【正文】 2=90，所以再寄4封掛號(hào)信，航空信1封即可． 于是，小萌寄的這3種信的總和最少是4+1+4=9封． ，第一堆中每個(gè)砝碼重3克，第二堆中每個(gè)砝碼重5克，第三堆中每個(gè)砝碼重7克．現(xiàn)在要取出最少個(gè)數(shù)的砝碼，使它們的總重量為130克．那么共需要多少個(gè)砝碼?其中3克、5克和7克的砝碼各有幾個(gè)? 【分析與解】 為了使選取的砝碼最少，應(yīng)盡可能的取7克的砝碼．130247。7：18……4，所以3克、5克的砝碼應(yīng)組合為4克，或4+7克重． 設(shè)3克的砝碼個(gè)，5克的砝碼個(gè)，則． 當(dāng)=0時(shí)，有，無自然數(shù)解； 當(dāng)=1時(shí)，有，有=2，=1，此時(shí)7克的砝碼取17個(gè)，所以共需2+1+17=21個(gè)砝碼，有3克、5克和7克的砝碼各17個(gè)． 當(dāng)1時(shí)，7克的砝碼取得較少，而5克的砝碼卻取得較多，不是最少的取砝碼情形．所以共需2+1+17=20個(gè)砝碼，有3克、5克和7克的砝碼各17個(gè)． 10．5種商品的價(jià)格如表8—1，其中的單位是元．現(xiàn)用60元錢恰好買了10件商品，那么有多少種不同的選購方式? 【分析與解】 設(shè)B、C、D、E、A商品依次買了b、c、d、e、(10bcde)件，則有 =60． =310，顯然只能取0，1，2．Ⅰ有=310，其中d可取0，1，2，3，4． (1)當(dāng)d=0時(shí)，有=310，將系數(shù)，常數(shù)對(duì)6取模得： ≡4(mod 6)，于是最小取4，那么有18b=310434=138，b不為自然數(shù)．所以d=0時(shí)。不滿足；(2)有=233，將系數(shù)，常數(shù)對(duì)6取模得：≡5(mod 6),于是最小,那么有18b=233435=18,；(3)有=156，將系數(shù)，常數(shù)對(duì)6取模得：≡O(shè)(mod 6)，于是最小取0，那么有18b=156，b不為自然數(shù)，所以d=2時(shí)，不滿足；(4)有=79，將系數(shù)、常數(shù)對(duì)6取模得：≡1(mod 6)，于是最小那么有18b=79—43=36．(5)當(dāng)d=4時(shí)，有=2，顯然不滿足．Ⅱ有=190，其中d可以取0、2．(1)有=190，將系數(shù)、常數(shù)對(duì)6取模有：≡4(mod 6)，于是最小那么有18b=190434=18,(2)當(dāng)d=1時(shí)，有=113，將系數(shù)、常數(shù)對(duì)6取模有：≡5(mod 6)，于是最小取5，即18+215=113，顯然d=1時(shí)，不滿足；(3)有=36,顯然有時(shí)Ⅲ有=70，只能取0，有=70，將系數(shù)、常數(shù)對(duì)6取模有：≡4(rood 6)，于是最小取4，那么有18+172=70，顯然不滿足最后可得到如下表的滿足情況：共有4種不同的選購方法． 11．有43位同學(xué)，他們身上帶的錢從8分到5角，錢數(shù)都各不相同．每個(gè)同學(xué)都把身上帶的全部錢各自買了畫片．畫片只有兩種：3分一張和5分一張．每11人都盡量多買5分一張的畫片．問他們所買的3分畫片的總數(shù)是多少張? 【分析與解】 錢數(shù)除以5余0，1，2，3，4的人，分別買0，2，4，1，3張3分的畫片．因此，可將錢數(shù)8分至5角2分這45種分為9組，每連續(xù)5個(gè)在一組，每組買3分畫片0+2+4+1+3=10張，9組共買109=90張，去掉5角1分錢中買的2張3分畫片，5角2分中買的4張3分畫片，43個(gè)人買的3分畫片的總數(shù)是9024=84張． 12．哥德巴赫猜想是說：“每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和．”試將168表示成兩個(gè)兩位質(zhì)數(shù)的和，并且其中的一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字是1． 