量子力學(xué)期末考試試卷及答案集(編輯修改稿)
2024-09-01 17:27 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 三、（20分） 證明如下關(guān)系式（1）任意角動量算符滿足 。證明 對分量有同理可知，對與分量亦有相應(yīng)的結(jié)果，故欲證之式成立。投影算符是一個(gè)厄米算符，其中，是任意正交歸一的完備本征函數(shù)系。證明 在任意的兩個(gè)狀態(tài)與之下，投影算符的矩陣元為 而投影算符的共軛算符的矩陣元為 顯然，兩者的矩陣元是相同的，由與的任意性可知投影算符是厄米算符。利用證明，其中，為任意正交歸一完備本征函數(shù)系。證明 四、（20分） 在與表象中，在軌道角動量量子數(shù)的子空間中，分別計(jì)算算符、與的矩陣元，進(jìn)而求出它們的本征值與相應(yīng)的本征矢。解 在與表象下，當(dāng)軌道角動量量子數(shù)時(shí)，顯然，算符、與皆為三維矩陣。由于在自身表象中，故是對角矩陣，且其對角元為相應(yīng)的本征值，于是有 （1）相應(yīng)的本征解為 （2）對于算符、而言，需要用到升降算符，即 （3）而 （4）當(dāng)時(shí)，顯然，算符、的對角元皆為零，并且， （5）只有當(dāng)量子數(shù)相差時(shí)矩陣元才不為零，即 （6）于是得到算符、的矩陣形式如下 （7）滿足的本征方程為 （8）相應(yīng)的久期方程為 （9）將其化為 （10）得到三個(gè)本征值分別為 （11）將它們分別代回本征方程，得到相應(yīng)的本征矢為 （12）滿足的本征方程為 （13）相應(yīng)的久期方程為 （14）將其化為 （15）得到三個(gè)本征值分別為 （16）將它們分別代回本征方程，得到相應(yīng)的本征矢為 （17）五、（20分） 由兩個(gè)質(zhì)量皆為、角頻率皆為的線諧振子構(gòu)成的體系，加上微擾項(xiàng)（分別為兩個(gè)線諧振子的坐標(biāo)）后，用微擾論求體系基態(tài)能量至二級修正、第二激發(fā)態(tài)能量至一級修正。 提示： 線諧振子基底之下坐標(biāo)算符的矩陣元為 式中， 。解 體系的哈密頓算符為 （1）其中 （2）已知的解為 （3）其中 （4）將前三個(gè)能量與波函數(shù)具體寫出來 （5） 對于基態(tài)而言，，體系無簡并。利用公式 （6）可知 （7）顯然，求和號中不為零的矩陣元只有 （8）于是得到基態(tài)能量的二級修正為 （9）第二激發(fā)態(tài)為三度簡并，能量一級修正滿足的久期方程為 （10）其中 （11）將上式代入（10）式得到 （12）整理之，滿足
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