【導(dǎo)讀】AnalyticalGraphics,Inc.,220ValleyCreekBlvd,Exton,PA19341,USA. deviationlines.

　　

【正文】 內(nèi)，此時(shí)狀態(tài)估值和協(xié)方差被新的觀測信息修正。 GPS時(shí)鐘偏差值的序列估算需要線性的 TU和非線性的 MU的發(fā)展。非線性的 MU必須能被局部地線性化以能夠應(yīng)用線性的卡爾曼 MU?？柭?MU來源于謝 爾曼定理，謝爾曼定理源于安德森定理，安德森定理源于布隆 閔可夫斯基 不等式定理。 初始條件 初始值 t0的連續(xù)估計(jì)要求使用一個(gè)初始狀態(tài)估計(jì)列矩陣 0|0?? 和一個(gè)初始狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣 0|0P 。 卡爾曼濾波器：線性函數(shù) TU和非線性函數(shù) MU 隨著時(shí)鐘狀態(tài)估計(jì)子集的線性函數(shù) TU和非線性 MU的發(fā)展，可以對 GPS時(shí)鐘相位和頻率偏差參數(shù)的同步連續(xù)估計(jì)值進(jìn)行研究。這有利于學(xué)習(xí)時(shí)鐘參數(shù)估計(jì)，將在第六節(jié)進(jìn)行驗(yàn)證。 用 ij|?? 表示一個(gè) n1列矩陣。左邊的下標(biāo) j表示時(shí)間點(diǎn) tj，右邊的下標(biāo) i表示時(shí)間點(diǎn) ti，其中i， j∈ {0, 1, 2, ...}。用 ijP| 表示相關(guān)的 nn相關(guān)均勻得到狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差方陣（正特征值） . 線性函數(shù) TU 當(dāng) k∈ {0, 1, 2, 3,..., M }，未知的 n 1 矩陣增值 KX 被賦值為 KKKKKK JXX ,1,11 ??? ?? ? （ 1） 其中 KKJ ,1? 為過程噪聲矩陣。已知的 n 1 矩陣狀態(tài)估計(jì) 增值 KKX|? 被賦值為 KKKKKK XX |,1|1 ??? ? ? （ 2） 因?yàn)?KKJ ,1? 的條件平均值為 0。已知的 nn 矩陣狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差 矩陣 KKP| 被賦值為 KKT KKKKKKKK QPP ,1,1|,1|1 ???? ?? ?? （ 3） 其中 nn 矩陣 KKQ ,1? 為過程噪聲協(xié)方差矩陣。 . 非線性函數(shù) MU 計(jì)算 n 1 矩陣濾波器增益 1?KK ： 111|111|11 ][ ???????? ?? KTKKKKTKKKK RHPHHPK （ 4） 濾波器測量更新 n1 狀態(tài)估計(jì)矩陣 1|1 ??? KKX ，觀測 yK+1 得 )]([ |111|11|1 KKKKKKKK XyyKXX ????????? ??? （ 5） 5. 難以觀察的 GPS時(shí)鐘系統(tǒng) GPS時(shí)間是由作戰(zhàn)空軍（ USAF）卡爾曼濾波器處理 GPS偽距測量產(chǎn)生的。 GPS時(shí)間是多個(gè) GPS時(shí)鐘的平均相位，可是，通過 GPS偽距測量，每個(gè)運(yùn)行的 GPS時(shí)鐘的時(shí)鐘相位是難以觀察的，演示如下。 GPS導(dǎo)航星的軌道參數(shù)是從 GPS偽距觀測可觀察到的。從 GPS偽距測量可以得到 USAF（美國空軍）卡爾曼濾波器估計(jì)軌道參數(shù)和時(shí)鐘同步參數(shù)，因此以這種方式將狀態(tài)估計(jì)值分為隱式的時(shí)鐘參數(shù)子集和 顯式的軌道參數(shù)子集。通過應(yīng)用謝爾曼有關(guān) MU函數(shù)的定理，演示了這種分區(qū)方式。 . KF1的分區(qū)估計(jì)誤差 從模擬 (真正的 )時(shí)鐘偏差減去估計(jì)時(shí)鐘偏差，從而確定和量化卡爾曼濾波器 (KF1)估計(jì)誤差。采用布朗的附加的分區(qū)法，將 KF1的估計(jì)誤差分成兩個(gè)部分。