答案：（1）在△ABD中，由已知得∠ADB=，．由正弦定理得AD =．（2）在△ADC中，由余弦定理得．解得CD ．所以A處與D處之間的距離為24 n mile，燈塔C與D處之間的距離為n mile．考查內(nèi)容：正弦定理，余弦定理，用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題認(rèn)知層次：c難易程度：中16．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若三邊長(zhǎng)a，b，c依次成等差數(shù)列，求三個(gè)內(nèi)角中最大角的度數(shù)．參考答案：因?yàn)樵凇髦杏校裕O(shè)，所以 ．因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，所以．所以最大角為C．因?yàn)椋裕疾閮?nèi)容：正弦定理，余弦定理認(rèn)知層次：c難易程度：中17．已知等差數(shù)列{an}的前項(xiàng)和為, ．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)為何值時(shí), 取得最大值．參考答案：（1）因?yàn)椋?所以解得． 所以．（2）因?yàn)?，又，所以當(dāng)或時(shí), 取得最大值6．考查內(nèi)容：數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式認(rèn)知層次：c難易程度：中【較難題】18． 已知函數(shù)．（1）試給出的一個(gè)值，并畫出此時(shí)函數(shù)的圖象；（2）若函數(shù) f (x) 在 上具有單調(diào)性，求的取值范圍．參考答案：（1）略 （2）化簡(jiǎn)① a 1時(shí)，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，且；當(dāng)x 1時(shí)，是增函數(shù)，且．所以，當(dāng)a 1時(shí)，函數(shù)f (x) 在上是增函數(shù)．同理可知，當(dāng)a 1時(shí)，函數(shù)f (x) 在上是減函數(shù)．② a =1或1時(shí)，易知，不合題意．③ 1 a 1時(shí)，取x = 0，得f (0) =1；取x =，由 1，知f () =1，所以f (0) = f ()．所以函數(shù)f (x) 在上不具有單調(diào)性．綜上可知，a的取值范圍是．考查內(nèi)容：分段函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)認(rèn)知層次：c難易程度：難19． 已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)．如果函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求a的取值范圍．參考答案：略解：若, ,顯然在上沒有零點(diǎn), 所以 ．令 , 解得 ．① 當(dāng) 時(shí), 在上恰有一個(gè)零點(diǎn)。② 當(dāng)，即時(shí)，在上也恰有一個(gè)零點(diǎn)．③當(dāng)在上有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí), 則 或解得或． 綜上所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是或．考查內(nèi)容：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)認(rèn)知層次：b難易程度：難20．設(shè)圓滿足：（1）截軸所得的弦長(zhǎng)為；（2）被軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為．在滿足條件（1）、（2）的所有圓中，求圓心到直線的距離最小的圓的方程．參考答案：設(shè)所求圓的圓心為，半徑為，則到軸、軸的距離分別為，．由題設(shè)圓截軸所得劣弧所對(duì)圓心角為，圓截軸所得弦長(zhǎng)為，故．又圓截軸所得弦長(zhǎng)為，所以有，從而． 又點(diǎn)到直線的距離為，所以 ．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式等號(hào)成立． 此時(shí)，從而取最小值．由此有 故或由于，故．故所求圓的方程為，或 ．考查內(nèi)容：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問題，用代數(shù)方法處理幾何問題的思想認(rèn)知層次：c難易程度：難21．某港口海水的深度（米）是時(shí)間（時(shí)）（）的函數(shù)，記為：．已知某日海水深度的數(shù)據(jù)如下：（時(shí)）03691215182124（米）10．013．09．97．010．013．010．17．010．0經(jīng)長(zhǎng)期觀察，的曲線可近似地看成函數(shù)的圖象．（1）試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)的振幅、最小正周期和表達(dá)式；（2）一般情況下，船舶航行時(shí)，船底離海底的距離為米或米以上時(shí)認(rèn)為是安全的（船舶?？繒r(shí)，船底只需不碰海底即可）． 某船吃水深度（船底離水面的距離）為米，如果該船希望在同一天內(nèi)安全進(jìn)出港，請(qǐng)問，它至多能在港內(nèi)停留多長(zhǎng)時(shí)間（忽略進(jìn)出港所需時(shí)間）？參考答案：（1）依題意，最小正周期為： ，振幅：，．所以．（2）該船安全進(jìn)出港，需滿足：． 即：．所以．所以．所以．又 ， 所以或．所以，該船至多能在港內(nèi)停留：（小時(shí)）．考查內(nèi)容：三角函數(shù)是描繪周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，正弦函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)，用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問題認(rèn)知層次：b難易程度：難22．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．參考答案：因?yàn)? 所以 ．設(shè)公差為，則有．解得或（舍）．所以，．所以 ．（1）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， ；（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．綜上，．考查內(nèi)容：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，用等差數(shù)列知識(shí)解決相應(yīng)的問題認(rèn)知層次：c難易程度：難圖1圖2圖3圖423．（1）下面圖形由單位正方形組成，請(qǐng)觀察圖1至圖4的規(guī)律，并依此規(guī)律，在橫線上方處畫出下一個(gè)適當(dāng)?shù)膱D形；　 （2）下圖中的三角形稱為希爾賓斯基三角形，在下圖四個(gè)三角形中，著色三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列的前四項(xiàng)，依此著色方案繼續(xù)對(duì)三角形著色，求著色三角形的個(gè)數(shù)的通項(xiàng)公式； （3）依照（1）中規(guī)律，繼續(xù)用單位正方形繪圖，記每個(gè)圖形中單位正方形的個(gè)數(shù)為，設(shè)，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和．