【正文】 如圖，已知,射線分別和直線交于點(diǎn)，射線分別和直線交于點(diǎn)，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)與三點(diǎn)不重合），設(shè),．（1）如果點(diǎn)在兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；（2）如果點(diǎn)在兩點(diǎn)之外運(yùn)動(dòng)時(shí)，之間有何數(shù)量關(guān)系？（只需寫出結(jié)論，不必說明理由）【答案】（1）γ=α+β（2）詳見解析【解析】分析:(1)過點(diǎn)P作P作PF∥l1因?yàn)閘1//l2則l2//PF,根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等即可證明γ=α+β,(2) 過點(diǎn)P作P作PF∥l1因?yàn)閘1//l2則l2//PF,根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等進(jìn)行角度轉(zhuǎn)化再根據(jù)三角形外角性質(zhì)可證明∠β=∠γ+∠α,同理可得,當(dāng)點(diǎn)P在AN上運(yùn)動(dòng)時(shí),∠α=∠γ+∠β.（1）證明:過點(diǎn)P作l3//l1,∵l1//l2,∴l(xiāng)2//l3,∴γ=α+β.（2）點(diǎn)P在射線AN上時(shí):γ=αβ,點(diǎn)P在射線BM上時(shí):γ=βα.證明:過點(diǎn)P作l3//l1,∵l1//l2,∴l(xiāng)2//l3,∴γ=α+β.詳解:（1）∠γ=α+∠β,理由:過點(diǎn)P作PF∥l1（如圖1）,∵l1∥l2,∴PF∥l2,∴∠α=∠DPF,∠β=∠CPF,∴∠γ=∠DPF+∠CPF=α+∠β,（2）當(dāng)點(diǎn)P在MB上運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖2）,∵l1∥l2,∴∠β=∠CFD,∵∠CFD是△DFP的外角,∴∠CFD=∠α+∠γ,∴∠β=∠γ+∠α,同理可得,當(dāng)點(diǎn)P在AN上運(yùn)動(dòng)時(shí),∠α=∠γ+∠β.點(diǎn)睛:本題主要考查平行線的性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是要巧妙添加輔助線,利用兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等的性質(zhì)進(jìn)行證明.（提出問題）（1）如圖1，已知AB∥CD，證明：∠1+∠EPF+∠2＝360176。；（類比探究）（2）如圖2，已知AB∥CD，設(shè)從E點(diǎn)出發(fā)的（n﹣1）條折線形成的n個(gè)角分別為∠1，∠2……∠n，探索∠1+∠2+∠3+……+∠n的度數(shù)可能在1700176。至2000176。之間嗎？若有可能請(qǐng)求出n的值，若不可能請(qǐng)說明理由．（拓展延伸）（3）如圖3，已知AB∥CD，∠AE1E2的角平分線E1O與∠CEnEn﹣1的角平分線EnO交于點(diǎn)O，若∠E1OEn＝m176。．求∠2+∠3+∠4+…+∠（n﹣1）的度數(shù)．（用含m、n的代數(shù)式表示）【答案】（1）見解析；（2）可能在1700176。至2000176。之間，n的值為11或12；（3）∠2+∠3+∠4+…+∠（n﹣1）＝180176。（n﹣1）﹣2m176。．【解析】【分析】(1)過點(diǎn)P做PG∥AB，根據(jù)平行線的判定得出PG∥CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出結(jié)論即可；（2）過折點(diǎn)作AB的平行線，根據(jù)平行線的判定得出AB∥GH∥…∥PQ∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可；（3）過點(diǎn)O作OP∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及（2）中的結(jié)論，即可得出∠2+∠3+∠4+…∠（n1）的度數(shù).【詳解】（1）如圖所示，過P作PG∥AB，則∠1+∠GPE＝180176。，∵AB∥CD，∴PG∥CD，∴∠2+∠FPG＝180176。，∴∠1+∠GPE+∠GPF+∠2＝360176。，即∠1+∠EPF+∠2＝360176。；（2）可能在1700176。至2000176。之間．如圖過G作GH∥AB，…，過P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥GH∥…∥PQ∥CD，∴∠1+∠EGH＝180176。，…，∠QPF+∠n＝180176。，（有（n﹣1）對(duì)同旁內(nèi)角）∴∠1+∠2+…∠n﹣1+∠n＝180176。（n﹣1），當(dāng)1700176。＜180176。（n﹣1）＜2000176。時(shí)，n＝11，12，∴n的值為11或12；（3）如圖所示，過O作OP∥AB，∵AB∥CD，∴OP∥CD，∴∠AE1O＝∠POE1，∠CEnO＝∠POEn，∴∠AE1O+∠CEnO＝∠POE1+∠POEn＝∠E1OEn＝m176。