第一部分是每個(gè)時(shí)鐘共有的隱式誤差（ UECC），而第二部分是每個(gè)時(shí)鐘獨(dú)立的顯式誤差（ UEIC）。（在這里，只有處理了模擬的 GPS偽距數(shù)據(jù)才有意義。）通過 KF1處理 GPS偽距測量值會(huì)使誤差值迅速降低。但隨著持續(xù)的測量值處理 UECC的誤差無限制地增加， OEIC的 誤差會(huì)無限接近 0。 為模擬 GPS偽距數(shù)據(jù)，通過應(yīng)用第二個(gè)卡爾曼濾波器來，我創(chuàng)建了一個(gè)最優(yōu)序列估計(jì) UECC的最優(yōu)序列估計(jì)來確定 KF1估計(jì)誤差的相位。由于在 UECC中沒有物理過程噪聲， UECC的一個(gè)估計(jì)值也可以通過在 KF1估計(jì)誤差的相位中使用一個(gè)批處理最小二乘估計(jì)算法獲得 —格林曾經(jīng)證明【 7】。（我應(yīng)用足夠的過程噪聲協(xié)方差為 KF2掩蓋計(jì)算機(jī)字雙精度截?cái)嗟挠绊憽Ｒ蝗唬?KF2會(huì)偏離。） . 時(shí)鐘共有的隱式誤差 當(dāng)模擬 GPS偽距數(shù)據(jù)時(shí)，至少有四個(gè)技術(shù)來估計(jì) UECC。第一種是能把 KF1的估計(jì)誤差的樣本值通過時(shí) 鐘系綜每個(gè)時(shí)間點(diǎn)并形成一個(gè)樣本方差均值；這將產(chǎn)生一個(gè)順序抽樣程序，但每個(gè)均值和方差都是順序無關(guān)的。第二種可以引用肯布朗的隱式總平均值 (IEM)和協(xié)方差；在第二個(gè)改進(jìn)的協(xié)方差逆矩陣求逆后，這個(gè)批處理程序需要一個(gè)倒置的 KF1協(xié)方差矩陣；這不是一個(gè)連續(xù)過程。第三種可以采用格林的新步驟 [7]，其中 KF1相位估計(jì)錯(cuò)誤被視為偽距測量值 ,通過批處理最小二乘估計(jì)量來獲得 UECC的最優(yōu)批量估計(jì)和協(xié)方差矩陣。第四種可以把KF1相位估計(jì)誤差作為偽測量，調(diào)用第二個(gè)卡爾曼濾波器 (KF2)處理這些相位偽度量以獲得UECC的最優(yōu)序列估計(jì) 和方差。我已經(jīng)成功的用這種方法。圖 3顯示了一個(gè) ―現(xiàn)實(shí)的 ‖KF1相位估計(jì)誤差整體，覆蓋在 UECC―現(xiàn)實(shí)的 ‖KF2相位順序估計(jì)值下。（ ―現(xiàn)實(shí)的 ‖指現(xiàn)實(shí)的時(shí)鐘擴(kuò)散系數(shù)值。） . 時(shí)鐘獨(dú)立的顯性誤差 對于每一個(gè)特定的 GPS時(shí)鐘，在每個(gè)適用的時(shí)間從 KF1相位偏差估計(jì)值減去 UECC估計(jì)值，去估計(jì)其 OEIC的相位。在測量加工， OEIC包含在幾部分納秒內(nèi) (見圖 4)。圖 4展示了的兩種情況下地面工作站時(shí)鐘 S1的 OEIC。在藍(lán)線的可見區(qū)間和 KF1測距處理顯然有別于沒有測量的傳播間隔。在測量處理期間， KF1估計(jì)誤差的觀察 目標(biāo)部分包含在幾部分納秒內(nèi)。OEIC的協(xié)方差順序計(jì)算需要每個(gè)時(shí)間點(diǎn)的 KF1相位偏差估計(jì)誤差和 UECC估計(jì)誤差的互協(xié) 方差矩陣值。我尚未能計(jì)算這種互協(xié)方差。 6. 卡爾曼濾波器 KF1和 KF2 我模擬了兩個(gè) GPS地面工作站時(shí)鐘 S1和 S2和兩個(gè) GPS導(dǎo)航星時(shí)鐘 N1和 N2的 GPS偽距測量。在這里我將模擬測量時(shí)間粒度設(shè)為 30秒，即一組可見的關(guān)系間隔。在圖 4中藍(lán)線的可見和不可見的間隔非常顯著。我把對于測量模擬和卡爾曼濾波器 KF1的標(biāo)量根方差設(shè)為 R =1厘米。通常 GPS偽距為 R ～1 m，但當(dāng)載波相位測量與偽距測量同時(shí)處理時(shí)，根方差要降低兩個(gè)數(shù)量級。所以使用 R =1cm，使我能夠去量化低性能界限來同時(shí)處理兩種測量類型。 . 創(chuàng)建 GPS時(shí)鐘系統(tǒng) 通常，利用一個(gè)卡爾曼濾波的過程測量獲得一個(gè)多維可觀察到的狀態(tài)的順序估計(jì)。