【文章內(nèi)容簡介】 這只需先算出“100以內(nèi)的5的倍數(shù)或7的倍數(shù)的數(shù)的個數(shù)。”再從100中減去就行了。解：設(shè)A={100以內(nèi)的5的倍數(shù)} B={100以內(nèi)的7的倍數(shù)} A∩B={100以內(nèi)的35的倍數(shù)} A∪B={100以內(nèi)的5的倍數(shù)或7的倍數(shù)} 則有∣A∣=20，∣B∣=14，∣A∩B∣=2 由容斥原理一有：∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣∣A∩B∣=20+142=32因此，不是5的倍數(shù)，也不是7的倍數(shù)的數(shù)的個數(shù)是：10032=68(個)點評：從以上的解答可體會出一種重要的解題思想：有些問題表面上看好象很不一樣，但經(jīng)過細心的推敲就會發(fā)現(xiàn)它們之間有著緊密的聯(lián)系，應(yīng)當善于將一個問題轉(zhuǎn)化為另一個問題。例5 某年級的課外學科小組分為數(shù)學、語文、外語三個小組，參加數(shù)學小組的有23人，參加語文小組的有27人，參加外語小組的有18人。同時參加數(shù)學、語文兩個小組的有4人，同時參加數(shù)學、外語小組的有7人，同時參加語文、外語小組的有5人。三個小組都參加的有2人。問：這個年級參加課外學科小組共有多少人?解1：設(shè)A={數(shù)學小組的同學}，B={語文小組的同學}，C={外語小組的同學}，A∩B={數(shù)學、語文小組的同學}，A∩C={參加數(shù)學、外語小組的同學}，B∩C={參加語文、外語小組的同學}，A∩B∩C={三個小組都參加的同學}由題意知：∣A∣=23，∣B∣=27，∣C∣=18∣A∩B∣=4，∣A∩C∣=7，∣B∩C∣=5，∣A∩B∩C∣=2根據(jù)容斥原理二得：∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣∣A∩B∣∣A∩C|∣B∩C|+|A∩B∩C∣=23+27+18(4+5+7)+2 =54(人)山東公務(wù)員行測：數(shù)量關(guān)系之容斥問題解題原理及方法解2： 利用圖示法逐個填寫各區(qū)域所表示的集合的元素的個數(shù)，然后求出最后結(jié)果。設(shè)A、B、C分別表示參加數(shù)學、語文、外語小組的同學的集合，其圖分割成七個互不相交的區(qū)域，區(qū)域Ⅶ(即A∩B∩C)表示三個小組都參加的同學的集合，由題意，應(yīng)填2。區(qū)域Ⅳ表示僅參加數(shù)學與語文小組的同學的集合，其人數(shù)為42=2(人)。區(qū)域Ⅵ表示僅參加數(shù)學與外語小組的同學的集合，其人數(shù)為72=5(人)。區(qū)域Ⅴ表示僅參加語文、外語小組的同學的集合，其人數(shù)為52=3(人)。區(qū)域Ⅰ表示只參加數(shù)學小組的同學的集合，其人數(shù)為23225=14(人)。同理可把區(qū)域Ⅱ、Ⅲ所表示的集合的人數(shù)逐個算出，分別填入相應(yīng)的區(qū)域內(nèi)，則參加課外小組的人數(shù)為。14+20+8+2+5+3+2=54(人)點評：解法2簡單直觀，不易出錯。由于各個區(qū)域所表示的集合的元素個數(shù)都計算出來了，因此提供了較多的信息，易于回答各種方式的提問。例6 學校教導(dǎo)處對100名同學進行調(diào)查，結(jié)果有58人喜歡看球賽，有38人喜歡看戲劇，有52人喜歡看電影。另外還知道，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇(但不喜歡看電影)的有6人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇(但不喜歡看球賽)的有4人，三種都喜歡的有12人。問有多少同學只喜歡看電影?有多少同學既喜歡看球賽又喜歡看電影(但不喜歡看戲劇)?