【分析與解】 個(gè)位數(shù)字是1的兩位質(zhì)數(shù)有11，31，41，61，71． 其中16811=157，16831=137，16841=127，16861=107，都不是兩位數(shù)，只有16871=97是兩位數(shù)，而且是質(zhì)數(shù)，所以168=71+97是惟一解．13．(1)將50分拆成10個(gè)質(zhì)數(shù)之和，要求其中最大的質(zhì)數(shù)盡可能大，那么這個(gè)最大質(zhì)數(shù)是多少? (2)將60分拆成10個(gè)質(zhì)數(shù)之和，要求其中最大的質(zhì)數(shù)盡可能小，那么這個(gè)最大的質(zhì)數(shù)是多少? 【分析與解】 (1)首先確定這10個(gè)質(zhì)數(shù)或其中的幾個(gè)質(zhì)數(shù)可以相等，不然10個(gè)互不相等的質(zhì)數(shù)和最小為2+3+5+7+11+13+17+19+23+29，顯然大于50． 所以，其中一定可以有某幾個(gè)質(zhì)數(shù)相等． 欲使最大的質(zhì)數(shù)盡可能大，那么應(yīng)使最小的質(zhì)數(shù)盡可能小，最小的質(zhì)數(shù)為2，且最多可有9個(gè)2，那么最大質(zhì)數(shù)不超過50—29=32，而不超過32的最大質(zhì)數(shù)為31． 又有，所以滿足條件的最大質(zhì)數(shù)為31． (2)最大的質(zhì)數(shù)必大于5，否則10個(gè)質(zhì)數(shù)的之和將不大于50． 所以最大的質(zhì)數(shù)最小為7，為使和為60，所以盡可能的含有多個(gè)7． 60247。7=8……4，而4=2+2，恰好有．即8個(gè)7與2個(gè)2的和為60，顯然其中最大的質(zhì)數(shù)最小為7． 14．有30個(gè)貳分硬幣和8個(gè)伍分硬幣，用這些硬幣不能構(gòu)成的1分到1元之間的幣值有多少種? 【分析與解】 注意到所有38枚硬幣的總幣值恰好是100分(即1元)，于是除了50分和100分外，其他98種幣值就可以兩兩配對(duì)了，即 (1，99)；(2，98)；(3，97)；(4，96)；…；(49，51)； 每一對(duì)幣值中有一個(gè)可用若干個(gè)貳分和伍分硬幣構(gòu)成，則另一個(gè)也一定可以，顯然50分和100分的幣值是可以組成的，因此只需要討論幣值為1分，2分，3分，…，48分和49分這49種情況． 1分和3分的幣值顯然不能構(gòu)成． 2分，4分，6分，…，46分，48分等2；4種偶數(shù)幣值的都可以用若干個(gè)貳分硬幣構(gòu)成． 5分，7分，9分，…，47分，49分等23種奇數(shù)幣值的只須分別在4分，6分,8分，…46分、48分的構(gòu)成方法上，用一枚伍分硬幣去換兩枚貳分硬幣即可，譬如，37分幣值的，由于36分幣值可用18枚貳分硬幣構(gòu)成，用一枚伍分硬幣換下兩枚貳分硬幣，剩下的幣值即為37分． 綜合以上分析，不能用30個(gè)貳分和8個(gè)伍分硬幣構(gòu)成的1分到1元之間的幣值只有四種，即1分，3分，97分，99分． 15．小明買紅、藍(lán)兩支筆，共用了17元．兩種筆的單價(jià)都是整數(shù)元，并且紅筆比藍(lán)筆貴．小強(qiáng)打算用35元來買這兩種筆(也允許只買其中一種)，可是他無論怎么買，都不能把35元恰好用完．那么紅筆的單價(jià)是多少元? 【分析與解】如下表先枚舉出所有可能的單價(jià)如表1．再依次考慮：首先，不能出現(xiàn)35的約數(shù)．否則只買這種筆就可以剛好用完35元，所以含有7，5，1的組合不可能．然后，也不能出現(xiàn)35—17=18的約數(shù)．否則先各買一支需17元，那么再買這種筆就可以花去18元，一共花35元．所以含有9，6，3，2的組合也不可能．所以，只有13+4的組合可能，經(jīng)檢驗(yàn)13x+4y=35這個(gè)不定方程確實(shí)無自然數(shù)解．所以紅筆的單價(jià)為13元．1．廟里有若干個(gè)大和尚和若干個(gè)小和尚，已知每7個(gè)大和尚每天共吃41個(gè)饅頭，問：廟里至少有多少個(gè)和尚．2．