【正文】 n x??，過 ? ?2 ,0Pn 任作 直線 l 與拋物線交與 ,nnAB兩點， 則數(shù)列 ? ?21nnOA OBn??????????的前 n 項和為 ． 14． 設(shè)數(shù)列 ??na 是公差為 d 的等差數(shù)列， , , ,mn pq 是互不相等的正整數(shù)，若 m n p q? ? ? ，則 qpnm aaaa ??? .請你用類比的思想 ,對等差數(shù)列 ??na 的前 n 項和為 nS ,寫出類似的結(jié)論 。 二、選擇題 （每小題 5 分，共 20 分） 15． 在31()2 nx x?的展開式中，只有第 5 項的二項式系數(shù)最大，則展開式中常數(shù)項是（ ） A． — 7 B． — 28 C． 7 D． 28 ? ， ? ，直線 l ，若 ??^ ， l??= ，則 () A．垂直于平面 ? 的平面一定平行于平面 ? B．垂直于直線 l 的直線一定垂直于平面 ? C．垂直于平面 ? 的平面一定平行于直線 l D．垂直于直線 l 的平面一定與平面 ? ,? 都垂直 )0(22 ?? ppxy 上一點 ),1( mM )0( ?m 到其焦點的距離為 5 ，雙曲線122 ??yax 的左頂點為 A ，若雙曲線一條漸近線與直線 AM 平行，則實數(shù) a 等于 （ ） A． 91 B． 41 C． 31 D． 21 ??xf 是定義域在 R 上的奇函數(shù)，且 0?x 時， ? ? ? ?? ? ???? xxxf ，則 關(guān) 于 ? ?xfy? 在 R 上 零 點 的 說 法 正 確 的 是 （ ） .A 有 4 個零點 ,其中只有一個零點在 ? ?2,3?? 內(nèi) .B 有 4 個零點 ,其中只有一個零點在 ? ?2,3?? 內(nèi) ,兩個在 ? ?3,2 內(nèi) .C 有 5 個零點都不在 ? ?2,0 內(nèi) .D 有 5 個零點 ,Z 正零點中一個在 ? ?2,0 內(nèi)，一個在 ? ???,3 三、 解答題： （ 13+ 13 + 14 + 16 + 18 = 74 分 ） 19． 在銳角 ABC? 中， a ， b ， c 分別為內(nèi)角 A ， B ， C 所對的邊，且滿足 3 2 sin 0a b A??． （ 1）求角 B 的大小 ； （ 2）若 5ac?? ，且 ac? ， 7b? ，求 ABAC 的值． 20． 如圖四棱錐 P ABCD? 中，底面 ABCD 是平行四邊形， 090ACB??， PA? 平面ABCD ， 1PA BC??， 2AB? ， F 是 BC 的中點 . (1)求證： DA? 平面 PAC ； (2)試在線段 PD 上確定一點 G ，使 CG ∥ 平面 PAF ，并求三棱錐 A CDG 的體積 . A DCFPB 21． 甲、乙兩地相距 1004千米，汽車從甲地勻速駛向乙地，速度不得超過 120 千米 / 小時，已知汽車每小時的運輸成本（以 1 元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度 v（千米 / 小時）的平方成正比，比例系數(shù)為 2 ，固定部分為 a 元 . （ 1）把全部運輸成本 y 元表示為速度 v （千米 /小時） 的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域； （ 2）為了使全部運輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？ ABC? 的頂點 A、 B在橢圓 .//,2:,43 22 lABxylCyx 且上在直線點上 ???? （ 1）當(dāng) AB邊通過坐標(biāo)原點 O時 ， 求 AB的長及 ABC? 的面積； （ 2）當(dāng) ??? 90ABC ，且斜邊 AC的長 最大時，求 AB所在直線的方程 . 23.（文） （本題滿分 18 分；第 1 小題 4 分，第 2 小題 6 分，第3 小題 8 分） 設(shè) 3xxf ?)