數(shù)學(xué)計算機專升本復(fù)習(xí)課(編輯修改稿)
2025-08-21 08:59 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ?00( ) ( )l i m l i m( ) ( )x x x xf x f xg x g x1. ? 0xx 可改為 ??x ； 2.?? ? ? ?00l i m ( ) l i m ( )x x x xf x g x時洛必達法則仍成立； 3. 若不是“00 ”或“?? ”未定式 , 不能使用洛必達法則； 4. 洛必達法則可多次使用； 5. 當(dāng))()(limxgxf??不存在時 , 且不是 ? , 不能說)()(limxgxf不存在 , 只能說此時使用洛必達法則失敗 , 需另想它法 . 說明 ： ??返回 定理 .),(],[)( 內(nèi)可導(dǎo)上連續(xù)，在在設(shè)函數(shù) babaxfy ?上單調(diào)增加；在，那末函數(shù)內(nèi)如果在）（],[)(0)(),(1 baxfyxfba ???.],[)(0)(),()2( 上單調(diào)減少在，那末函數(shù)內(nèi)如果在baxfyxfba ???單調(diào)性判斷定理 例 5 證 當(dāng) 時 試 證 成 立??? ?ln( 1 )1 , .ln 1xxx xx設(shè) ?( ) ln ,f x x x則 ? ??( ) ln 1 .f x x在 上 連 續(xù) 在 上 可 導(dǎo) 且 ??? ?? ?( ) [ 1 , ) , ( 0 , ) , ( ) 0 ,f x f x在 上 單 調(diào) 增 加 ；? ??[ 1 , )即 ? ? ?( 1 ) l n ( 1 ) l n .x x x x利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式 ，? ? ?( 1 ) ( )f x f x故 有 ? ? ?ln( 1 ) .ln 1xxxx有且只有一個實根。證明方程 0a r c t a n4 ??? xx?，設(shè) xxxf a r c t a n4)( ??? ?.1)1( ,4)0( ???? ff ?.)( 至少有一個零點函數(shù) xf.)( 至多有一個零點xf?.)( 單調(diào)增加xf? 0111)(2 ????? xxf又由連續(xù)函數(shù)的零點存在定理知， 有且只有一個實根。0)( ?? xf利用函數(shù)的單調(diào)性討論方程的根。 例 7 證 返回 設(shè)函數(shù))( xf在0x的某個鄰域有定義 , 且當(dāng) x 取0x的某個空心鄰域內(nèi)的值時 , 恒有)()( 0xfxf ?, 則稱)( 0xf為)( xf的一個 極大值 ；如果當(dāng) x 取0x的某個空心鄰域內(nèi)的值時 , 恒有)()( 0xfxf ?, 則稱)( 0xf為)( xf的一個 極小值 . 定義 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為 極值 ,使函數(shù)取得極值的點稱為 極值點 . 注 ：極值是局部性的概念 ,極大值不一定比極小值大 . o xy0x o xy0x定理 1(必要條件 ) 若 )( xf 在極值點 0x 處可導(dǎo)，則 0 ( ) 0 .fx? ?導(dǎo)數(shù)等于零的點稱為 駐 點 . 對可導(dǎo)函數(shù)來講 ,極值點必為駐點 , 但駐點只是極值點的必要條件 ,不是充分條件 . 定理 2(極值存在的第一充分條件 ) xyoxyo0x0x? ?? ?設(shè)函數(shù) )( xf 在 0x 處連續(xù) , 在 0x 的某空心鄰域內(nèi)可導(dǎo) . (1) 若 ),( 00 xxx ??? 時 , 0)( ?? xf , ),( 00 ??? xxx 時 , 0)( ?? xf , 則 0x 為極大值點； ( 2 ) 若 ),( 00 xxx ??? 時 , 0)( ?? xf , ),( 00 ??? xxx 時 , 0)( ?? xf , 則 0x 為極 小 值點； (3) 如果在上述兩個區(qū)間內(nèi) )( xf ? 同號 , 則 0x 不是極值點 . xyo xyo0x 0x???? 一階導(dǎo)數(shù)變號法 定理 3(極值存在的第二充分條件 ) 設(shè)函數(shù) )( xf 在它的駐點 0x 處二階可導(dǎo) , 則 (1) 如果 0)( 0 ??? xf , 則 0x 為極小值點； (2) 如果 0)( 0 ??? xf , 則 0x 為極大值點； (3) 如果 0)( 0 ??? xf , 則無法判斷 . 稱為“二階導(dǎo)數(shù)非零法” ( 2 ) 當(dāng) 0)(0 ??? xf時 , 失效 , 如 : 32 , xx 在 0?x 處 . xyo 0x? ?xyo 0x? ?說明 ： (1) 此 法只適用于駐點 ,不能用于判斷 不可導(dǎo)點； 求最值方法： （ 1 ）求出定義域 內(nèi)部 的極值嫌疑點 ( 駐點和不可導(dǎo)點 )kxx ,1 ?, 并算出函數(shù)值),2,1()( kixf i ?? ； (2) 求出端點的函數(shù)值 )(),( bfaf ； (3) 最大值 ? ?)(),(),(,),(m a x 1 bfafxfxfM k?? 最小值 ? ?)(),(),(,),(m i n 1 bfafxfxfm k?? . 返回 設(shè)函數(shù) )( xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，在 ),( ba 內(nèi)二階可導(dǎo) . 定理 (1) 如果 ,0)( ??? xf ,),( bax ? 則曲線 )( xfy ? 在 ],[ ba 上是 凹的； (2) 如果 ,0)( ??? xf ,),( bax ? 則曲線 )( xfy ? 在 ],[ ba 上是凸 的； 凹凸性判斷定理 返回 曲率的計算公式 ,)( 二階可導(dǎo)設(shè) xfy ?.)1( 232yy?????ddKs??1K? ?曲 率 半 徑曲 率返回 如果在某區(qū)間 I 內(nèi) )()( xfxF ?? , 則稱 I 內(nèi) F ( x )為 f ( x ) 的一個 原函數(shù) . 定義 若 )( xF 是 )( xf 的一個原函數(shù) , 則稱 CxF ?)(為 )( xf 的 不定積分 , 記為 .)()d( CxFxxf ???定義 返回 Ckxxk ??? d)1((k是常數(shù) )。 )。1(1d)2(1??????? ???? Cxxx。lnd)3( ? ?? Cxxx??? xx d1 1)4( 2。a r c t a n Cx ????xxd11)5(2。a r c s i n Cx ?? ?xx dc o
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