【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 205。R1UIA(2)s(R2)205。s(R1)QR2205。Rcc1,R2205。R1\Rcc2UR2205。R1UR1(3)t(R2)205。t(R1)QR222205。R1222。(R2)1205。(R1)1(即R2UR2205。R1UR1)236。(a,b)206。R(a,b)206。(R239。2205。R1205。(R1)1b)206。R22)1237。(a,2,$c206。A,(a,c),(c,b)206。R2205。R1,239。238。(a,b)206。R21,(a,b)206。(R1)1(a,b)206。t(R2),$k,使(a,b)206。(R2)k205。(R1)k205。t(R1).,R2,R3,R4分別是A到B，B到C，B到C，Ｃ到D的二元關(guān)系，證明(1)R1(R2UR3)=R1R2UR1R3(x,y)206。R1(R2UR3)219。$z,(x,z)206。R1,(z,y)206。R2or(z,y)206。R3219。$z,(x,z)206。R1,(z,y)206。R2or(x,z)206。R1,(z,y)206。R3219。(x,y)206。R1R2or(x,y)206。R1R3219。(x,y)206。R1R2UR1R3(2)R1(R2IR3)205。R1R2IR1R3(x,y)206。R1(R2IR3)222。$z,(x,z)206。R1,(z,y)206。R2and(z,y)206。R3222。$z,(x,z)206。R1,(z,y)206。R2and(x,z)206。R1,(z,y)206。R3222。(x,y)206。R1R2and(x,y)206。R1R3222。(x,y)206。R1R2IR1R3(3)(4)類(1)(2)證明。，證明對(duì)任意自然數(shù)m,n，(1)RmRn=Rm+n(2)(Rm)n=Rmn由歸(1)1)n=1,Rm+1=RmR2)假定RmRn=Rm+n={(a,b)|$c206。A,(a,c)206。Rm,(c,b)206。Rn}n+1RmR={(a,b)|$c206。A,(a,c)206。Rm,(c,b)206。Rn+1}其中,Rn+1={(c,b)|$d206。A,(c,d)206。Rn,(d,b)206。R}RmRn+1={(a,b)|$c,d206。A,(a,c)206。Rm,(c,d)206。Rn,(d,b)206。R}={(a,b)|$d206。A,(a,d)206。Rm+n,(d,b)206。R}=Rm+nR=R(m+n)+1=Rm+(n+1)(2)1)n=1,Rm=Rm2)假定(Rm)n=Rmn(Rm)n+1=(Rm)nRm=RmnRm由(1)Rmn+m=Rm(n+1)，｜A｜＝n，證明存在 自然數(shù)s,t，使Rs=Rt,且0163。st163。2n2，其中定義R0={(a,a)|a206。A}。236。239。0(ai,aj)207。R證:R=(rij)n180。n,rij=237。239。238。1(ai,aj)206。R至多有2n2個(gè)不同的Rk(k206。N)出現(xiàn),0163。k163。2n2,由鴿洞原理,(2n2+1)個(gè)Rk中必存在s,t,0163。st163。2n2,Rs=，R2是Ａ上的二元關(guān)系，判別下列命題正確與否(1)如果R1，R2自反，則R1R2也自反。對(duì),a206。A,(a,a)206。R1,(a,a)206。R2,\(a,a)206。R1R2(2)如果R1，R2反自反，則R1R2也反自反。否,若(a,b)206。R1,(b,a)206。R2,(a,a)206。R1R2(3)如果R1，R2對(duì)稱，則R1R2也對(duì)稱。否,例:A={1,2,3},R1={(1,2),(2,1)},R2={(2,3),(3,2)},(1,2)206。R1,(2,3)206。R2,(1,3)206。R1R2,而(3,1)207。R1R2(4)如果R1，R2反對(duì)稱，則R1R2也反對(duì)稱。否,例:A={1,2,3},R1={(1,2),(3,2)},R2={(2,3),(2,1)},(1,2)206。R,3)206。R，1,(22,(1,3)206。R1R2(3,2)206。R1,(2,1)206。R2,(3,1)206。R1R2(5)如果R1，R2傳遞，則R1R2也傳遞。否,例:A={1,2,3,4},R1={(1,1),(2,3)},R2={(1,2),(3,3)},(1,1)206。R1,(1,2)206。R2,(1,2)206。R1R2，(2,3)206。R1,(3,3)206。R2,(2,3)206。R1R2,但(1,3)207。R1R2={a,b,c}，以下分別給出一個(gè)P(A)上的二元 關(guān)系，確定它們哪些是自反的，反自反的，對(duì)稱的，反對(duì)稱的，傳遞的。P(A)={f,{a},,{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}（１）ｘ是ｙ的一個(gè)真子集R1={(x,y)|x204。y,x,y206。P(A)}反自反，不對(duì)稱，反對(duì)稱，傳遞（２）ｘ與ｙ不相交R2={(x,y)|xIy=f,x,y206。P(A)}不自反，也不反自反(fIf=f)，對(duì)稱，不傳遞（３）xUy=AR3={(x,y)|xUy=A,x,y206。P(A)}不自反，也不反自反{a,b,c}U{a,b,c}=A，對(duì)稱，不傳遞。，證明R是傳遞的當(dāng)且僅當(dāng)R2205。