成人高考(專升本)高等數(shù)學(xué)(編輯修改稿)
2025-09-13 11:43 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 如函數(shù)，當(dāng)x→∞時(shí)，f（x）無(wú)限地趨于常數(shù)1，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）也無(wú)限地趨于同一個(gè)常數(shù)1，因此稱當(dāng)x→∞時(shí)的極限是1，記作其幾何意義如圖3所示。f(x)=1+y=arctanx不存在。但是對(duì)函數(shù)y=arctanx來(lái)講，因?yàn)橛屑措m然當(dāng)x→∞時(shí)，f（x）的極限存在，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）的極限也存在，但這兩個(gè)極限不相同，我們只能說(shuō)，當(dāng)x→∞時(shí)，y=arctanx的極限不存在。x)=1+y=arctanx不存在。但是對(duì)函數(shù)y=arctanx來(lái)講，因?yàn)橛? 即雖然當(dāng)x→∞時(shí)，f（x）的極限存在，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）的極限也存在，但這兩個(gè)極限不相同，我們只能說(shuō)，當(dāng)x→∞時(shí)，y=arctanx的極限不存在。（四）函數(shù)極限的定理（惟一性定理）如果存在，則極限值必定惟一。（兩面夾定理）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)（可除外）滿足條件：（1），（2）則有。注意：。下面我們給出函數(shù)極限的四則運(yùn)算定理（1）（2）（3）當(dāng)時(shí)，時(shí)，上述運(yùn)算法則可推廣到有限多個(gè)函數(shù)的代數(shù)和及乘積的情形，有以下推論：（1）（2）（3）用極限的運(yùn)算法則求極限時(shí)，必須注意：這些法則要求每個(gè)參與運(yùn)算的函數(shù)的極限存在，且求商的極限時(shí)，還要求分母的極限不能為零。另外，上述極限的運(yùn)算法則對(duì)于的情形也都成立。（五）無(wú)窮小量和無(wú)窮大量（簡(jiǎn)稱無(wú)窮?。┒x對(duì)于函數(shù)，如果自變量x在某個(gè)變化過(guò)程中，函數(shù)的極限為零，則稱在該變化過(guò)程中，為無(wú)窮小量，一般記作常用希臘字母，…來(lái)表示無(wú)窮小量。：可表示為A與一個(gè)無(wú)窮小量之和。注意：（1）無(wú)窮小量是變量，它不是表示量的大小，而是表示變量的變化趨勢(shì)無(wú)限趨于為零。（2）要把無(wú)窮小量與很小的數(shù)嚴(yán)格區(qū)分開，一個(gè)很小的數(shù)，無(wú)論它多么小也不是無(wú)窮小量。（3）一個(gè)變量是否為無(wú)窮小量是與自變量的變化趨勢(shì)緊密相關(guān)的。在不同的變化過(guò)程中，同一個(gè)變量可以有不同的變化趨勢(shì)，因此結(jié)論也不盡相同。例如：振蕩型發(fā)散 （4）越變?cè)叫〉淖兞恳膊灰欢ㄊ菬o(wú)窮小量，例如當(dāng)x越變?cè)酱髸r(shí)，就越變?cè)叫?，但它不是無(wú)窮小量。（5）無(wú)窮小量不是一個(gè)常數(shù)，但數(shù)“0”是無(wú)窮小量中惟一的一個(gè)數(shù)，這是因?yàn)?。（?jiǎn)稱無(wú)窮大）定義；如果當(dāng)自變量（或∞）時(shí)，的絕對(duì)值可以變得充分大（也即無(wú)限地增大），則稱在該變化過(guò)程中，為無(wú)窮大量。記作。注意：無(wú)窮大（∞）不是一個(gè)數(shù)值，“∞”是一個(gè)記號(hào)，絕不能寫成或。無(wú)窮小量與無(wú)窮大量之間有一種簡(jiǎn)單的關(guān)系，見以下的定理。，如果為無(wú)窮大量，則為無(wú)窮小量；反之，如果為無(wú)窮小量，且，則為無(wú)窮大量。當(dāng)無(wú)窮大無(wú)窮小當(dāng)為無(wú)窮小無(wú)窮大性質(zhì)1有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和仍是無(wú)窮小量；性質(zhì)2有界函數(shù)（變量）與無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量；特別地，常量與無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量。性質(zhì)3有限個(gè)無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量。性質(zhì)4無(wú)窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無(wú)窮小量。定義設(shè)是同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小量，即。（1）如果則稱是比較高階的無(wú)窮小量，記作；（2）如果則稱與為同階的無(wú)窮小量；（3）如果則稱與為等價(jià)無(wú)窮小量，記為；（4）如果則稱是比較低價(jià)的無(wú)窮小量。當(dāng)?shù)葍r(jià)無(wú)窮小量代換定理：如果當(dāng)時(shí)，均為無(wú)窮小量，又有且存在，則。均為無(wú)窮小又有這個(gè)性質(zhì)常常使用在極限運(yùn)算中，它能起到簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用。但是必須注意：等價(jià)無(wú)窮小量代換可以在極限的乘除運(yùn)算中使用。常用的等價(jià)無(wú)窮小量代換有：當(dāng)時(shí)，sinx～x。tan～x。arctanx～x。arcsinx～x。（六）兩個(gè)重要極限Ⅰ重要極限Ⅰ是指下面的求極限公式令這個(gè)公式很重要，應(yīng)用它可以計(jì)算三角函數(shù)的型的極限問(wèn)題。其結(jié)構(gòu)式為：Ⅱ重要極限Ⅱ是指下面的公式：其中e是個(gè)常數(shù)（銀行家常數(shù)），叫自然對(duì)數(shù)的底，它的值為e=……
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