，又∵∠AE1E2的角平分線E1O與∠CEnEn﹣1的角平分線EnO交于點(diǎn)O，∴∠AE1E2+∠CEnEn﹣1＝2（∠AE1O+∠CEnO）＝2m176。，由（2）可得，∠AE1E2+∠2+…+∠（n﹣1）+∠CEnEn﹣1＝180176。（n﹣1），∴∠2+∠3+∠4+…+∠（n﹣1）＝180176。（n﹣1）﹣2m176。．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，能作出輔助線，靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.某學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)論：已知直線a∥b，若直線c∥a，則c∥，請(qǐng)你利用這個(gè)結(jié)論解決以下問題：已知直線AB∥CD，點(diǎn)E在AB、CD之間，點(diǎn)P、Q分別在直線AB、CD上，連接PE、EQ.（1）如圖1，運(yùn)用上述結(jié)論，探究∠PEQ與∠APE＋∠CQE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，當(dāng)∠PEQ＝140176。時(shí)，求出∠PFQ的度數(shù)；（3）如圖3，若點(diǎn)E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，∠PEQ＝70176。時(shí)，請(qǐng)求出∠PFQ的度數(shù).【答案】(1)∠PEQ＝∠APE＋∠CQE，理由見解析；(2)∠PFQ＝110176。；(3)∠PFQ＝145176。.【解析】【分析】(1) 過E點(diǎn)作EH∥AB,再利用平行線性質(zhì)，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，可得到∠PEQ＝∠APE＋∠CQE.(2)過點(diǎn)E作EM∥AB，利用平行線性質(zhì)，角平分線定義可以得到角的關(guān)系，可得到∠PEQ＝∠APE＋∠CQE＝140176。，再作NF∥AB，利用平行線性質(zhì)，角平分線定義可以得到角的關(guān)系，得到，∠PFQ＝∠BPF＋∠DQF的度數(shù).(3)過點(diǎn)E作EM∥CD，如圖，設(shè)∠CQM＝α，∴∠DQE＝180176。－α，再利用角平分線性質(zhì)得到∠DQH＝90176。－α，∠FQD＝90176。＋α，再利用平行線性質(zhì)、角平分線定義∠BPF＝∠BPE＝55176。－α，作NF∥AB，∠PFQ＝∠BPF＋∠DQF即可求出答案.【詳解】(1) 過E點(diǎn)作EH∥AB,∠PEQ＝∠APE＋∠CQE，理由如下：過點(diǎn)E作EH∥AB ∴∠APE＝∠PEH ∵EH∥AB，AB∥CD ∴EH∥CD ∴∠CQE＝∠QEH，∵∠PEQ＝∠PEH＋∠QEH ∴∠PEQ＝∠APE＋∠CQE(2) 過點(diǎn)E作EM∥AB，如圖，同理可得，∠PEQ＝∠APE＋∠CQE＝140176?！摺螧PE＝180176。－∠APE，∠EQD＝180176。－∠CQE，∴∠BPE＋∠EQD＝360176。－(∠APE＋∠CQE)＝220176。，∵PF平分∠BPE，QF平分∠EQD ∴∠BPF＝∠BPE，∠DQF＝∠EQD∴∠BPF＋∠DQF＝(∠BPE＋∠EQD)＝110176。，作NF∥AB，同理可得，∠PFQ＝∠BPF＋∠DQF＝110176。(3) 過點(diǎn)E作EM∥CD，如圖，設(shè)∠CQM＝α，∴∠DQE＝180176。－α，∵QH平分∠DQE，∴∠DQH＝∠DQE＝90176。－α，∴∠FQD＝180176。－∠DQH＝90176。＋α，∵EM∥CD，AB∥CD ∴AB∥EM，∴∠BPE＝180176。－∠PEM＝180176。－(70176。＋α)＝110176。－α∵PF平分∠BPE ∴∠BPF＝∠BPE＝55176。－α，作NF∥AB，同理可得，∠PFQ＝∠BPF＋∠DQF＝145176?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)定理，根據(jù)性質(zhì)定理得到角的關(guān)系．如圖，直線AB和直線BC相交于點(diǎn)B，連接AC，點(diǎn)D、E、H分別在AB、AC、BC上，連接DE、DH，F(xiàn)是DH上一點(diǎn)，已知∠1+∠3＝180176。（1）求證：∠CEF＝∠EAD；（2）若DH平分∠BDE，∠2＝α，求∠3的度數(shù)．（用α表示）【答案】（1）證明見解析，（2）∠3=90176。+α.【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：（1）∵∠3+∠DFE=180176。，∠1+∠3=180176。∴∠DFE=∠1，∴AB∥EF，∴∠CEF=∠EAD；（2）∵AB∥EF，∴∠2+∠BDE=180176。又∵∠2=α∴∠BDE=180176。α又∵DH平 分∠BDE∴∠1=∠BDE=（180176。α）∴∠3=180176。（180176。α）=90176。+α【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線定義，平行線的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，注意：①同位角相等，兩直線平行，②兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．