【正文】 流行波。 本章小結(jié) 本章首先討論了行波的 產(chǎn)生原理、傳輸特性 ， 介紹了三相線路相模變換的分析方法，解決了電磁耦合的問題。深入討論研究了 小電流接地系統(tǒng) 的行波傳輸特性， 通過對行波在 線路末端反射規(guī)律的分析可知，發(fā)生單相接地故障時(shí)，小電流接地系統(tǒng)母線測量端初始電流行波幅值較大， 且便于獲取等，所以 本文 選擇 電流行波 為測量信號進(jìn)行 故障定位的研究。 第三章 小波分析及其在行波信號檢測定位中的應(yīng)用 電力線路故障時(shí)產(chǎn)生的暫態(tài)行波信號是一種突變性的、非平穩(wěn)的高頻暫態(tài)信號，正確識別和檢測線路故障后的行波信號是實(shí)現(xiàn)行波故障定位（行波故障選線和測距）的關(guān)鍵。在實(shí)際應(yīng)用中，故障產(chǎn)生的行波信號可分解為一些傳播模式的混合信號，每種傳播模式的不同頻率分量具有不同的速度和衰減，使行波傳播時(shí)產(chǎn)生色散 [34]，降 低了對行波準(zhǔn)確到達(dá)時(shí)刻的判別，造成行波波頭檢測不準(zhǔn)確。 小波分析具有良好的時(shí)頻局部化特性，可以對信號進(jìn)行精確分析；特有的尺度伸縮功能使其對暫態(tài)突變信號和微弱信號的變化非常敏感，能夠有效地檢測到行波信號中的瞬時(shí)、奇異成分。而小波變換模極大值理論描述行波信號時(shí)極具完備性，模極大值點(diǎn)對應(yīng)原信號數(shù)據(jù)奇異點(diǎn)，重構(gòu)原信號而不丟失任何重要信息，有效抑制消除噪聲干擾等 [35,36]。為行波暫態(tài)信號分析和處理提供了新途徑，在電力系統(tǒng)中具有廣闊的應(yīng)用前景。 連續(xù)小波變換 [36] 設(shè) )(t? 是平方可積函數(shù)，即 )()( 2 RLt ?? （ L2(R)表示平方可積的實(shí)數(shù)空間，即能量有限的信號空間），若滿足以下允許性條件： ????????? ???? dC2^ )(| （ 31） 則稱 )(t? 為一個(gè)基小波或者母小波，其中 ^ )(?? 是 )(t? 的傅立葉變換。 引入尺度因子 a 和平移因子 b 滿足： a,b∈ R，且 a≠ 0，由 )(t? 通過伸縮、平移生成的一族函數(shù)稱為小波： )(1)(, abtatba ?? ?? （ 32） 信號 f(t)∈ L2(R)的連續(xù)小波變換定義為： ?? ???????????? dta bttfadtttfbaW baf )()()()(),( 21, ?? （ 33） 其中 )(, tba? 是 )(, tba? 的共軛函數(shù)。 離散小波變換和二進(jìn)小波變換 [36,37] 實(shí)際應(yīng)用中，為了方便計(jì)算機(jī)處理，需要對小波和小波變換進(jìn)行離散化。取尺度因子 a和平移因子 b為離散序列值： jaa 0? ， 00bkab j? ， Zkj ?, 且 10?a ，則相應(yīng)的小波函數(shù)為： )()( 002/0, kbtaat jjkj ?? ?? ?? （ 34） 離散小波變換定義為： dtkbtatfadtttfbkaaWRjjR kjjjf ?? ??? ?? )()()()(),( 002/0,000 ?? （ 35） 工程中，最常用的是二進(jìn)離散方式，即取 a0=2， b0=1，此時(shí)有 ja 2? ， jkb 2? ，則相應(yīng)的小波函數(shù)稱為二進(jìn)小波函數(shù)： )2(2)( 2/,2 ktt jjkj ?? ?? ?? （ 36） 二進(jìn)小波變換定義為： dtkttfdtttfkWRjjR kjjf j ?? ??? ?? )2()(2)()()2,2( 2/,2 ?? （ 37） 二進(jìn)小波變換是介于于連續(xù)小波變換和離散小波變換之間的一種變換，它只對尺度因子進(jìn)行了離散化，而平移因子保持連續(xù)變化。 多尺度分析 如果把尺度理解為放大鏡，當(dāng)尺度從大到小變換時(shí)，相當(dāng)于用放大鏡從遠(yuǎn)到近的接近物體。因此隨著尺度由大到小的變化，可以由粗到細(xì)的觀察信號，這就是多尺度分析思想 [38]。 