【文章內容簡介】 光柵類型（例如啁啾光柵、相移光柵等）同樣可應用這一理論，但由于推倒計算過程較復雜，考慮采用其他更為簡便的方法進行分析，本文主要介紹了傳輸矩陣分析法、多層薄膜疊 加法和傅立葉變換法三種普遍應用的分析方法。 光纖光柵的耦合膜理論 (一 )、耦合膜理論概述 由耦合模理論可知，當波導中存在折射率周期性擾動時，將導致傳播模式之間的耦合。 由麥克斯韋方程： )( 0 PEtJH ??????? ? （ ） )( HtE ??????? （ ） 因光波導中不存在自由電荷，故在（ ）式中 0?J ，并將（ ）、（ ）兩式聯(lián)立，可得到絕緣介質的波動方程： ),(),(),( 22222 trPtt trEtrE ?????? ??? ＝ （ ） 由于波導介質具有非均勻性，且耦合波具有慢變性，所以，以微擾的形式處理介質的變化，其極化強度可以表示為： ),(),(])([),( 0 trPtrErtrP 微擾??? ?? （ ） 將帶有微擾項的極化強度（ ）式帶入波動方程（ ）式，可以得到： ? ? ? ?22222 ,t trPt ErE ??????? 微擾??? （ ） 屆畢業(yè)設計 11 因為在直角坐標系中 Ex、 Ey表達形式相類似，所以均用 E 來表示。對 TE ?？陕匀Ｅc輻射模之間的耦合，則有： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?m ztimm ccexEzAtrE m ..21, ?? （ ） 其中 m 表示本征模的模序數(shù)， 。將（ ）式代入（ ）式可得： ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?22222222,..2212ttrPcceEdzAddzdAieErxEEAezimmmmmzimmmmmtimm??????????????? ????????????? ??????微擾??????????? （ ） 而本征模場滿足非微擾波導的波動方程： ? ? ? ? ? ? ? ? 0)(2222 ?????????? ? rErrEx mmm ?????? （ ） 式中? ? ? ?? ?r n r0 2,而 n是介質的折射率。由于正交性，（ ）式中前三項之和為零。由慢變假設條件：dzdAdzAd mmm ???22 經推導可得： ? ? ? ? ? ? ? ????????? ????? dxxEtrPticcedzdAedzdA sztisztis ss )(,2.. 22 ?? 微擾?????? （ ） 上式中“ ”表示向 z 方向傳播，“ +”表示向 +z 方向傳播。該式為處理波導中模式耦合問題的基本方程。 周期性的平面介質波導的周期性是由于一個界面上的皺階引進的，因此這種波導也稱為皺波導。其介電常數(shù)的變化可以表示為： ? ? ? ??? ?r n r? ?02 （ ） 因此微擾極化強度矢量可以表示為： ? ? ? ? ? ?trErntrP , 02 ??＝微擾 （ ） 因為 ??rn2? 是標量，所以上述皺階引起的周期性結構僅能使 TE 模向 TE 模耦合或使 TM模向 TM 模耦合。考慮 TE 模的傳播，綜合 （ ） 、 （ ） 和 （ ） 式可得： 屆畢業(yè)設計 12 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?????? ????????????????mztisymymztisztisccedxxExEzxnAticcedzdAedzdAsss.,4.2220 ?????????? （ ） 上式的右邊可以看作是引起前向波 ?sA 與后向波 ?sA 的波源。為了使波源與波的相互作用不被抵消，要求波源于波的頻率相互匹配。因此，為了將第 m 個模耦合到第 s 個模中，必須使上式中的乘積 )exp (),(2 zizxn m??? 包含有正比于 ? ?zi s??exp 或 ? ?zi s??exp 的項。這兩種情況分別表示了微擾驅動了前向?；蛭_驅動了后向模。因此，模式耦合的選擇是由? ?zxn ,2? 與 z的 關系決定的。設微擾 ? ?zxn ,2? 的周期為 ?，且使 sl ?? ??/ ，其中 l 是整數(shù)。于是 ? ?zxn ,2? 可以展開為： ? ? ? ?????? ?????? ?????? ????j j zjiaxnzxn ?2e xp, 22 （ ） 現(xiàn)在 （ ） 式的右邊含有正比于 ? ?? ?zliA ss ?? ??? /2e x p 的一項（ j = l， m = s），而ssl ??? ???2，因 此該項能夠同步驅動 （ ） 式左邊的振幅 ? ?ziA ss ?exp? ，將 （ ）式代入 （ ） 式可得： ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ??????? ???? dxxExnzliaAidzdA sslss 220 /2e xp4 ???? （ ） 于是由? ??nxz,的第 個諧波引起的前向波?s?與后向波??s?之間的耦合，可以描述為： ? ? ? ? ? ?ziscs eAdzdA ?? ???? ? 2 （ ） 類似可得到 ? ? ? ? ? ?ziscs eAdzdA ?? ???? ? 2 （ ） (215)和 (216)即為周期性波導中傳播的前向模和后向模的耦合模方程，其中 ?? 