相反，這里我使用 KF1模仿 GPS操作程序和模擬的 GPS偽距測量創(chuàng)建一系列難以察覺的多維時(shí)鐘狀態(tài)估計(jì)。從 GPS偽距測量時(shí)鐘狀態(tài)組件是難以察覺的。參見圖 2為由 KF1構(gòu)成的一組不可見的時(shí)鐘相位偏差狀態(tài)組件。 . 謝爾曼定理 GPS時(shí)間，不可見的 GPS時(shí)鐘系綜平均相位 ,是利用謝爾曼定理 [11,18]，在 USAF（美國空軍）卡爾曼濾波器中在 GPS測量范圍內(nèi)測量更新算法中產(chǎn)生的。理想的謝爾曼定理保證了每個(gè)可觀察到的狀態(tài)估計(jì)成分的均方誤差對狀態(tài)估計(jì)誤差最小化。但均方誤差對每個(gè)不可見的狀態(tài)估計(jì)成分的狀態(tài)估計(jì)誤差沒有減少。因此，不可見的時(shí)鐘相位偏差狀態(tài)估計(jì)成分是GPS時(shí)鐘共有的，在應(yīng)用了謝爾曼的定理后，每一個(gè) GPS時(shí)鐘都被分成孤立的部分。因此由謝爾曼的定理得到一組不可見的狀態(tài)估計(jì)成分 —見圖 3為例。 . 初始條件誤差 由于卡爾曼濾波器 (KF1)相位和頻率的初始條件誤差的建模，獲得了顯著的效果。初始估計(jì)時(shí)鐘相位偏差被 KF1相位初始條件誤差明顯的取代了。當(dāng)引用真正的 (模擬 )相位偏差，由于濾波器的頻率初始條件誤差，隨著時(shí)間的發(fā)展，估計(jì)時(shí)鐘相位偏差量不斷增加。圖 2所示。 7. 識(shí)別非時(shí)鐘建模誤差 我熱衷于導(dǎo)航星 (SV)定軌問題，結(jié)合其時(shí)鐘參數(shù)估計(jì)問題，使得該識(shí)別成為一個(gè)有用的診斷工具：根據(jù)實(shí)際的每個(gè)真正的 GPS時(shí)鐘的擴(kuò)散系數(shù)值，然后在 OEIC數(shù)量級上計(jì)算其定量上限。這些計(jì)算需要使用一種嚴(yán)格的模擬器。 GPS時(shí)鐘的相位誤差和其他非時(shí)鐘 GPS估計(jì)建模誤差之間存在顯著的關(guān)聯(lián)性，這使得在 KF1處理實(shí)際數(shù)據(jù)時(shí)，有明顯的量化噪聲混入到GPS時(shí)鐘的相位估計(jì)中。但考慮到嚴(yán)格的 OEIC數(shù)量級的量化上限，那么當(dāng)處理真正的 GPS 偽距和載波相位數(shù)據(jù)時(shí)，根據(jù) GPS估計(jì)模型，明顯的越界將確定非時(shí)鐘模型誤差。在這里，建模誤差包括導(dǎo)航星軌道引力建模誤差、地面天線建模誤差 (多路 )和對流層建模誤差。導(dǎo)航星軌道引力建模誤差包括太陽能光子壓力、反照率、 熱轉(zhuǎn)儲(chǔ)和推進(jìn)劑脫氣。該診斷工具的準(zhǔn)確性取決于現(xiàn)實(shí)的時(shí)鐘擴(kuò)散系數(shù)值和一個(gè)嚴(yán)格的時(shí)鐘模型仿真能力。 8. 可以觀察的時(shí)鐘 在論文的早期版本中，我報(bào)道了 KF1的驗(yàn)證結(jié)果，其中時(shí)鐘 S1是指 TAI/UTC時(shí)鐘，此外S N1和 N2為 GPS時(shí)鐘系統(tǒng)。這使得 S N1和 N2能從 GPS偽距測量中觀察到（見 6節(jié)），將時(shí)鐘 S N1和 N2直接與 TAI/UTC時(shí)間量程相比，能清楚地驗(yàn)證我的濾波器。也有人提出一個(gè)問題：為什么不同樣在真正的 GPS時(shí)鐘系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn) ? 在與 Ed Powers (USNO)和比爾 菲斯（航空公司）的交 流中顯示，由于上行硬件故障難以恢復(fù)，這種方法被嘗試和廢棄，這歸咎于 TAI/UTC主時(shí)鐘的使用。在引入肯尼斯布朗引入的隱式總平均值后，這個(gè)問題已經(jīng)得到解決。在可預(yù)見的未來，對 USAF（美國空軍）卡爾曼濾波器的 GPS偽距測量， GPS時(shí)鐘系統(tǒng)的平均相位（ GPS時(shí)間）仍對其保持不可見性 。 