信息論第7章(編輯修改稿)
2024-09-11 20:26 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 離譯碼，但是它不一定等同于最大似然譯碼準則。容易看出：在重復(fù)碼情況下，最小漢明距離譯碼就是根據(jù)收到序列中 0 和 1 的多少，依照少數(shù)服從多數(shù)的原則來判斷信息碼元是 0 還是 1 ，這種譯碼方案就是“大數(shù)法則”。 在二元對稱信道中，設(shè)輸入碼字數(shù)為 M ，并且等概率分布，則平均錯誤概率可用漢明距離來表示為 ? ?? ? ? ?? ?? ??????j i,Dn,DY,CijEjijin*ppM1|PM1P??????? 線性分組碼 在介紹線性分組碼的原理之前，首先我們來看一種簡單而又常用的線性分組碼 —— 奇偶監(jiān)督碼（也稱為奇偶校驗碼），分為奇數(shù)監(jiān)督碼和偶數(shù)監(jiān)督碼。無論信息碼元有多少，監(jiān)督碼元只有一位。在偶數(shù)監(jiān)督碼中，監(jiān)督碼元的加入使得每個碼字中“ 1 ”的數(shù)目為偶數(shù)；在奇數(shù)監(jiān)督碼中，監(jiān)督碼元的加入使得每個碼字中“ 1 ”的數(shù)目為奇數(shù)。奇偶監(jiān)督碼是一種( , 1 )nn ?線性分組碼，它的最小碼距2m i n ?d，能夠檢一位錯碼。 線性分組碼的編碼 例如一個（ 7, 3 ）線性分組碼，碼字表示為 (6 5 1 0c , c , , c , c) ，其中456 ,c,cc為信息碼元，0123 ,c,c,cc為監(jiān)督碼元。監(jiān)督碼元由下面線性方程組產(chǎn)生 ????????????????4505614562463ccccccccccccc （ 7. 30 ） 式（ 7. 30 ）確定了由信息元得到監(jiān)督元的規(guī)則，所以稱為監(jiān)督方程或校驗方程。 利用監(jiān)督方程，每給出一個 3 位的信息組，就可編出對應(yīng)的監(jiān)督碼元，如表 7. 1 所示。 表 7. 1 ( 7 , 3 ) 分組碼的信息碼元和監(jiān)督碼元 信息碼元 監(jiān)督碼元 信息碼元 監(jiān)督碼元 000 0000 100 1 1 10 001 1 101 101 001 1 010 01 1 1 1 10 1001 01 1 1010 111 0100 一般地，在( , )nk線性分組碼中，如果 ?TTH C 0 或 ?TC H 0 （ 7. 33 ） 則H稱為( , )nk線性分組碼的監(jiān)督 矩陣（或校驗矩 陣）。式中，1 2 1 0()nnc , c , , c , c???C表示編碼器的輸出碼字；0表示r個 0 元素組成的行向量。 TC、 T0或 TH 分別為C、0、 H 的轉(zhuǎn)置矩陣。 顯然， H 陣共有 r 行n列。 H 陣的每一行都代表一個監(jiān)督方程，它表示與該行中 “ 1” 對應(yīng)的碼元的和為 0 。只要監(jiān)督矩陣 H 給定，編碼時監(jiān)督碼元和信息碼元的關(guān)系就完全確定了。 系統(tǒng)碼的生成矩陣可用分塊矩陣表示為 ? ?? kG I , P ( 7. 41 ) 式中，kI——kk階單位方陣； P ——k ( n k) 矩陣。 式（ 7. 41 ）所示的生成矩陣 G 的前 k 列為單位方陣，稱為生成矩陣的標準形式，簡稱為標準的生成矩陣。相同的碼字空間只對應(yīng)唯一的標準生成矩陣。一般的生成矩陣可通過初等行變換化成標準的生成矩陣。 線性分組碼的譯碼 由上面分析得到如下結(jié)論： （ 1 ） 監(jiān)督子 僅與錯誤圖樣有關(guān)，而與發(fā)送的具體碼字無關(guān)，即 監(jiān)督子 僅由錯誤圖樣決定。 （ 2 ）若?S0，則判斷沒有錯碼出現(xiàn)，它表明接收的碼字是一個許用碼字，當然如果錯碼超過了糾錯能力，也無法檢測出錯碼。若?S0，則判有錯碼出現(xiàn)。 （ 3 ）不同的錯誤圖樣具有不同的 監(jiān)督子 ， 監(jiān)督子 是 H 陣中“與錯誤碼元相對應(yīng)”的各列之和。對于糾一位錯碼的監(jiān)督矩陣， 監(jiān)督子就 是H 陣中與錯誤碼元位置對應(yīng)的各列。 （ n ， k
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