L2(R)空間的多尺度分析指 L2(R)中滿足下述條件的一個(gè)空間序列 {Vj}j∈ Z， 其中 Vj稱為尺度 j 下的尺度空間： (1) 一致單調(diào)性： ?? 21012 ?? ???? VVVVV (2) 漸進(jìn)逼近性： ??0???Zj jV， ?Z? ?j j RLV )(2 (3) 二尺度伸縮性： Z???? ? jVtfVtf jj 1)2()( (4) 平移不變性： Z????? jVktfVtf 00 )()( (5) 正交基存在性：存在函數(shù) 0)( Vt ?? ，使得 ? ? Z?? kkt )(? 是 V0的正交基，即? ?)(0 ktspa nV k ?? ? ， nmntmt ,)(),( ??? ??? 由條件 (1)可知 ，尺度空間 {Vj}j∈ Z 之間是相互包含關(guān)系，故它們的基? ? Z?kjkj t , )(? 不能構(gòu)成 L2(R)的正交基。為了尋找 L2(R)的正交基，引進(jìn)尺度空間{Vj}j∈ Z的正交補(bǔ)空間的概念： 11 ?? ?? jjj VWV ， 11 ?? ? jj VW （ 38） 稱 Wj+1 為 j+1 尺度下的小波空間， {Wj}j∈ Z 具有類似與 {Vj}j∈ Z 的性質(zhì)。若? ?? ??? Z??? kk ktt ?? ,0 為 W0的一組基，則 ? ?? ??? Z??? ?? kjjkj ktt 22 2/, ?? 必為 Wj的正交基。對所有尺度 j， ????Z?kjkj t ,?為 L2(R)的正交基。 由多尺度分析知，信號 f(t) ∈ V0，可以分解為概貌部分 V1和細(xì)節(jié)部分 W1，然后對 V1繼續(xù)分解，就可以得到 V1和 W1，如此繼續(xù)，最終得到 f(t)在任意尺度上的概貌部分和細(xì)節(jié)部分。 信號 f(t)向尺度空間 Vj投影后得到概貌信號 ??tfjs 為 ? ? ? ?tctfkjk kjjs , ??? （ 39） 信號 f(t)向尺度空間 Wj投影后得到細(xì)節(jié)信號 ??tfjd 為 ? ? ? ?tdtfkjk kjjd , ??? （ 310） 其中，稱 ? ?ttfc kjkj , ),( ?? 為尺度展開系數(shù)， ? ?ttfd kjkj , ),( ?? 為小波展開系數(shù)。 若 L2(R)按jJj j VWRL ?? ????)(2 的 空間組合方式展開，則有 ? ?tctdtfKJk KJkjJj k kj , )()( ?? ?? ?????????????? ?? （ 311） 式 36 和 37 稱為正交小波變換的分解公式，式 38 稱為正交小波變換的綜 合公式。 Mallat 快速算法 [35,39] 設(shè) jj Vt ?)(0,? 為尺度空間 Vj的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基函數(shù)， jj Wt ?)(0,? 為尺度空間Wj的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基函數(shù)。以下公式 ??????k kjkjk kjkj tgttht)()()()(,10,10,???? （ 312） 稱為二尺度方程，其中展開系數(shù) )(),( ,10, tth kjjk ?? ?? 為高通濾波器系數(shù)；展開系數(shù) )(),( ,10, ttg kjjk ?? ?? 為低通濾波器系數(shù)。 根據(jù)二尺度方程可以推導(dǎo)出以下結(jié)論： j 尺度空間的尺度系數(shù) cj,k 和小波系數(shù)dj,k 可由 j1 尺度空間的尺度系數(shù)經(jīng)兩組濾波器系數(shù) {hk}和 {gk}加權(quán)求和得到，即： ????????m mjkmkjm mjkmkj cgdchc,12,12, （ 313） 式 (313)稱為 Mallat 快速分解算法，這種分解完全是離散的。 進(jìn)一步，由 j 尺度空間的尺度系數(shù) cj,k 和小波系數(shù) dj,k 可以求得 j1 尺度空間的尺度系數(shù)，即： ????? ?? k kjkmk kjkmmj cgchc ,2,2,1 （ 314） 式 (314)稱 為稱為 Mallat 快速重構(gòu)算法。 