參考答案：（1）答案如右圖所示： 　　　　　　（2）易知，后一個(gè)圖形中的著色三角形個(gè)數(shù)是前一個(gè)的3倍，所以，著色三角形的個(gè)數(shù)的通項(xiàng)公式為：． （3）由題意知，所以 ．　　　　　　　　 ①所以 ．　　　②①－② 得 ．所以 ＝．即 ．考查內(nèi)容：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，用等比數(shù)列知識(shí)解決相應(yīng)的問題認(rèn)知層次：c難易程度：難24．如圖，經(jīng)過作兩條互相垂直的直線和，交軸正半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)．（1）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）試問是否總存在經(jīng)過四點(diǎn)的圓？若存在，求出半徑最小的圓的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：（1）由直線經(jīng)過兩點(diǎn)，得的方程為．由直線，且直線經(jīng)過點(diǎn)，得的方程為．所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）因?yàn)?，所以總存在?jīng)過四點(diǎn)的圓，且該圓以 為直徑．① 若軸，則//軸，此時(shí)四邊形為矩形，．② 若與軸不垂直，則兩條直線斜率都存在．不妨設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為．所以直線的方程為，從而；直線的方程為，從而．令解得，注意到，所以．此時(shí)，所以半徑的最小值為．此時(shí)圓的方程為．考查內(nèi)容：確定直線位置的幾何要素，直線的傾斜角和斜率，過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式，直線方程的點(diǎn)斜式，兩條直線平行或垂直的判定，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程認(rèn)知層次：c難易程度：難25．在數(shù)列中，． 數(shù)列滿足，且 ． （1）求， 的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為． 若對(duì)于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：（1）依題意得 ，又 ， 且 ，所以 ， ． （2）因?yàn)?， ，且 ，所以 ．所以 ．所以 ．因此數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．所以 ． （3）由 ， 得 ．由， 得 ．① 當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，． 由于上式對(duì)正奇數(shù)恒成立，故 ．所以 ，當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，．② 當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，．由于上式對(duì)正偶數(shù)恒成立，故 ．所以 ，當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，．綜上 ，的取值范圍是．考查內(nèi)容：二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式，正切函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)，等比數(shù)列的概念，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式認(rèn)知層次：c難易程度：難26．甲、乙、丙、丁四個(gè)人進(jìn)行傳球練習(xí)，每次球從一個(gè)人的手中傳入其余三個(gè)人中的任意一個(gè)人的手中 ． 如果由甲開始作第次傳球，經(jīng)過次傳球后，球仍在甲手中的所有不同的傳球種數(shù)共有種 ．（如，第一次傳球模型分析得．） （1）求 ， 的值；（2）寫出 與 的關(guān)系式（不必證明），并求 的解析式；（3）求 的最大值 ． 參考答案：（1）可畫圖分析得 ，． （2）依題意有 ，且 ． 將 變形為 ，從而數(shù)列 是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．所以 ．即 ． （3）① 當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，所以 隨的增大而減小，從而，當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，的最大值是 ． ② 當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，所以 隨的增大而增大，且 ． 綜上，的最大值是 ．考查內(nèi)容：函數(shù)的單調(diào)性，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)）的應(yīng)用，等比數(shù)列的概念，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，用等比數(shù)列知識(shí)解決相應(yīng)的問題認(rèn)知層次：c難易程度：難27．設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，且，．（1）求邊長(zhǎng)；（2）若的面積，求的周長(zhǎng)．參考答案：（1）由與兩式相除，有：．又通過，知， 則，．則．（2）由，得．由，解得．所以的周長(zhǎng)．考查內(nèi)容：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：，正弦定理，余弦定理認(rèn)知層次：c難易程度：難28．對(duì)于定義域分別是，的函數(shù)，規(guī)定：函數(shù)（1）若函數(shù)，，寫出函數(shù)的解析式；（2）求問題（1）中函數(shù)的值域；（3）若，其中是常數(shù)，且，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)及一個(gè)的值，使得，并予以證明．參考答案：（1）由函數(shù)，，可得，．從而 （2）當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，所以，的值域?yàn)椋?）由函數(shù)的定義域?yàn)椋玫亩x域也為，所以，對(duì)于任意，都有，即對(duì)于任意，都有．所以，我們考慮將分解成兩個(gè)函數(shù)的乘積，而且這兩個(gè)函數(shù)還可以通過平移相互轉(zhuǎn)化．．所以，令，且 即可 ．又，所以，令，且即可 . （答案不唯一）考查內(nèi)容：簡(jiǎn)單函數(shù)的值域，用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大（?。┲祮栴}，二倍角的余弦公式，兩角差的余弦公式，兩角和的余弦公式，簡(jiǎn)單的恒等變換認(rèn)知層次：c難易程度：難第 54 頁 共 54