參考文獻(xiàn) [1] T. W. Anderson， ―對稱凸集的對稱單峰函數(shù)和一些概率不等式的積分 ‖ ，美國數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)學(xué)報(bào)， 6 期， 2 章， 170176 頁， 1995 年。 [2] K. R. Brown， ―GPS綜合時(shí)鐘理論 ‖， 《第四屆衛(wèi)星導(dǎo)航學(xué)會(huì)研究所國際技術(shù)會(huì)議》（ 91 年國際導(dǎo)航大會(huì)）會(huì)議記錄， 223241 頁，美國新墨西哥州阿爾伯克基， 1991 年 9 月。 [3] R. S. Bucy and P. D. Joseph，隨機(jī)過程濾波的應(yīng)用與指導(dǎo)，美國紐約， 1968 年。 [4] W. Feess， ―航空公司 ‖ ，私人通信， 2021 年。 [5] R. J. Gardner， ―布隆閔可夫斯基不等式 ‖ ，美國數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)公告， 39 期， 3 章， 355–405 頁，2021 年。 [6] C. A. Greenhall，私人通信， 2021 年到 2021 年。 [7] C. A. Greenhall， ―能容許測量噪聲的卡爾曼濾波器算法 ‖，計(jì)量學(xué)， 43期， 4 章， S311–S321頁， 2021 年。 [8] S. T. Hutsell， ―把阿達(dá)瑪方差和 MCS 卡爾曼濾波器時(shí)鐘估計(jì)聯(lián)系起來 ‖，美國第 27 屆精確時(shí)間和間隔時(shí)間 (PT TI)應(yīng)用和規(guī)劃會(huì)議記錄， 293 頁，美國加利福尼亞圣地亞哥， 1995年 12 月。 [9] R. E. Kalman, ―維納濾波理論新算法 ‖ 美國第一屆工程應(yīng)用研討會(huì)有關(guān)隨機(jī)函數(shù)理論和概率的會(huì)議記錄， . Bogdanoff and ,Eds.,John Wileyamp。Sons，美國紐約， 1963 年。 [10] D. Matsakis，私人通信， 2021 年 11 月。 [11] J. S. Meditch，隨機(jī)最優(yōu)線性估計(jì)和控制，美國紐約 麥格勞希爾集團(tuán) ， 1969 年。 [12] O. J. Oaks, T. B. McCaskill, . Largay, W. G. Reid, and J. ,， ―GPS在軌導(dǎo)航衛(wèi)星的頻率標(biāo)準(zhǔn)和監(jiān)控站時(shí)間參考 ‖ ，美國第 30 屆精確時(shí)間和間隔時(shí)間 (PT TI)會(huì)議， 135–143頁 ，美國弗吉尼亞州雷斯頓， 1998 年 12 月。 [13] E. Powers，私人通信， 2021 年。 [14] W. Riley，私人通信， PTTI 會(huì)議， 2021 年 12 月。 [15] S. Sherman， ―凸集定理及其應(yīng)用 ‖， 數(shù)理統(tǒng)計(jì)年報(bào)， 26 期， 4章， 763–767頁， 1955 年。 [16] S. Sherman， ―非均方誤差準(zhǔn)則 ‖，電氣與電子工程師協(xié)會(huì)信息理論匯報(bào)， 4 期 , 3 章，125–126 頁， 1958 年。 [17] . Stein and ， 實(shí)分析 ， 普林斯頓大學(xué)出版社 ，美 國新澤西普林斯頓， 2021年。 [18] J. R. Wright， ―謝爾曼的定理 ‖， Malcolm 航空研討會(huì) (AAS 5 期 )，美國紐約格蘭德島， 2021 年 6 月。 [19] C. Zucca and P. Tavella, ―時(shí)鐘模型與艾倫和相關(guān)方差的關(guān)系 ‖，電氣與電子工程師協(xié)會(huì)超聲波匯報(bào)， 鐵電體和頻率控制 ， 52 期， 2 章， 289–295 頁， 2021 年。 [20] J. R. Wright, ―GPS 復(fù)合時(shí)鐘分析 ‖，電氣與電子工程師協(xié)會(huì) 國際頻率控制研討會(huì) ， 歐洲頻率和時(shí)間論壇 ， 523–528 頁，瑞士日內(nèi)瓦， 2021 年 6 月。