【文章內(nèi)容簡介】 立的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的性能影響很大，而且是訓(xùn)練時出現(xiàn)“過擬合”的直接原因，但是目前理論上還沒有一種科學(xué)的和普遍的確定方法。 目前多數(shù)文獻(xiàn)中提出的確定隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)的計(jì)算公式都是針對訓(xùn)練樣本任意多的情況，而且多數(shù)是針對最不利的情況，一般工程實(shí)踐中很難滿足，不宜采用。事實(shí)上，各種計(jì)算公式得到的隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)有時相差幾倍甚至上百倍。為盡可能避免訓(xùn)練時出現(xiàn)“過擬合”現(xiàn)象，保證足夠高的網(wǎng)絡(luò)性能和泛化能力，確定隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)的最基本原則是：在滿足精度要求的前提下取盡可能緊湊的結(jié)構(gòu)，即取盡可能少的隱層節(jié)點(diǎn) 數(shù)。研究表明，隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)不僅與輸入 /輸出層的節(jié)點(diǎn)數(shù)有關(guān)，更與需解決的問題的復(fù)雜程度和轉(zhuǎn)換函數(shù)的形式以及樣本數(shù)據(jù)的特性等因素有關(guān)。 在確定隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)時必須滿足下列條件： (1)隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)必須小于 N1（其中 N 為訓(xùn)練樣本數(shù)），否則，網(wǎng)絡(luò)模型的系統(tǒng)誤差與訓(xùn)練樣本的特性無關(guān)而趨于零，即建立的網(wǎng)絡(luò)模型沒有泛化能力，也沒有任何實(shí)用價值。同理可推得：輸入層的節(jié)點(diǎn)數(shù)（變量數(shù)）必須小于 N1。 (2)訓(xùn)練樣本數(shù)必須多于網(wǎng)絡(luò)模型的連接權(quán)數(shù)，否則，樣本必須分成幾部 分并采用“輪流訓(xùn)練”的方法才可能得到可靠的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。 總之，若 隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)太少，網(wǎng)絡(luò)可能根本不能訓(xùn)練或網(wǎng)絡(luò)性能很差；若隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)太多，雖然可使網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)誤差減小，但一方面使網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練時間延長，另一方面，訓(xùn)練容易陷入局部極小點(diǎn)而得不到最優(yōu)點(diǎn)，也是訓(xùn)練時出現(xiàn)“過擬合”的內(nèi)在原因。因此，合理隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)應(yīng)在綜合考慮網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度和誤差大小的情況下用節(jié)點(diǎn)刪除法和擴(kuò)張法確定。 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練 （一）訓(xùn)練 BP 網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練就是通過應(yīng)用誤差反傳原理不斷調(diào)整網(wǎng)絡(luò)權(quán)值使網(wǎng)絡(luò)模型輸出值與已知的訓(xùn)練樣本輸出值之間的誤差平方和達(dá)到最小或小于某一期望值。雖然理論上早已經(jīng)證明：具有 1 個隱層（采用 Sigmoid 轉(zhuǎn)換函數(shù)）的 BP 網(wǎng)絡(luò)可實(shí)現(xiàn)對任意函數(shù)的任意逼近。但遺憾的是，迄今為止還沒有構(gòu)造性結(jié)論，即在給定有限個（訓(xùn)練）樣本的情況下，如何設(shè)計(jì)一個合理的 BP 網(wǎng)絡(luò)模型并通過向所給的有限個樣本的學(xué)習(xí)（訓(xùn)練）來滿意地逼近樣本所蘊(yùn)含的規(guī)律（函數(shù)關(guān)系，不僅僅是使訓(xùn)練樣本的誤差達(dá)到很?。┑膯栴}，目前在很大程度上還需要依靠經(jīng)驗(yàn)知識和設(shè)計(jì)者的經(jīng)驗(yàn)。因此，通過訓(xùn)練樣本的學(xué)習(xí)（訓(xùn)練）建立合理的 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的過程，在國外被稱為“藝術(shù)創(chuàng)造的過程”，是一個復(fù)雜而又十分煩瑣和困難的過程。 由于 BP 網(wǎng)絡(luò)采用誤差反傳算法，其實(shí)質(zhì)是一 個無約束的非線性最優(yōu)化計(jì)算過程，在網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)較大時不僅計(jì)算時間長，而且很容易限入局部極小點(diǎn)而得不到最優(yōu)結(jié)果。目前雖已有改進(jìn) BP法、遺傳算法（ GA）和模擬退火算法等多種優(yōu)化方法用于 BP網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練 (這些方法從原理上講可通過調(diào)整某些參數(shù)求得全局極小點(diǎn) )，但在應(yīng)用中，這些參數(shù)的調(diào)整往往因問題不同而異，較難求得全局極小點(diǎn)。