小花狗和波斯貓是一對(duì)好朋友，它們?cè)谠缤硪娒鏁r(shí)總要叫上幾聲表示問候．早晨見面，小花狗叫兩聲，波斯貓叫一聲；晚上見面，小花狗叫兩聲，波斯貓叫三聲．細(xì)心的小娟對(duì)它們叫聲統(tǒng)計(jì)了15天，它們并不是，每天早晚都見面，在這15天內(nèi)它們共叫61聲．問：波斯貓至少叫了多少聲?3．《張邱建算經(jīng)》百雞問題：今有百錢，雞翁直錢五，雞母直錢三，雞雛三直一,百錢買百雞，問雞翁、母、雛各幾何?第9講 整數(shù)分拆 1．一般的有，把一個(gè)整數(shù)表示成兩個(gè)數(shù)相加，當(dāng)兩個(gè)數(shù)相近或相等的時(shí)候，乘積最大．也就是把整數(shù)分拆成兩個(gè)相等或者相差1的兩個(gè)整數(shù)． 2．一般的有，把自然數(shù)m分成n個(gè)自然數(shù)的和，使其乘積最大，則先把m進(jìn)行對(duì)n的帶余除法，表示成m=np+r，則分成r個(gè)(p+1)，(n－r)個(gè)P． 3．把自然數(shù)S (S＞1)分拆為若干個(gè)自然數(shù)的和(沒有給定是幾個(gè))，則分開的數(shù)當(dāng)中最多有兩個(gè)2，其他的都是3，這樣它們的乘積最大． 4．把自然數(shù)分成若干個(gè)互不相等的整數(shù)，則先把它表示成2+3+4+5+…+n形式，當(dāng)和等于原數(shù)則可以，若不然，比原數(shù)大多少除去等于它們差的那個(gè)自然數(shù)． 如果僅大于1，則除去2，再把最大的那個(gè)數(shù)加1． 5．若自然數(shù)N有k個(gè)大于1的奇約數(shù)，則N共有k種表示為兩個(gè)或兩個(gè)以上連續(xù)自然數(shù)之和的方法． 即當(dāng)有m個(gè)奇約數(shù)表示的乘積，則有奇約數(shù)2－1個(gè)奇約數(shù)． 6．共軛分拆．我們通過下面一個(gè)例子來說明共軛分拆： 如：10=4+2+2+1+1，我們畫出示意圖，我們將其翻轉(zhuǎn)(將圖左上到右下的對(duì)角線翻轉(zhuǎn)即得到)：，可以對(duì)應(yīng)的寫成5+3+l+1，也是等于10，即是10的另一種分拆方式．我們把這兩種有關(guān)聯(lián)的分拆方式稱為互為共軛分拆． 1．寫出13=1+3+4+5的共軛分拆．【分析與解】 畫出示意圖，翻轉(zhuǎn)得到，對(duì)應(yīng)寫為4+3+3+2+1=13，即為13=1+3+4+5的共軛分拆． 2．電視臺(tái)要播出一部30集電視連續(xù)劇，若要每天安排播出的集數(shù)互不相等．則該電視連續(xù)劇最多可以播出幾天? 【分析與解】 由于希望播出的天數(shù)盡可能地多，若要滿足每天播出的集數(shù)互不相等的條件下，每天播出的集數(shù)應(yīng)盡可能地少． 選擇從1開始若干連續(xù)整數(shù)的和與30最接近(小于30)的情況為1+2+3+4+5+6+7=28，現(xiàn)在就可以播出7天，還剩下2集，由于已經(jīng)有2集這種情況，．即把30表示成： 30=1+2+3+4+5+6+9或30=1+2+3+4+5+7+8即最多可以播出7天． 3．若干只同樣的盒子排成一列，小聰把42個(gè)同樣的小球放在這些盒子里然后外出，小明從每支盒子里取出一個(gè)小球，然后把這些小球再放到小球數(shù)最少的盒子里去。再把盒子重排了一下．小聰回來，仔細(xì)查看，沒有發(fā)現(xiàn)有人動(dòng)過小球和盒子．問：一共有多少只盒子? 【分析與解】 設(shè)原來小球數(shù)最少的盒子里裝有a只小球，現(xiàn)在增加了b只，由于小聰沒有發(fā)現(xiàn)有人動(dòng)過小球和盒子，這說明現(xiàn)在又有了一只裝有a個(gè)小球的盒子，而這只盒子里原來裝有(a+1)個(gè)小球． 同樣，現(xiàn)在另有一個(gè)盒子裝有(a+1)個(gè)小球，這只盒子里原來裝有(a+2)個(gè)小球． 類推，原來還有一只盒子裝有(a+3)個(gè)小球，(a+4)個(gè)小球等等，故原來那些盒子中裝有的小球數(shù)是一些連續(xù)整數(shù)． 