(假定每人至少喜歡一項)解法1：畫三個圓圈使它們兩兩相交，彼此分成7部分(如圖)這三個圓圈分別表示三種不同愛好的同學的集合，由于三種都喜歡的有12人，把12填在三個圓圈的公共部分內(nèi)(圖中陰影部分)，其它6部分填上題目中所給出的不同愛好的同學的人數(shù)(注意，有的部分的人數(shù)要經(jīng)過簡單的計算)其中設(shè)既喜歡看電影又喜歡看球賽的人數(shù)為χ，這樣，全班同學人數(shù)就是這7部分人數(shù)的和，即16+4+6+(40χ)+(36χ)+12=100解得 χ=14只喜歡看電影的人數(shù)為3614=22解法2：設(shè)A={喜歡看球賽的人}，B={喜歡看戲劇的人}，C={喜歡看電影的人}，依題目的條件有|A∪B∪C|=100，|A∩B|=6+12=18(這里加12是因為三種都喜歡的人當然喜歡其中的兩種)，|B∩C|=4+12=16，|A∩B∩C|=12，再設(shè)|A∩C|=12+χ由容斥原理二：|A∪B∪C |=|A|+|B|+|C||A∩B||A∩C||B∩C|+|A∩B∩C|得：100=58+38+52(18+16+х+12)+12解得：х=14∴3614=22所以既喜歡看電影又喜歡看球賽的人數(shù)為14，只喜歡看電影的人數(shù)為22。點評：解法1沒有用容斥原理公式，而是先分別計算出(未知部分設(shè)為х)各個部分(本題是7部分)的數(shù)目，然后把它們加起來等于總數(shù)，這種計算方法也叫“分塊計數(shù)法”，它是利用圖示的方法來解決有關(guān)問題，希望同學們能逐步掌握此類方法，它比直接用容斥原理公式更直觀，更具體。例某車間有工人100人，其中有5個人只能干電工工作，有77人能干車工工作，86人能干焊工工作，既能干車工工作又能干焊工工作的有多少人?解：工人總數(shù)100，只能干電工工作的人數(shù)是5人，除去只能干電工工作的人，這個車間還有95人。利用容斥原理，先多加既能干車工工作又能干焊工工作的這一部分，其總數(shù)為163，然后找出這一公共部分，即16395=68例某次語文競賽共有五道題(滿分不是100分)，丁一只做對了(1)、(2)、(3)三題得了16分。于山只做對了(2)、(3)、(4)三題，得了25分。王水只做對了(3)、(4)、(5)三題，得了28分，張燦只做對了(1)、(2)、(5)三題，得了21分，李明五個題都對了他得了多少分?解：由題意得：前五名同學合在一起，將五個試題每個題目做對了三遍，他們的總分恰好是試題總分的三倍。五人得分總和是16+25+30+28+21=120。因此，五道題滿分總和是120247。3=40。所以李明得40分。例9，某大學有外語教師120名，其中教英語的有50名，教日語的有45名，教法語的有40名，有15名既教英語又教日語，有10名既教英語又教法語，有8名既教日語又教法語，有4名教英語、日語和法語三門課，則不教三門課的外語教師有多少名?解：本題只有求出至少教英、日、法三門課中一種的教師人數(shù)，才能求出不教這三門課的外語教師的人數(shù)。至少教英、日、法三門課中一種教師人數(shù)可根據(jù)容斥原理求出。根據(jù)容斥原理,至少教英、日、法三門課中一種的教師人數(shù)為50+45+4015108+4=106(人)不教這三門課的外語教師的人數(shù)為120106=14(人)第三篇：行測基礎(chǔ)知識中國苗族以服飾豐富而著稱，特別是婦女身上的裝飾更多達130多種。吹蘆笙、對歌、斗牛是這個民族最有特色的活動。傣族的住處被稱為孔雀之鄉(xiāng)。中國的“七大古都”中，安陽、洛陽和開封都在河南省。著名的“絲綢之路”的起點是西安。中國正在進行西部大開發(fā)，重慶是目前西南最大的工業(yè)中心城市。中國猿人“北京人”是在北京(房山)周口店(龍骨山)。新疆塔里木河是中國最長的內(nèi)陸河。中國最大的咸水湖是青海湖。東岳泰山，西岳華山，北岳恒山，南岳衡山，中岳嵩山。中國西部柴達木盆地礦藏非常豐富，被稱為“聚寶盆”。1云南具有獨特熱帶雨林風光和絢麗少數(shù)民族風情的樂土的地方是西雙版納。1玉如意和長鼓分別是滿族、朝鮮族的吉祥物。1中國有23個省、4個直轄市、5個自治區(qū)、2個特別行政區(qū)。1中國的水力資源很豐富，在世界上是第一位。1中國有兩條重要的河流，長江和黃河，它們都是“中華民族的搖籃”，傳說中的中華民族始祖黃帝的陵墓，是在黃河流經(jīng)的地區(qū)。1“金陵”指的是南京。1自治區(qū)：內(nèi)蒙古自治區(qū)、西藏自治區(qū)、寧夏回族自治區(qū)、廣西壯族自治區(qū)、新疆維吾爾自治區(qū)。