這些方法中應(yīng)用最廣的是增加了沖量（動量）項(xiàng)和自適應(yīng)調(diào)整的改進(jìn) BP 算法。 （二）學(xué)習(xí)率和沖量系數(shù) 學(xué)習(xí)率影響系統(tǒng)學(xué)習(xí)過程的穩(wěn)定性。大的學(xué)習(xí)率可能使網(wǎng)絡(luò)權(quán)值每一次的修正量過大，甚至?xí)?dǎo)致權(quán)值在修正過程中超 出某個誤差的極小值呈不規(guī)則跳躍而不收斂；但過小的學(xué)習(xí)率導(dǎo)致學(xué)習(xí)時間過長，不過能保證收斂于某個極小值。所以，一般傾向選取較小的學(xué)習(xí)率以保證學(xué)習(xí)過程的收斂性（穩(wěn)定性），通常在 ～ 之間。 增加沖量項(xiàng)的目的是為了避免網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練陷于較淺的局部極小點(diǎn)。理論上其值大小應(yīng)與權(quán)值修正量的大小有關(guān)，但實(shí)際應(yīng)用中一般取常量。通常在 0～ 1 之間，而且一般比學(xué)習(xí)率要大。 （三）網(wǎng)絡(luò)的初始連接權(quán)值 BP算法決定了誤差函數(shù)一般存在（很）多個局部極小點(diǎn)，不同的網(wǎng)絡(luò)初始權(quán)值直接決定了 BP 算法收斂于哪個局部極小點(diǎn)或是全 局極小點(diǎn)。因此，要求計(jì)算程序必須能夠自由改變網(wǎng)絡(luò)初始連接權(quán)值。由于 Sigmoid 轉(zhuǎn)換函數(shù)的特性，一般要求初始權(quán)值分布在～ 之間比較有效。 （四）網(wǎng)絡(luò)模型的性能和泛化能力 訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的首要和根本任務(wù)是確保訓(xùn)練好的網(wǎng)絡(luò)模型對非訓(xùn)練樣本具有好的泛化能力（推廣性），即有效逼近樣本蘊(yùn)含的內(nèi)在規(guī)律，而不是看網(wǎng)絡(luò)模型對訓(xùn)練樣本的擬合能力。從存在性結(jié)論可知，即使每個訓(xùn)練樣本的誤差都很小（可以為零），并不意味著建立的模型已逼近訓(xùn)練樣本所蘊(yùn)含的規(guī)律。因此，僅給出訓(xùn)練樣本誤差（通常是指均方根誤差 RSME 或均 方誤差、 AAE 或 MAPE 等）的大小而不給出非訓(xùn)練樣本誤差的大小是沒有任何意義的。 要分析建立的網(wǎng)絡(luò)模型對樣本所蘊(yùn)含的規(guī)律的逼近情況（能力），即泛化能力，應(yīng)該也必須用非訓(xùn)練樣本（檢驗(yàn)樣本和測試樣本）誤差的大小來表示和評價，這也是之所以必須將總樣本分成訓(xùn)練樣本和非訓(xùn)練樣本而絕不能將全部樣本用于網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的主要原因之一。判斷建立的模型是否已有效逼近樣本所蘊(yùn)含的規(guī)律 ,最直接和客觀的指標(biāo)是從總樣本中隨機(jī)抽取的非訓(xùn)練樣本（檢驗(yàn)樣本和測試樣本）誤差是否和訓(xùn)練樣本的誤差一樣小或稍大。非訓(xùn)練樣本誤差很接近訓(xùn)練樣本誤差或 比其小，一般可認(rèn)為建立的網(wǎng)絡(luò)模型已有效逼近訓(xùn)練樣本所蘊(yùn)含的規(guī)律，否則，若相差很多（如幾倍、幾十倍甚至上千倍）就說明建立的網(wǎng)絡(luò)模型并沒有有效逼近訓(xùn)練樣本所蘊(yùn)含的規(guī)律，而只是在這些訓(xùn)練樣本點(diǎn)上逼近而已，而建立的網(wǎng)絡(luò)模型是對訓(xùn)練樣本所蘊(yùn)含規(guī)律的錯誤反映。因?yàn)橛?xùn)練樣本的誤差可以達(dá)到很小，因此，用從總樣本中隨機(jī)抽取的一部分測試樣本的誤差表示網(wǎng)絡(luò)模型計(jì)算和預(yù)測所具有的精度（網(wǎng)絡(luò)性能）是合理的和可靠的。 值得注意的是，判斷網(wǎng)絡(luò)模型泛化能力的好壞，主要不是看測試樣本誤差大小的本身，而是要看測試樣本的誤差是否接近于訓(xùn) 練樣本和檢驗(yàn)樣本的誤差。 （五）合理網(wǎng)絡(luò)模型的確定 對同一結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)，由于 BP 算法存在（很）多個局部極小點(diǎn)，因此，必須通過多次（通常是幾十次）改變網(wǎng)絡(luò)初始連接權(quán)值求得相應(yīng)的極小點(diǎn)，才能通過比較這些極小點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)誤差的大小，確定全局極小點(diǎn)，從而得到該網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的最佳網(wǎng)絡(luò)連接權(quán)值。必須注意的是，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過程本質(zhì)上是求非線性函數(shù)的極小點(diǎn)問題，因此，在全局極小點(diǎn)鄰域內(nèi)（即使網(wǎng)絡(luò)誤差相同），各個網(wǎng)絡(luò)連接權(quán)值也可能有較大的差異，這有時也會使各個輸入變量的重要性發(fā)生變化，但這與具有多個零極小點(diǎn)（一般稱為多模式現(xiàn)象）（如訓(xùn)練樣本數(shù)少于連接權(quán)數(shù)時）的情況是截然不同的。此外，在不滿足隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)條件時，總也可以求得訓(xùn)練樣本誤差很小或?yàn)榱愕臉O小點(diǎn)，但此時檢驗(yàn)樣本和測試樣本的誤差可能要大得多；若改變網(wǎng)絡(luò)連接權(quán)初始值，檢驗(yàn)樣本和測試樣本的網(wǎng)絡(luò)計(jì)算結(jié)果會產(chǎn)生很大變化，即多模式現(xiàn)象。 