【導讀】AnalyticalGraphics,Inc.,220ValleyCreekBlvd,Exton,PA19341,USA. deviationlines.

　　

【正文】 內(nèi)，此時狀態(tài)估值和協(xié)方差被新的觀測信息修正。 GPS時鐘偏差值的序列估算需要線性的 TU和非線性的 MU的發(fā)展。非線性的 MU必須能被局部地線性化以能夠應(yīng)用線性的卡爾曼 MU?？柭?MU來源于謝 爾曼定理，謝爾曼定理源于安德森定理，安德森定理源于布隆 閔可夫斯基 不等式定理。 初始條件 初始值 t0的連續(xù)估計要求使用一個初始狀態(tài)估計列矩陣 0|0?? 和一個初始狀態(tài)估計誤差協(xié)方差矩陣 0|0P 。 卡爾曼濾波器：線性函數(shù) TU和非線性函數(shù) MU 隨著時鐘狀態(tài)估計子集的線性函數(shù) TU和非線性 MU的發(fā)展，可以對 GPS時鐘相位和頻率偏差參數(shù)的同步連續(xù)估計值進行研究。這有利于學習時鐘參數(shù)估計，將在第六節(jié)進行驗證。 用 ij|?? 表示一個 n1列矩陣。左邊的下標 j表示時間點 tj，右邊的下標 i表示時間點 ti，其中i， j∈ {0, 1, 2, ...}。用 ijP| 表示相關(guān)的 nn相關(guān)均勻得到狀態(tài)估計誤差協(xié)方差方陣（正特征值） . 線性函數(shù) TU 當 k∈ {0, 1, 2, 3,..., M }，未知的 n 1 矩陣增值 KX 被賦值為 KKKKKK JXX ,1,11 ??? ?? ? （ 1） 其中 KKJ ,1? 為過程噪聲矩陣。已知的 n 1 矩陣狀態(tài)估計 增值 KKX|? 被賦值為 KKKKKK XX |,1|1 ??? ? ? （ 2） 因為 KKJ ,1? 的條件平均值為 0。已知的 nn 矩陣狀態(tài)估計誤差協(xié)方差 矩陣 KKP| 被賦值為 KKT KKKKKKKK QPP ,1,1|,1|1 ???? ?? ?? （ 3） 其中 nn 矩陣 KKQ ,1? 為過程噪聲協(xié)方差矩陣。 . 非線性函數(shù) MU 計算 n 1 矩陣濾波器增益 1?KK ： 111|111|11 ][ ???????? ?? KTKKKKTKKKK RHPHHPK （ 4） 濾波器測量更新 n1 狀態(tài)估計矩陣 1|1 ??? KKX ，觀測 yK+1 得 )]([ |111|11|1 KKKKKKKK XyyKXX ????????? ??? （ 5） 5. 難以觀察的 GPS時鐘系統(tǒng) GPS時間是由作戰(zhàn)空軍（ USAF）卡爾曼濾波器處理 GPS偽距測量產(chǎn)生的。 GPS時間是多個 GPS時鐘的平均相位，可是，通過 GPS偽距測量，每個運行的 GPS時鐘的時鐘相位是難以觀察的，演示如下。 GPS導航星的軌道參數(shù)是從 GPS偽距觀測可觀察到的。從 GPS偽距測量可以得到 USAF（美國空軍）卡爾曼濾波器估計軌道參數(shù)和時鐘同步參數(shù)，因此以這種方式將狀態(tài)估計值分為隱式的時鐘參數(shù)子集和 顯式的軌道參數(shù)子集。通過應(yīng)用謝爾曼有關(guān) MU函數(shù)的定理，演示了這種分區(qū)方式。 . KF1的分區(qū)估計誤差 從模擬 (真正的 )時鐘偏差減去估計時鐘偏差，從而確定和量化卡爾曼濾波器 (KF1)估計誤差。采用布朗的附加的分區(qū)法，將 KF1的估計誤差分成兩個部分。