Matllat 算法不涉及到尺度 函數(shù) ()t?和對應(yīng)的小波函數(shù) ()t? 的具體形式，為小波分析提供了簡單而快捷的手段。 Mallat 算法的分解過程和重構(gòu)過程如下圖 31，圖 32 所示： c0c0d0c1d1c2d2C j + 1D j + 1cndnC j C n 1 圖 31 信號分解的 Mallat 快速算法 Singal deposition of Mallat fast arithmetic c0c0d0c1d1c2d2C j + 1D j + 1cndnC j C n 1 圖 32 信號重構(gòu)的 Mallat 快速算法 Singal restructure of Mallat fast arithmetic 瞬態(tài)信號的突變點(diǎn)常包含很重要的故障信息，往往反映了信號發(fā)生源在某些部位出現(xiàn)的異?；蚬收蠣顟B(tài)，這就涉及到如何提取信號中突變點(diǎn)的位置及判定其奇異性的問題。信號的突變點(diǎn)在小波變換域?qū)?yīng)于小波變換系數(shù)模的極值點(diǎn)或過零點(diǎn)，而且信號奇異性的大小同小波變換系數(shù)極值隨尺度的變化規(guī)模具有對應(yīng)關(guān)系 [40]。因此，奇異性檢測原理是小波分析理論的一個(gè)重要應(yīng)用。 信號奇異性檢測原理 [3538,41] 若信號 f(t)在某個(gè)局部點(diǎn) t0處間斷或?qū)?shù)間斷，則稱該函數(shù)在 t0處有奇異性。其數(shù)學(xué)描述為： ? )(,1()( 000 tBtnnttctftf ??????? ?? （ 315） 稱 ? 為 f(t)在 t0處的在李氏（ Lipschitz）指數(shù)。其中， ))(()( 00 tBCtf t??； C是 t0與 ? 和無關(guān)的有界常數(shù)， B( t0)是 t0為中心的某個(gè)鄰域。 一般地，信號在 t0處的李氏指數(shù)表征了該點(diǎn)的奇異性程度： ? 越大 ，信號在t0處的光滑程度越高； ? 越小，信號在 t0處的奇異性越大。 ? ≥1時(shí)，信號是連續(xù)可導(dǎo)的； 0≤? 1 時(shí)，信號的光滑程度降低，甚至不連續(xù)，即 f(t)在 t0處有奇異性；對于白噪聲信號，有 ? 0。因此 ? 刻畫了信號 f(t)的奇異性。 小波變換模極大值同信號突變點(diǎn)的關(guān)系 [37,4243] 設(shè)某一低通平滑函數(shù) )(t? 滿足： ???? ?1)( dtt? 0)(lim ??? tt ? （ 316） 若 )(t? 二次可導(dǎo)，即 dttdt )()()1( ?? ? 22)2( )()( dt tdt ?? ? （ 317） 此處 )()1( t? 、 )()2( t? 滿足可容許性條件，可以分別作為母小波，則在尺度 j下，對任意信號的小波變換為： ))(*())((*)(*)( )1()1( tfdtdjtdtdjftftfWjjff ??? ??? （ 318） ))(*())((*)(*)(22222)2()2( tfdtdjtdtdjftftfW jjff ??? ??? （ 319） 由上面兩個(gè)式子可以看出，小波變換 )()1( tfWj 、 )()2( tfWj 分 別是信號 )(tf 在尺度 j 下由平滑函數(shù) )(t? 平滑后，再取一階或者二階導(dǎo)數(shù)。顯然 )()1( tfWj 的局部極值點(diǎn)表征了平滑信號的拐點(diǎn)，也就是原信號的突變點(diǎn) 。 設(shè)小波變換 )()1( tfWj 在 0t 某一鄰域 ? 中，對所有的 t 均有： )()( 0)1()1( tfWtfW ff ? （ 320） 則稱 0t 為小波變換模極大值點(diǎn)， )()1( tfWj 為小波變換模極大值。顯然在這里小波變換模極大值對應(yīng)于信號 f(t)在時(shí)域上的最大變化率，也就對應(yīng)于信號的突變點(diǎn)。理論上，尺度 j 越小， )(tj? 的平滑區(qū)域小，小波變換模極大值點(diǎn)與信號突變點(diǎn)的位置越準(zhǔn)確。 李氏指數(shù)表明了突變點(diǎn)奇異性的大小，而小波變換模極大值刻畫了突變點(diǎn)的