【正文】 BAP=60176。，∠DCP=20176。時(shí)，求∠APC度數(shù)．（2）如圖2，點(diǎn)P在直線AB、CD之間，∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點(diǎn)K，寫出∠AKC與∠APC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）如圖3，點(diǎn)P落在CD外，∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點(diǎn)K，∠AKC與∠APC有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【答案】（1）80176。；（2）詳見解析；（3）詳見解析【解析】【分析】（1）過P作PE∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，再根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可；（2）過K作KE∥AB，根據(jù)KE∥AB∥CD，可得∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，得到∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，再根據(jù)角平分線的定義，得進(jìn)而得到（3）過K作KE∥AB，根據(jù)KE∥AB∥CD，可得∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，進(jìn)而得到∠AKC=∠AKE?∠CKE=∠BAK?∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP?∠DCP，再根據(jù)角平分線的定義，得出進(jìn)而得到【詳解】(1)如圖1,過P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，∴ (2) 理由：如圖2,過K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，過P作PF∥AB，同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，∵∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點(diǎn)K，∴ ∴ (3) 理由：如圖3,過K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，∴∠AKC=∠AKE?∠CKE=∠BAK?∠DCK，過P作PF∥AB，同理可得，∠APC=∠BAP?∠DCP，∵∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點(diǎn)K，∴ ∴【點(diǎn)睛】考核知識點(diǎn)：，靈活運(yùn)用平行線性質(zhì)是關(guān)鍵.問題情景：如圖1，AB∥CD，∠PAB=130176。，∠PCD=120176。，求∠APC的度數(shù)．（1）數(shù)學(xué)活動小組經(jīng)過討論形成下列推理，請你補(bǔ)全推理依據(jù)．如圖2，過點(diǎn)P作PE∥AB，∵PE∥AB(作圖知)又∵AB∥CD，∴PE∥CD．（ ）∴∠A+∠APE=180176。．∠C+∠CPE=180176。．（ ）∵∠PAB=130176。，∠PCD=120176。，∴∠APE=50176。，∠CPE=60176?！唷螦PC=∠APE+∠CPE=110176。．問題遷移：（2）如圖3，AD∥BC，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動時(shí)，∠ADP=α，∠BCP=β，求∠CPD與α、β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．問題解決：（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請你直接寫出∠CPD與α、β之間的數(shù)量關(guān)系 ．【答案】（1）平行于同一條直線的兩條直線平行 兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ) （2）∠CPD=∠α+∠β，理由見解析；（3）∠CPD=∠β∠α或∠CPD=∠α∠β.【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)填寫即可；（2）過P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（3）畫出圖形（分兩種情況①點(diǎn)P在BA的延長線上，②點(diǎn)P在AB的延長線上），根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．【詳解】解：（1）過點(diǎn)P作PE∥AB，∵PE∥AB(作圖知)又∵AB∥CD，∴PE∥CD．（平行于同一條直線的兩條直線平行）∴∠A+∠APE=180176。．∠C+∠CPE=180176。．（兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)）∵∠PAB=130176。，∠PCD=120176。，∴∠APE=50176。，∠CPE=60176。∴∠APC=∠APE+∠CPE=110176。．故答案為：平行于同一條直線的兩條直線平行 兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)（2）∠CPD=∠α+∠β，理由是：如圖3，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；（3）當(dāng)P在BA延長線時(shí)，過P作PE∥AD交直線CD于E，同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠β∠α；當(dāng)P在AB延長線時(shí)，同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠α∠β．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目是一道比較典型的題目，難度適中．已知，直線AB∥DC，點(diǎn)P為平面上一點(diǎn)，連接AP與CP．（1）如圖1，點(diǎn)P在直線AB、CD之間，當(dāng)∠BAP=60176。，∠DCP=20176。時(shí)，求∠APC度數(shù)．（2）如圖2，點(diǎn)P在直線AB、CD之間，∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點(diǎn)K，寫出∠AKC與∠APC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）如圖3，點(diǎn)P落在CD外，∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點(diǎn)K，∠AKC與∠APC有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【答案】（1）80176。