R。任(a,b)∈R2,$C,(a,c)(c,b)∈R ,由R傳遞(a,b)∈R , 即R2 205。 R。若(a,b)∈R,(b,c)∈R , 即(a,c)∈R2205。 R , 所以R傳遞。，問(wèn)t(R)總是反對(duì)稱 的嗎？233。010249。233。111249。否, 例： R=234。234。001,t(R)=234。234。111234。235。100234。235。11113．設(shè)R是A上的一個(gè)自反關(guān)系，證明當(dāng)且僅當(dāng)(a,b)和(a,c)屬于R推出(b,c)屬于R時(shí)，R是一個(gè)等價(jià) 關(guān)系。若(a,b)∈R，又自反(a,a)∈R, 推出(b,a)∈R, 所以對(duì)稱；若(a,b)(b,c)∈R , 由對(duì)稱(b,a)(b,c)∈R , 推出(a,c)∈R ,所以傳遞。若R等價(jià),(a,b)(a,c)∈R , 由對(duì)稱性(b,a)(a,c)∈R , 由傳遞性 ,(b,c)∈R。，證明如果對(duì)A中的每個(gè)a，在A中存在b，使得(a,b)∈R，則R是一個(gè)等價(jià)關(guān)系。 a206。A,$b206。A,(a,b)206。R,由對(duì)稱性,(b,a)206。R,又由傳遞性,(a,a)，設(shè)T是 A上的一個(gè)二元關(guān)系，使得當(dāng)且僅當(dāng)(a,b)和(b,a)同時(shí) 屬于R時(shí)，(a,b)∈T，證明T是一個(gè)等價(jià)關(guān)系。 a(a,a)∈R,(a,a)∈R =(a,a)∈T 若(a,a)∈T,(a,b)(b,a)∈R , 即(b,a)(a,b)∈R=(b,a)∈T 若(a,b)(b,c)∈T,(a,b)(b,a)(b,c)(c,b)∈R=(a,c)∈R,(c,a)∈R=(a,c)∈T，設(shè)S={(a,b)｜對(duì)某個(gè)C，(a,c)∈R且(c,b)∈R｝證明如果R是等價(jià)關(guān)系，則Ｓ也是等價(jià)關(guān)系。a,(a,a)∈R,(a,a)∈R=(a,a)∈S 若(a,b)∈S , 存在c,(a,c)(c,b)∈R 由R對(duì)稱,(b,c)(c,a)∈R , 所以(b,a)∈S 若(a,b)(b,c)∈S存在d,e(a,d)(d,b)(b,e)(e,c)∈R由R傳遞(a,b)(b,c)∈R 所以(a,c)∈S，對(duì)所有的xi,xj,xk∈A，如果xiRxj∧xjRxk222。xkRxi，則稱R為循環(huán)關(guān)系，試證明當(dāng)且僅當(dāng)R是等價(jià)關(guān)系時(shí)，R才是自反的和循環(huán)的。（其中aRb表示(a,b)∈Ｒ）。R等價(jià), 當(dāng)然自反，如果xiRxj且xjRxk則由傳遞性，xiRxk, 由對(duì)稱性xkRxi，R是自反, 循環(huán)的；若(a,b)∈R, 由R自反 a,(a,a)∈R, 又(a,b)∈R, 由循環(huán)(b,a)∈R，對(duì)稱，若(a,b)(b,c)∈R，由循環(huán)(c,a)∈R, 由對(duì)稱(a,c)∈R，傳遞。18．設(shè)R1，R2是A上二元關(guān)系，證明(1)r(R1UR2)=r(R1)Ur(R2)(2)s(R1UR2)=s(R1)Us(R2)(3)t(R1UR2)202。t(R1)Ut(R2)(1)r(R1UR2)=(R1UR2)UIA=R1UIAUR2=R1U(IAUIA)UR2=(R1UIA)U(IAUR2)=(R1UIA)U(R2UIA)=r(R1)Ur(R2)(2)s(Rc1UR2)=(R1UR2)U(R1UR2)=Rcc1UR2UR1UR2=(Rcc1UR1)U(R2UR2)=s(R1)Us(R2)(3)(R1UR2)2={(a,b)|$c,(a,c)206。R1orR2,(c,b)206。R1orR2}=R221UR2UR1R2UR2R1 29 R2221UR2205。(R1UR2)用歸納法可證RnRnn1U2205。(R1UR2)n174。165。,可得t(R1)Ut(R2)205。t(R1UR2)={a,b,c,d},A上二元關(guān)系R={(a,b),(b,a),(b,c),(c,d)}（１）用矩陣算法和作圖法求r(R),s(R),t(R)。（２）用Warshall算法求t(R)。233。1100249。233。0100249。233。1111249。234。 r(R)=234。1110234。234。1010234。234。1111234。0011 s(R)= 234。0101 t(R)=234。0001234。235。0001234。235。0010234。235。0000233。0100249。233。100249。233。1110249。234。234。1010i=10234。110i=2234。234。1110234。000222。234。11234。0001222。234。0001234。235。0000j=2234。235。0000j=1,2234。235。0000i=3233。1111249。111249。233。1111249。234。222。234。1110i=3233。1234。222。234。1111i=4234。234。1111j=2234。0001234。0001222。234。0001234。235。0000j=2234。235。0000j=1,2,3234。235。0000（１）Ｒ是自反的（２）Ｒ是對(duì)稱的（３）Ｒ是傳遞