1中國政府中負責處理少數(shù)民族事務(wù)的是國家民族事務(wù)委員會(簡稱：國家民委)。1中國的少數(shù)民族一般都信仰宗教：藏族(佛教)、回族(伊斯蘭教)、哈薩克族(伊斯蘭教)。彝族人民醫(yī)藥知識豐富，根據(jù)他們的祖?zhèn)髅胤街瞥傻脑颇习姿帉Ｖ蔚驌p傷，遠近馳名。2中國七大古都，安陽、西安、洛陽、南京、開封、杭州、北京。2黃河從青海、四川、甘肅、寧夏、內(nèi)蒙古自治區(qū)、山西、陜西、河南、山東9個省級行政區(qū)流過。2中國的人口總數(shù)約13億，占世界人口的22%。2中國國內(nèi)最早的古人類叫元謀人。2中國的歷史傳說中“五帝”的第一個人是黃帝(其他是顓頊、帝嚳、堯、舜)。2皇帝發(fā)布的文書叫詔書，也叫圣旨。2春秋時期的“春秋”這個名字是魯國史書《春秋》記載了這個時期的歷史，由此得名。2中國的歷史傳說中，最早教人捕魚、畜牧的人是伏羲。2因為制作方法不同，茶可分為五種，花茶、紅茶、綠茶、烏龍茶和緊壓茶。中國最早的字典叫《說文解字》。3在中國歷史上，從春秋到秦國統(tǒng)一中國之前的這段時間，被叫作戰(zhàn)國時期。3清代滿族的兵制是八旗制度。3中國的種茶、制茶、煮茶、飲茶法是隋唐前后傳到曰本、朝鮮的。3被稱為“漢語托?！钡目荚囀菨h語水平考試(HSK)。3西漢時期，由司馬遷寫的《史記》被魯迅先生稱為“史家之絕唱，無韻之離騷”。3中國古代神話非常豐富，其中以《山海經(jīng)》中為最多。3曹操：“老驥伏櫪，志在千里，烈士暮年，壯心不已”。3唐代最有代表性的文學體裁是詩歌。3敘事長詩《長恨歌》和《琵琶行》的作者是白居易。由《家》、《春》、《秋》組成的《激流三部曲》是巴金。4中國壯族特別喜歡唱山歌，有傳統(tǒng)的歌節(jié)叫做“歌吁”，傳說中創(chuàng)造這個民族的歌謠的唐代女歌手劉三姐在中國更是家喻戶曉。4中國人口最少的民族：珞巴族，只有2300多人。4明朝著名的航海家鄭和(回族)，他曾七次下西洋，成為世界航海史上的壯舉。4中國的歷史傳說中，最早教人種田并且嘗試各種草藥的人是神農(nóng)。4秦代修建的最偉大的工程是長城。4人們把長江流過的瞿塘峽、巫峽、西陵峽這三段峽谷叫作長江三峽。4長江是中國第一大河，全長6300多千米，水力資源豐富。正在建設(shè)的最大的水利工程是三峽工程。4長江從青海、四川、西藏、云南、重慶、湖北、湖南、江西、安徽、江蘇、上海11個省級行政區(qū)流過。4中國歷史上第一個王朝叫夏。50、中國歷史中常說的“三代”指的是夏、商、西周。5涮羊肉起源于元朝。5鋼是由鐵、碳組成的。5我國四大名硯之冠端硯產(chǎn)自廣東。5目前人類已知的最軟的石頭是滑石。5近視是較遠物體的平行光線成像于視網(wǎng)膜的前面。5UNESCO是聯(lián)合國科教文組織的簡稱。5發(fā)射第一顆人造衛(wèi)星的國家是前蘇聯(lián)。5企鵝可以生活在赤道附近。5自稱“白蒙古”的民族是土族。60、艾葉燃燒的煙能驅(qū)蚊蠅。6迫擊炮的彈道是彎曲的。6《全唐詩》收錄的是唐代4萬8千多首詩。6“芭蕾舞”是從法國傳進的外來語。6四大名茶之一的龍井茶產(chǎn)地是浙江杭州。6《清明上河圖》是一幅社會風俗畫。6乒乓球比賽中，甲方進攻時未將球打在臺內(nèi)，而是直接打到了臺外乙方的球拍上，球應(yīng)判乙方得分。6魚有心臟。脊椎動物都有心臟，魚是脊椎動物 6《卡薩布蘭卡》由英格麗褒曼主演。6人們購買保險，為的是滿足人們的安全需要。70、中國古代名醫(yī)華佗為曹操所殺。7人體最堅硬的部分是牙齒。7“孑孓”是蚊子的幼蟲。7“海市蜃樓”現(xiàn)象在不同時間內(nèi)出現(xiàn)的影像不同，有時候是影像呈正象，有時候是影像呈倒象，呈倒象的是下午時段。7被稱為“國際會議之都”的城市是日內(nèi)瓦。7中國象棋盤上“米”字形的方框稱九宮。7其他條件相同，壺嘴與壺身等高的茶壺裝水更多。7中國最大的商業(yè)銀行是中國工商銀行。7全國性抗日戰(zhàn)爭爆發(fā)的標志是七七事件。7飛魚躍出水面后可在空中飛行，飛魚的飛行動作是：兩翅不動，滑翔。80、不等腰直角三角形中對著直角的邊叫做弦。8金星屬于類地行星。8我國最大的淡水湖是鄱陽湖。8好萊塢位于美國加利福尼亞州。8扎伊爾是鉆石的最大產(chǎn)出國。8閃電的傳播路徑是距離最短的路線。8“海的女兒”是哥本哈根的城徽。8《第九交響曲》(即《合唱交響曲》)的作者是貝多芬。8