( ，等差數(shù)列 ??na 中 73?a ， 12321 ??? aaa ，記 nS = ? ?3 1?naf ， 令 nnn Sab ? ，數(shù)列 }1{nb的前 n 項和為 nT .（ 1） 求 ??na 的通項公式和 nS ； （ 2） 求證： 31?nT； （ 3） 是否存在正整數(shù) nm, ， 且 nm??1 ， 使得 nm TTT ,1 成等比數(shù)列？若存在 ，求出 nm, 的值，若不存在，說明理由 . (理科 ) （本題滿分 18 分；第 1 小題 4 分，第 2 小題 6 分，第 3 小題 8 分） 已知數(shù)列 {}na 滿足 ? ??? ??? Nnaa nn 11 . （ 1） 若 451?a,計算 432 , aaa 的值 ,并寫出 數(shù)列 {}na ? ?2?? ? nNn ， 的通項公式 。 （ 2） 是否存在 ? ???? NnRana 0101 , ,使得當(dāng) ? ???? Nnnn 0 時 , na 恒為常數(shù) ,若存在 ,求出 01,na ,否則說明理由 。 (3) 若 ? ?1,1 ??? kkaa ,? ???Nk ,求 {}na 的前 k3 項的和 kS3 (用 ak, 表示 ). 上海市大同中學(xué)高三數(shù)模擬試題 答案 一、填空題 充分非 必要條件 34? 22 19xy ?? 78 34 6（理） （文 ） 3 6 3:2 10062 4 1 8? 12（理） 4?? （文） ? ? ? ?, 1 3,?? ? ?? 1 ? ?1nn?? 1 若 ,m n p q? ? ? 則 pqnm SSSSn m p q? ? ? 二、選擇題 1 C 1 D 1 A 1 C 三、 解答題： 1 解： （Ⅰ）因為 3 2 sin 0a b A??，所以 3 si n 2 si n si n 0A B A??， ???? 2分 因為 sin 0A? ， 所以 23sin ?B .?? 3分 又 B 為銳角， 則 3B ?? .??? 5分 （ 2）由（ 1）可知， 3B ?? ． 因為 7b? ，根據(jù)余弦定理，得 227 2 c o s 3a c a c ?? ? ? ，?7分 整理，得 2( ) 3 7a c ac? ? ?． 由已知 5ac?? ，則 6ac? ． 又 ac? ，可得 3a? ， 2c? ． ??? 9分 于是 2 2 2 7 4 9 7c o s2 1 447b c aA bc? ? ? ?? ? ?， ? 11 分 所以 7c o s c o s 2 7 114A B A C A B A C A c b A? ? ? ? ? ?． ??? 13 分 20 、 解： (1) 證 明： Q 四邊 形是平 行四邊形 ，? 090AC B DAC? ? ? ?， Q PA? 平面 ABCD ? PA DA? ，又 AC DA? ，AC PA A?I ， ?DA? 平面 PAC . ??? 4 分 (2)設(shè) PD 的中點為 G ，在平面 PAD 內(nèi)作 GH PA? 于A DCFPB H ，則 GH 平行且等于 12AD ，連接 FH ，則四邊形 FCGH 為平行四邊形， ??? 8 分 ?GC ∥ FH ， Q FH ? 平面 PAE ， CG ? 平面 PAE ， ?CG ∥平面 PAE ， ?G 為 PD 中點時， CG ∥平面 PAE ??? 10 分 設(shè) S 為 AD 的中點，連結(jié) GS ，則 GS 平行且等于 1122PA? ， Q PA? 平面 ABCD ， ?GS? 平面 ABCD ， ? 113 1 2A C D G G A C D A C DV V S G S??? ? ?V. ??? 13 分 2解（ 1）每小時運輸成本為 ? ?22va? ，全程行駛時間為 v1004 小時， ? ? ? ?? ?120,0210 04210 04 2 ??????? ???? vvvavavy . （ 2） avvavvay 220222202221004 ????????? ??，當(dāng)且僅當(dāng) vva 2? ，即2av?時等號成立， 若 ? ?120,02 ?a ， 當(dāng)2av?