滿足 屆畢業(yè)設計 13 ?????? ????? lss 0 ，并有： ? ? ? ? ? ?? ?? ??c l y si a n x E x dx? ? ???0 2 24 ? （ ） 其中κ c稱為耦合系數(shù)。耦合系數(shù)的大小反映了前向波與后向波之間能量交換的快慢程度。 ?? ??? ?ddz A As s? ?? ?2 2 0 （ ） 由上述分析可知，波導中的模間耦合問題可以簡化為對耦合模方程 (215)和 (216)式的推導求解。 (二 )、布拉格光纖光柵的耦合膜分析 A ( z ) B ( z ) Λ z =0 z =L 圖 布拉格光纖光柵示意圖 對于布拉格光纖光柵，我們可以對其求出具體結果。圖 ，其周期為 ? 。耦合主要發(fā)生在布拉格波長附近波長相同的兩個正反向傳輸模式之間，則耦合摸方程可簡化為： )()(dd zBizAizA ???? ?? ?? （ ） )()(dd * zAizBizB ???? ??? ?? （ ） 其中 ?B 和 ?A 分別代表前向波和后向波，可以表示成為 屆畢業(yè)設計 14 （ ） （ ） ? +是自耦合系數(shù)，有如下表到方式： zd dd21 ???? ???? （ ） 復耦合系數(shù) ? 代表光柵的吸收損耗， ? 表示一個光柵的啁啾特性， d? 是光柵失諧度表示的是能量交換速率。可用下式表示： ?????? ????? Be f fd n ?????? 112 （ ） 其中 ?B = 2neff ?我們定義為布拉格波長 ，是在理想光柵，即 effn? ?0時的中心反射波長。對于均勻周期布拉格光纖光柵， effn? 是常數(shù)， d?/dz = 0，對一個單模的布拉格光柵有如下關系： effn?? ??? 2 （ ） ef fns??? ???? * （ ） 此時 ?、 ? 和 ?+也是常數(shù)。這樣（ ）、（ ）式簡 化為一階常系數(shù)微分方程組，只要有合適的邊界條件就可以得到它們的解?？梢缘玫焦鈻诺膹头瓷湎禂?shù) ? 和反射率 R： 22222222)()(c o s h)()(s i n h)()(s i n hLLiLLLL??????????????????????? （ ） （ ） 由圖 R隨波長變化的情況，很明 顯它是一種波長 222222222)()(c o s h)()(s i n hLLLLR????????????????)2/e x p ()()( ?? ??? zizAzA d)2/e x p ()()( ?? ???? zizBzB d 屆畢業(yè)設計 15 選擇性的濾波器件。 因 0/ ?dzd? 當 0??? 時，由（ ）式可知 0????d ，可得到最大反射率和中心峰值波長分別為： )(tanh 2m ax LR ?? （ ） Bef fef fnn ??? ???????? ?? 1m ax （ ） 可以看出 max? ≠ B? ，相對有一個偏差。由 (2. 28)式可得： （ ） 對于折射率變化極小的弱光柵， effns? ?B/L，帶寬近似為： LneffB20 ?? ?? （ ） 對于折射率變化較大的強光柵， effns? ?B/L，帶寬近似為： effBeffnns ??? ?? 0 （ ） 20 1 ???????????Lnsnnse f fBe f fe f fB ?????圖 2 .2均勻光纖光柵反射譜 2l? 0.3 0.5 0.0 1.0 0.1 Wavelength difference (nm) Reflectivity 屆畢業(yè)設計 16 由上式可見，弱光柵的帶寬主要取決于光柵長度。強光柵反射帶寬主要由折射率調制深度決定，而與長度幾乎沒有關系。 綜上所述，光在光纖光柵中的傳播可以用上面介紹的耦合模理論來分析，利用耦合模理論我們可以得到光在各種不同類型的光纖光柵中的傳播規(guī)律。但對于一些特殊的光纖光柵，例如啁啾光柵、相移光柵等，耦合模理論的分析過程十分繁瑣，因此人們針對不同的應用場合提出了另外的不同理論分析方法，例如傳輸矩陣分析法、多層薄膜疊加法及傅立葉變換法等，這 些方法各有其不同的特點和使用范圍。下面就對這三種常用分析方法作進一步的介紹。 傳輸矩陣分析法 (一 )、傳輸矩陣法的理論分析 傳輸矩陣法是分析光纖光柵的重要方法，是由 Agrawal 等人提出的 [3,4]。當光纖光柵的折射率為非均勻周期分布時，利用耦合模方程的分析過程變得十分繁瑣，此時可應用傳輸矩陣法進行分析。這種方法最大的優(yōu)點在于不必進行煩冗的數(shù)學推演，可借助于數(shù)值計算方法，直接從電磁場的麥克斯韋方程出發(fā)進行數(shù)值計算，模擬分析光波在不同波導中的傳播行為。目前隨著計算機硬件水平的提高各種數(shù)值計算軟件應運而 生，大大簡化了波導結構與邊界條件等復雜問題的解決過程。因此使得這一分析方法更便捷，更易于解決非均勻周期分布光纖光柵的分析問題。另一方面，該方法也有其自身的不足之處。主要體現(xiàn)在對于比較復雜的波導結構（如矩形波導等），其計算量有時很大，在折射率突變區(qū)域易失效。 該方法將結構復雜的光柵分成一系列小的均勻周期的光纖光柵，計算出每一小的均勻周期光纖光柵的傳輸矩陣，只要將每一小的均勻周期光纖光柵單元的傳輸矩陣相乘，即可由光纖光柵的光入射端的光波場推算出光纖光柵的光出射端的光波場。著名的 IFOGrating光柵設計分析 軟件就是以傳輸矩陣的方法為基礎設計的。 設長度為