第一部分是每個時鐘共有的隱式誤差（ UECC），而第二部分是每個時鐘獨立的顯式誤差（ UEIC）。（在這里，只有處理了模擬的 GPS偽距數(shù)據(jù)才有意義。）通過 KF1處理 GPS偽距測量值會使誤差值迅速降低。但隨著持續(xù)的測量值處理 UECC的誤差無限制地增加， OEIC的 誤差會無限接近 0。 為模擬 GPS偽距數(shù)據(jù)，通過應(yīng)用第二個卡爾曼濾波器來，我創(chuàng)建了一個最優(yōu)序列估計 UECC的最優(yōu)序列估計來確定 KF1估計誤差的相位。由于在 UECC中沒有物理過程噪聲， UECC的一個估計值也可以通過在 KF1估計誤差的相位中使用一個批處理最小二乘估計算法獲得 —格林曾經(jīng)證明【 7】。（我應(yīng)用足夠的過程噪聲協(xié)方差為 KF2掩蓋計算機字雙精度截斷的影響。要不然， KF2會偏離。） . 時鐘共有的隱式誤差 當模擬 GPS偽距數(shù)據(jù)時，至少有四個技術(shù)來估計 UECC。第一種是能把 KF1的估計誤差的樣本值通過時 鐘系綜每個時間點并形成一個樣本方差均值；這將產(chǎn)生一個順序抽樣程序，但每個均值和方差都是順序無關(guān)的。第二種可以引用肯布朗的隱式總平均值 (IEM)和協(xié)方差；在第二個改進的協(xié)方差逆矩陣求逆后，這個批處理程序需要一個倒置的 KF1協(xié)方差矩陣；這不是一個連續(xù)過程。第三種可以采用格林的新步驟 [7]，其中 KF1相位估計錯誤被視為偽距測量值 ,通過批處理最小二乘估計量來獲得 UECC的最優(yōu)批量估計和協(xié)方差矩陣。第四種可以把KF1相位估計誤差作為偽測量，調(diào)用第二個卡爾曼濾波器 (KF2)處理這些相位偽度量以獲得UECC的最優(yōu)序列估計 和方差。我已經(jīng)成功的用這種方法。圖 3顯示了一個 ―現(xiàn)實的 ‖KF1相位估計誤差整體，覆蓋在 UECC―現(xiàn)實的 ‖KF2相位順序估計值下。（ ―現(xiàn)實的 ‖指現(xiàn)實的時鐘擴散系數(shù)值。） . 時鐘獨立的顯性誤差 對于每一個特定的 GPS時鐘，在每個適用的時間從 KF1相位偏差估計值減去 UECC估計值，去估計其 OEIC的相位。在測量加工， OEIC包含在幾部分納秒內(nèi) (見圖 4)。圖 4展示了的兩種情況下地面工作站時鐘 S1的 OEIC。在藍線的可見區(qū)間和 KF1測距處理顯然有別于沒有測量的傳播間隔。在測量處理期間， KF1估計誤差的觀察 目標部分包含在幾部分納秒內(nèi)。OEIC的協(xié)方差順序計算需要每個時間點的 KF1相位偏差估計誤差和 UECC估計誤差的互協(xié) 方差矩陣值。我尚未能計算這種互協(xié)方差。 6. 卡爾曼濾波器 KF1和 KF2 我模擬了兩個 GPS地面工作站時鐘 S1和 S2和兩個 GPS導航星時鐘 N1和 N2的 GPS偽距測量。在這里我將模擬測量時間粒度設(shè)為 30秒，即一組可見的關(guān)系間隔。在圖 4中藍線的可見和不可見的間隔非常顯著。我把對于測量模擬和卡爾曼濾波器 KF1的標量根方差設(shè)為 R =1厘米。通常 GPS偽距為 R ～1 m，但當載波相位測量與偽距測量同時處理時，根方差要降低兩個數(shù)量級。所以使用 R =1cm，使我能夠去量化低性能界限來同時處理兩種測量類型。 . 創(chuàng)建 GPS時鐘系統(tǒng) 通常，利用一個卡爾曼濾波的過程測量獲得一個多維可觀察到的狀態(tài)的順序估計。