；（2）詳見解析；（3）詳見解析【解析】【分析】（1）過P作PE∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，再根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可；（2）過K作KE∥AB，根據(jù)KE∥AB∥CD，可得∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，得到∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，再根據(jù)角平分線的定義，得進(jìn)而得到（3）過K作KE∥AB，根據(jù)KE∥AB∥CD，可得∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，進(jìn)而得到∠AKC=∠AKE?∠CKE=∠BAK?∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP?∠DCP，再根據(jù)角平分線的定義，得出進(jìn)而得到【詳解】(1)如圖1,過P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，∴ (2) 理由：如圖2,過K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，過P作PF∥AB，同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，∵∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點(diǎn)K，∴ ∴ (3) 理由：如圖3,過K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，∴∠AKC=∠AKE?∠CKE=∠BAK?∠DCK，過P作PF∥AB，同理可得，∠APC=∠BAP?∠DCP，∵∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點(diǎn)K，∴ ∴【點(diǎn)睛】考核知識點(diǎn)：，靈活運(yùn)用平行線性質(zhì)是關(guān)鍵.學(xué)著說點(diǎn)理：補(bǔ)全證明過程：如圖，AB∥EF，CD⊥EF于點(diǎn)D，若∠B=40176。，求∠BCD的度數(shù)．解：過點(diǎn)C作CG∥AB．∵AB∥EF，∴CG∥EF．（ ）∴∠GCD=∠ ．（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵CD⊥EF，∴∠CDE=90176。．（ ）∴∠GCD= ．（等量代換）∵CG∥AB，∴∠B=∠BCG．（ ）∵∠B=40176。，∴∠BCG=40176。．則∠BCD=∠BCG+∠GCD= ．【答案】平行于同一條直線的兩條直線平行，EDC，垂直的定義，90176。，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，130176。.【解析】【分析】過點(diǎn)C作CG∥AB．依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠DCG=90176。，∠BCG=40176。，進(jìn)而得到∠BCD的度數(shù)．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CG∥AB．∵AB∥EF， ∴CG∥EF．（平行于同一條直線的兩條直線平行）∴∠GCD=∠EDC．（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵CD⊥FF，∴∠CDE=90176。．（垂直的定義）∴∠GCD=90176。．（等量代換）∵CG∥AB，∴∠B=∠BCG．（兩直線平行．內(nèi)錯(cuò)角相等）∵∠B=40176。．∴∠BCG=40176。，則∠BCD=∠BCG+∠GCD=130176。．故答案為：平行于同一條直線的兩條直線平行，EDC，垂直的定義，90176。，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，130176。．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．將一副三角板中的兩個(gè)直角頂點(diǎn)疊放在一起（如圖①），其中，.（1）猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）若，求的度數(shù)；（3）若按住三角板不動，繞頂點(diǎn)轉(zhuǎn)動三角，試探究等于多少度時(shí)，并簡要說明理由. 【答案】（1），理由詳見解析；（2）135176。；（3）等于或時(shí)，.【解析】【分析】（1）依據(jù)∠BCD=∠ACB+∠ACD=90176。+∠ACD，即可得到∠BCD+∠ACE的度數(shù)；（2）設(shè)∠ACE=，則∠BCD=3，依據(jù)∠BCD+∠ACE=180176。，即可得到∠BCD的度數(shù)；（3）分兩種情況討論，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到當(dāng)∠BCD等于150176。或30176。時(shí)，CE//4B.【詳解】解：（1），理由如下：，；（2）如圖①，設(shè)，則，由（1）可得，，；（3）分兩種情況：①如圖1所示，當(dāng)時(shí)，又，；②如圖2所示，當(dāng)時(shí)，又，.綜上所述，等于或時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，.將一副三角板中的兩個(gè)直角頂點(diǎn)疊放在一起（如圖①），其中，.（1）若，求的度數(shù)；（2）試猜想與的數(shù)量關(guān)系，請說明理由；（3）若按住三角板不動，繞頂點(diǎn)轉(zhuǎn)動三角板，試探究等于多少度時(shí)，并簡要說明理由.【答案】（1）30176。； （2）答案見解析；（3）答案見解析.【解析】【分析】（1）由∠BCD＝150176。，∠ACB＝90176。，可得出∠DCA的度數(shù)，進(jìn)而得出∠ACE的度數(shù)；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論可提出猜想，再由∠BCD＝∠ACB＋∠ACD，∠ACE＝∠DCE?∠ACD可得出結(jié)論；（3）根據(jù)平行線的判定定理，畫出圖形即可求解．【詳解】解：（1）∵，∴，∴；（2），理由如下：∵，∴；（3）當(dāng)或時(shí)，．如圖②，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，當(dāng)時(shí)，此時(shí)；如圖③，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，當(dāng)時(shí)，． 【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．熟練掌握定理并且能夠準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．