43洛朗展式及孤立奇點(diǎn)-資料下載頁(yè)
2025-09-21 10:16本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】是否能表示為不解析在如果zzzzf?若兩收斂域無(wú)公共部分,定理內(nèi)處處解析，在圓環(huán)域設(shè))(201RzzRzf???下面證明.0)(lim1外部成立在KzRNN???q無(wú)關(guān)與積分變量?))(()(的連續(xù)性決定由因?yàn)橛謟fMf??與閉曲線.則可用一個(gè)式子表示為:. )(zf在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗(Laurent)級(jí)數(shù).冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的，這就是f的洛朗級(jí)數(shù).用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開(kāi).
【正文】 )(zf 的研究 在去心鄰域 Rt 10 ?? 內(nèi)對(duì)函數(shù) )(t? 的研究 Rt10 ??因?yàn)? )(t? 在去心鄰域 內(nèi)是解析的 , 所以 0?t 是 )(t? 的孤立奇點(diǎn) . 規(guī)定 : m級(jí)極點(diǎn)或本性奇點(diǎn) . )(t? 的可去奇點(diǎn)、 m級(jí)極點(diǎn)或 本性奇點(diǎn) , 如果 t=0 是 ??z 是 )(zf 的 可去奇點(diǎn)、 那末就稱點(diǎn) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 51 Rt10 ??因?yàn)? )(t? 在去心鄰域 內(nèi)是解析的 , t = 0 是 它的一個(gè)孤立奇點(diǎn)， 內(nèi)有洛朗展式在Rt 10 ??,)( ????????nnn tct?因而 ,1)( ????????nnn zczf所以 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 52 1)不含正冪項(xiàng) 。 2)含有有限多的正冪項(xiàng)且 mz 為最高正冪 。 3)含有無(wú)窮多的正冪項(xiàng) 。 那末 ??z 是 )(zf 的 1)可去奇點(diǎn) 。 2) m 級(jí)極點(diǎn) 。 3)本性奇點(diǎn) . 判別法 1 (利用洛朗級(jí)數(shù)的特點(diǎn) ) : )(zf ???? zR在 內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)中 : 如果 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 53 判別法 2 : (利用極限特點(diǎn) ) 如果極限 )(lim zfn ??1)存在且為有限值 。 2)無(wú)窮大 。 3)不存在且不為無(wú)窮大 。 那末 ??z 是 )(zf 的 1)可去奇點(diǎn) 。 2)m級(jí)極點(diǎn) 。 3)本性奇點(diǎn) . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 54 例 6 (1)函數(shù) 1)( ?? z zzf 在圓環(huán)域 ???? z1內(nèi)的洛朗展開(kāi)式為 : ?? ????????? nnzzzzzf 1)1(111111)(2不含正冪項(xiàng) 所以 ??z 是 )(zf 的可去奇點(diǎn) . (2)函數(shù) zzzf 1)( ??含有正冪項(xiàng)且 z 為最高正 冪項(xiàng) ,所以 ??z 是 )(zf 的 1級(jí)極點(diǎn) . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 55 (3)函數(shù) zsin 的展開(kāi)式 : ?? ????????)!12(!5!3s i n1253nzzzzz n含有無(wú)窮多的正冪項(xiàng) 所以 ??z 是 )(zf 的本性奇點(diǎn) . 課堂練習(xí) .0, 是本性奇點(diǎn)是一級(jí)極點(diǎn) ??? zzzezzf1)( ?? 的奇點(diǎn)及其 類型 . 說(shuō)出函數(shù) 答案 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 56 例 7 函數(shù) 332)( s i n)2)(1()(zzzzf????在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi) 有些什么類型的奇點(diǎn) ? 如果是極點(diǎn) , 指出它的級(jí) . 解 函數(shù) )(zf 除點(diǎn) ?2,1,0 ???z 外 , .,2,1,0c os)( s i n 處均不為零在因 ???????? zzz所以這些點(diǎn)都是 z?sin 的一級(jí)零點(diǎn) , 故這些點(diǎn)中除 1, ?1, 2外 , 都是 )(zf 的三級(jí)極點(diǎn) . ???z 內(nèi)解析 . 在 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 57 ),1)(1(12 ???? zzz因所以 .2)(11 級(jí)極點(diǎn)的是與 zf?)(lim2 zfz?那末 2?z 是 )(zf 的可去奇點(diǎn) . 為一級(jí)零點(diǎn)，與以 11 ? 因?yàn)? 時(shí)，當(dāng) 2?z3322 )( s i n)2)(1(l i mzzzz ?????,33??機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 58 時(shí)，當(dāng) ??z使分母為零，nn 1,0 ?? ????z 不是 )(zf 的孤立奇點(diǎn) . 所以 ,s i n)21)(1(13232???????????????f因?yàn)榈臉O點(diǎn)，為 ?????????1fn時(shí)，當(dāng) ??n ，0?n?的孤立奇點(diǎn)，不是故 ?????????10 f機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 59 例 8 判斷 z = ? 是下列函數(shù)的什么類型奇點(diǎn)， 對(duì)于極點(diǎn)，指出它們的級(jí) . 。)()1( 1zezf ? .c o s1)()2( 4z zzf ??解 (1) 由于 zezf 1)( ? 在 ?的鄰域 ???? ||0 z內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)為 ?? ??????? nz znzzezf !1!2 111)( 21所以 z = ?為 f (z) 的可去奇點(diǎn) . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 60 (2) 由于 cos z 在 ? 的鄰域的洛朗級(jí)數(shù)就是它在 z = 0處的泰勒級(jí)數(shù) ?????02)!2()1(c o snnnnzz從而 4c o s1)(zzzf ???? ?????????)!2()1(!6!41!21 )2(2122 nzzznn)||0( ???? z機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 61 三、小結(jié)與思考 理解孤立奇點(diǎn)的概念及其分類 。 掌握可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)與本性奇點(diǎn)的特征 。 熟悉零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系 . 作業(yè)： 17(1)(2)(3)(4)(5), 18 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 62 .)1(1)(33 的孤立奇點(diǎn)的類型確定函數(shù) ?? zezzf思考題 洛朗級(jí)數(shù)與泰勒級(jí)數(shù)有何關(guān)系 ? 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 63 四、小結(jié)與思考 在這節(jié)課中 , 我們學(xué)習(xí)了洛朗展開(kāi)定理和函 數(shù)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)的方法 . 將函數(shù)展開(kāi)成洛朗級(jí) 數(shù)是本節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn) . 理解孤立奇點(diǎn)的概念及其分類 。 掌握可去奇點(diǎn)、 極點(diǎn)與本性奇點(diǎn)的特征 。 熟悉零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系 . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 64 洛朗級(jí)數(shù)是一個(gè)雙邊冪級(jí)數(shù) , 其解析部分是 一個(gè)普通冪級(jí)數(shù) 。 .0 Rzzr ???,0,0,00 時(shí)當(dāng) ??? ? ncrz思考題答案 是一般與特殊的關(guān)系 . 洛朗級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域是圓環(huán)域 .級(jí)數(shù)了洛朗級(jí)數(shù)就退化為泰勒,60 級(jí)零點(diǎn)是分母的?z.6)( 級(jí)極點(diǎn)的也即是函數(shù) zf 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 65 放映結(jié)束，按 Esc退出 . 作業(yè) : P108 1 (1)(2)(3), 3(2)(4)(6),4,5, 7,8,9
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1