相反，這里我使用 KF1模仿 GPS操作程序和模擬的 GPS偽距測量創(chuàng)建一系列難以察覺的多維時鐘狀態(tài)估計。從 GPS偽距測量時鐘狀態(tài)組件是難以察覺的。參見圖 2為由 KF1構(gòu)成的一組不可見的時鐘相位偏差狀態(tài)組件。 . 謝爾曼定理 GPS時間，不可見的 GPS時鐘系綜平均相位 ,是利用謝爾曼定理 [11,18]，在 USAF（美國空軍）卡爾曼濾波器中在 GPS測量范圍內(nèi)測量更新算法中產(chǎn)生的。理想的謝爾曼定理保證了每個可觀察到的狀態(tài)估計成分的均方誤差對狀態(tài)估計誤差最小化。但均方誤差對每個不可見的狀態(tài)估計成分的狀態(tài)估計誤差沒有減少。因此，不可見的時鐘相位偏差狀態(tài)估計成分是GPS時鐘共有的，在應(yīng)用了謝爾曼的定理后，每一個 GPS時鐘都被分成孤立的部分。因此由謝爾曼的定理得到一組不可見的狀態(tài)估計成分 —見圖 3為例。 . 初始條件誤差 由于卡爾曼濾波器 (KF1)相位和頻率的初始條件誤差的建模，獲得了顯著的效果。初始估計時鐘相位偏差被 KF1相位初始條件誤差明顯的取代了。當引用真正的 (模擬 )相位偏差，由于濾波器的頻率初始條件誤差，隨著時間的發(fā)展，估計時鐘相位偏差量不斷增加。圖 2所示。 7. 識別非時鐘建模誤差 我熱衷于導航星 (SV)定軌問題，結(jié)合其時鐘參數(shù)估計問題，使得該識別成為一個有用的診斷工具：根據(jù)實際的每個真正的 GPS時鐘的擴散系數(shù)值，然后在 OEIC數(shù)量級上計算其定量上限。這些計算需要使用一種嚴格的模擬器。 GPS時鐘的相位誤差和其他非時鐘 GPS估計建模誤差之間存在顯著的關(guān)聯(lián)性，這使得在 KF1處理實際數(shù)據(jù)時，有明顯的量化噪聲混入到GPS時鐘的相位估計中。但考慮到嚴格的 OEIC數(shù)量級的量化上限，那么當處理真正的 GPS 偽距和載波相位數(shù)據(jù)時，根據(jù) GPS估計模型，明顯的越界將確定非時鐘模型誤差。在這里，建模誤差包括導航星軌道引力建模誤差、地面天線建模誤差 (多路 )和對流層建模誤差。導航星軌道引力建模誤差包括太陽能光子壓力、反照率、 熱轉(zhuǎn)儲和推進劑脫氣。該診斷工具的準確性取決于現(xiàn)實的時鐘擴散系數(shù)值和一個嚴格的時鐘模型仿真能力。 8. 可以觀察的時鐘 在論文的早期版本中，我報道了 KF1的驗證結(jié)果，其中時鐘 S1是指 TAI/UTC時鐘，此外S N1和 N2為 GPS時鐘系統(tǒng)。這使得 S N1和 N2能從 GPS偽距測量中觀察到（見 6節(jié)），將時鐘 S N1和 N2直接與 TAI/UTC時間量程相比，能清楚地驗證我的濾波器。也有人提出一個問題：為什么不同樣在真正的 GPS時鐘系統(tǒng)中實現(xiàn) ? 在與 Ed Powers (USNO)和比爾 菲斯（航空公司）的交 流中顯示，由于上行硬件故障難以恢復，這種方法被嘗試和廢棄，這歸咎于 TAI/UTC主時鐘的使用。在引入肯尼斯布朗引入的隱式總平均值后，這個問題已經(jīng)得到解決。在可預(yù)見的未來，對 USAF（美國空軍）卡爾曼濾波器的 GPS偽距測量， GPS時鐘系統(tǒng)的平均相位（ GPS時間）仍對其保持不可見性 。 參考文獻 [1] T. 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