現(xiàn)在變成：將42分拆成若干個(gè)連續(xù)整數(shù)的和，一共有多少種分法，每一種分法有多少個(gè)加數(shù)? 因?yàn)?2=67，故可以看成7個(gè)6的和，又(7+5)+(8+4)+(9+3)是6個(gè)6，從而42=3+4+5+6+7+8+9，一共有7個(gè)加數(shù)； 又因?yàn)?2=143，故可將42：13+14+15，一共有3個(gè)加數(shù)； 又因?yàn)?2=212，故可將42=9+10+11+12，一共有4個(gè)加數(shù)．所以原問題有三個(gè)解：一共有7只盒子、4只盒子或3只盒子 4．機(jī)器人從自然數(shù)1開始由小到大按如下規(guī)則進(jìn)行染色： 凡能表示為兩個(gè)不同合數(shù)之和的自然數(shù)都染成紅色，不符合上述要求的自然數(shù)染成黃色(比如23可表示成兩個(gè)不同合數(shù)15和8之和，23要染紅色；1不能表示為兩個(gè)不同合數(shù)之和，1染黃色)．問：要染成紅色的數(shù)由小到大數(shù)下去，第2000個(gè)數(shù)是多少?請(qǐng)說明理由． 【分析與解】 顯然1要染黃色，2=1+1也要染黃色， 3=1+2，4=1+3=2+2，5=1+4=2+3，6=1+5=2+4=3+3，7=1+6=2+5=3+4，8=1+7=2+6=3+5=4+4，9=1+8=2+7=3+6=4+5，10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5，11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6． 可見，1，2，3，4，5，6，7，8，9，11均應(yīng)染成黃色． 下面統(tǒng)一觀察其他自然數(shù)，說明其他自然數(shù)均要染成紅色． 1)當(dāng)n為大于等于10的偶數(shù)時(shí)，n=2k=4+2(k－2)． 由于n≥10，所以k≥15，k－2≥3，2(k－2)與4均為合數(shù)，且不相等．于是，大于等于10的偶數(shù)都可以表示兩個(gè)不同的合數(shù)之和，應(yīng)染成紅色． 2)當(dāng)n為大于等于13的奇數(shù)時(shí)，n=2k+1=9+2(k－4)． 由于n≥13，所以k≥6，k－4≥2，2(k－2)≥4與9均是合數(shù)，且不相等．也就是說，大于等于13的奇數(shù)均能表示為兩個(gè)不同的合數(shù)之和，應(yīng)染紅色． 所以，除了1，2，3，4，5，6，7，8，9，11這10個(gè)數(shù)染黃色外，其余自然數(shù)均染紅色，第k個(gè)染為紅色的數(shù)是第(k+10)個(gè)自然數(shù)(k≥2)．所以第2000個(gè)染紅色的數(shù)是2000+10=2010． ，有用2個(gè)以上的連續(xù)自然數(shù)的和來表達(dá)一個(gè)整數(shù)的方法．例如9：9=4+5，9=2+3+4，9有兩個(gè)用2個(gè)以上連續(xù)自然數(shù)的和來表達(dá)它的方法. (1)請(qǐng)寫出只有3種這樣的表示方法的最小自然數(shù)． (2)請(qǐng)寫出只有6種這樣的表示方法的最小自然數(shù)． 【分析與解】 關(guān)于某整數(shù)，它的“奇數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)減1”，就是用連續(xù)的整數(shù)的和的形式來表達(dá)種數(shù).根據(jù)（1）知道，有3種表達(dá)方法，于是奇約數(shù)的個(gè)數(shù)為3+1=4，對(duì)4分解質(zhì)因數(shù)4=22，最小的15(15)；有連續(xù)的5個(gè)數(shù)相加；7+8；4+5+6；1+2+3+4+5； 根據(jù)(2)知道，有6種表示方法，于是奇數(shù)約數(shù)的個(gè)數(shù)為6+1=7，最小為729(2824729)，有連續(xù)的2,27個(gè)數(shù)相加：364+365；242+243+244；119+120+…+124；77+78+79+…+85；36+37+…+45；14+15+…+4