時， ay 22022min ? 若 1202 ?a，易證（略）函數(shù) ?????? ?? vvay 21004在 ? ?120,0 單調(diào)遞減， 當(dāng) 120?v 時， ?????? ?? 2401202204m in ay. 2 解： （ 1）因為 ,//lAB 且 AB 通過原點（ 0， 0），所以 AB所在直線的方程為 .xy? 由??? ? ??xy yx 43 22 得 A、 B兩點坐標(biāo)分別是 A（ 1， 1）， B（ 1， 1）。 22)()(|| 221221 ?????? yyxxAB ?? ? 2分 又 lhAB 等于原點到直線邊上的高? 的距離。 .2||21,2 ?????? hABSh A B C ??? 5分 （ 2）設(shè) AB所在直線的方程為 mxy ?? 由 .0436443 2222 ??????? ?? ?? mmxxmxy yx 得 因為 A， B兩點在橢圓上，所以 ,06412 2 ????? m 即 .3 343 34 ??? m ??? 7分 設(shè) A， B兩點坐標(biāo)分別為 ),(),( 2211 yxyx ，則 ,4 43,23 22121 ????? mxxmxx且 ., 2211 mxymxy ???? ??? 8分 221221221 )(2)()(|| xxyyxxAB ??????? 2 632)4349(2]4)[(222221221 mmmxxxx ???????? ???? 9分 又 lmBC 到直線的長等于點 ),0(? 的距離， .2 |2||| mBC ?? .)1(11102|||||| 22222 ?????????? mmmBCABAC ACm ,1時當(dāng) ??? 邊最長。（顯然 3 3413 34 ???? ） ??? 12分 所以 ， AB所在直線的方程為 1??xy ??? 16分 2解 ：（ 1） 設(shè)數(shù)列 ??na 的公差為 d ，由 7213 ??? daa , 1233 1321 ????? daaaa . 解得 11?a ， d =3 ， ∴ 23 ?? nan ∵ 3xxf ?)( ， ∴ Sn= ? ?3 1?naf = 131 ??? nan . （ 2） )13)(23( ???? nnSab nnn ∴ )13 123 1(31)13)(23( 11 ??????? nnnnb n ∴ 31)131(31 ???? nTn （ 3） 由 (2)知， 13 ?? nnnT ∴ 13,411 ??? mmTT m， 13 ?? nnnT， ∵ nm TTT ,1 成等比數(shù)列 . ∴ 1341)13( 2 ??? nnmm 即 nnmm 4312 ???6 當(dāng) 1?m 時， 7 nn 43 ?? ， n =1，不合題意；當(dāng) 2?m 時， 413 nn 43 ?? ， n =16，符合題意； 當(dāng) 3?m 時， 919 nn 43 ?? ， n 無正整數(shù)解；當(dāng) 4?m 時， 1625 nn 43 ?? ， n 無正整數(shù) 解； 當(dāng) 5?m 時， 2531 nn 43 ?? ， n 無正整數(shù)解；當(dāng) 6?m 時， 3637 nn 43 ?? ， n 無正整數(shù)解； 當(dāng) 7?m 時， 010)3(16 22 ?????? mmm ，則 1162 ??mm，而 34343 ???? nnn ， 所以，此時不存在 正整數(shù) m,n,且 1mn,使得 nm TTT ,1 成等比數(shù)列 . 綜上，存在 正整數(shù) m=2,n=16,且 1mn,使得 nm TTT ,1 成等比數(shù)列 . 另解 ：（ 1） 設(shè)數(shù)列 ??na 的公差為 d ，由 7213 ??? daa , 1233 1321 ????? daaaa . 解得 11?a ， d =3 ， ∴ 23 ?? nan ； ∵ 3xxf ?)( ∴ Sn= ? ?3 1?naf = 131 ??? nan . 6分