對于不同的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，網(wǎng)絡(luò)模型的誤差或性能和泛化能力也不一樣。因此，還必須比較不同網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的模型的優(yōu)劣。一般地，隨著網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的變大，誤差變小。通常，在網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)擴(kuò)大（隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)增加）的過程中，網(wǎng)絡(luò)誤差會出現(xiàn)迅速減小然后趨于穩(wěn)定的一個階段，因此，合理隱層節(jié) 點(diǎn)數(shù)應(yīng)取誤差迅速減小后基本穩(wěn)定時的隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)。 總之，合理網(wǎng)絡(luò)模型是必須在具有合理隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)、訓(xùn)練時沒有發(fā)生“過擬合”現(xiàn)象、求得全局極小點(diǎn)和同時考慮網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度和誤差大小的綜合結(jié)果。設(shè)計(jì)合理 BP網(wǎng)絡(luò)模型的過程是一個不斷調(diào)整參數(shù)的過程，也是一個不斷對比結(jié)果的過程，比較復(fù)雜且有時還帶有經(jīng)驗(yàn)性。這個過程并不是想象的那樣，隨便套用一個公式確定隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)，經(jīng)過一次訓(xùn)練就能得到合理的網(wǎng)絡(luò)模型（這樣建立的模型極有可能是訓(xùn)練樣本的錯誤反映，沒有任何實(shí)用價值）。 雖然神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的類型很多，建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型時 ，根據(jù)研究對象的特點(diǎn)，可以考慮不同的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。 前饋型 BP 網(wǎng)絡(luò)即誤差逆?zhèn)鞑ド窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)是最常用、最流行的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。 BP 網(wǎng)絡(luò)的輸入和輸出關(guān)系可以看成是一種映射關(guān)系，即每一組輸入對應(yīng)一組輸出。由于網(wǎng)絡(luò)中神經(jīng)元作用函數(shù)的非線性，網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)是復(fù)雜的非線性映射。關(guān)于這類網(wǎng)絡(luò)對非線性的逼近能力， Hornikl 等分別利用不同的方法證明了如下一個事實(shí)：僅含有一個隱層的前向網(wǎng)絡(luò)能以任意精度逼近定義在 Rn 的一個緊集上的任意非線性函數(shù)。誤差反向算法是最著名的多層前向網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練算法，盡管存在收斂速度慢、局部極值等缺點(diǎn)，但可通過各種改進(jìn) 措施來提高它的收斂速度、克服局部極值現(xiàn)象，而且具有簡單、易行、計(jì)算量小、并行性強(qiáng)等特點(diǎn)，目前仍是多層前向網(wǎng)絡(luò)的首選算法。 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型參數(shù)的確定 由于傳統(tǒng)的誤差反傳 BP 算法較為成熟，且應(yīng)用廣泛，因此努力提高該方法的學(xué)習(xí)速度具有較高的實(shí)用價值。 BP 算法中有幾個常用的參數(shù)，包括學(xué)習(xí)率 ? ，動量因子 ? ，形狀因子λ及收斂誤差界值 E等。這些參數(shù)對訓(xùn)練速度的影響最為關(guān)鍵。 隱層的數(shù)目 理 論上雖然證明了這類網(wǎng)絡(luò)的逼近能力，對于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的要求，并沒有給出明確的說明。因而在應(yīng)用中神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的結(jié)構(gòu)確定常常有人為的主觀性和藝術(shù)性，缺乏一個指導(dǎo)原則。而網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練與結(jié)構(gòu)緊密相關(guān)，太大的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)在訓(xùn)練時效率不高，而且還會由于過擬合 (overfitting)造成網(wǎng)絡(luò)的性能脆弱，泛化能力 (generalization ability)下降；太小的網(wǎng)絡(luò)可能就根本不收斂?？紤]到本研究的特點(diǎn)，結(jié)合不同隱層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的訓(xùn)練結(jié)果，本文選擇了隱層數(shù) L=1 的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)模型。 隱層神經(jīng)元數(shù)的選擇 隱層神經(jīng)元數(shù)的 選擇是一個十分復(fù)雜的問題。因?yàn)闆]有很好的解析式表示，可以說隱層神經(jīng)元數(shù)與問題的要求、輸入層與輸出層神經(jīng)元的數(shù)量、訓(xùn)練樣本的數(shù)