【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 67。 24 單質(zhì)點(diǎn)彈性體系的地震反應(yīng) 一、地震作用 地震所釋放出來(lái)的能量，以地震波的形式向四周擴(kuò)散，地震波到達(dá)地面后引起地面運(yùn)動(dòng)，使地面上原來(lái)處于靜止的建筑物受到動(dòng)力作用而產(chǎn)生強(qiáng)迫振動(dòng)。在振動(dòng)過(guò)程中，作用在結(jié)構(gòu)上的慣性力就是地震作用。因此，地震作用可以理解為一種能反映地震影響的等效作用。建筑物在地震作用和一般荷載共同作用下，如果結(jié)構(gòu)的內(nèi)力或變形超過(guò)容許數(shù)值時(shí)，那么建筑物就遭到破壞，乃至倒塌。因此，在 結(jié)構(gòu)抗震計(jì)算中，確定地震作用是個(gè)十分重要的問(wèn)題。 地震作用與一般靜載荷不同，它不僅取決于地震烈度大小，而且與建筑物的動(dòng)力特性（結(jié)構(gòu)的自振周期、阻尼）有密切關(guān)系，而一般靜荷載與結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性無(wú)關(guān)，可以獨(dú)立地確定。例如，屋面的雪載只與當(dāng)?shù)氐臍夂驐l件有關(guān)；樓面的使用荷載只取決于房間的用途等等。因此，確定地震作用比確定一般靜荷載要復(fù)雜得多。 目前，我國(guó)和其他許多國(guó)家的抗震設(shè)計(jì)規(guī)范都采用反應(yīng)譜理論來(lái)確定地震作用。這種計(jì)算理論是根據(jù)地震時(shí)地面運(yùn)動(dòng)的實(shí)測(cè)紀(jì)錄，通過(guò)計(jì)算分析所繪制的加速度（在計(jì)算中通常采用加速度相對(duì) 值）反應(yīng)譜曲線為依據(jù)的。 所謂加速度反應(yīng)譜曲線，就是單質(zhì)點(diǎn)彈性體系在一定地震作用下，最大反應(yīng)加速度與體系自振周期的函數(shù)曲線。 如果已知體系的自振周期，那么利用加速度反應(yīng)譜曲線或相應(yīng)公式就可以很方便地確定體系的反應(yīng)加速度，進(jìn)而求出地震作用。 應(yīng)用反應(yīng)譜理論不僅可以解決單質(zhì)點(diǎn)體系的地震反應(yīng)計(jì)算問(wèn)題，而且，在一定假設(shè)條件下，通過(guò)振型組合的方法還可以計(jì)算多質(zhì)點(diǎn)體系的地震反應(yīng)。 反應(yīng)譜理論已經(jīng)成為當(dāng)前抗震設(shè)計(jì)中的主要理論，因?yàn)樗椒ê?jiǎn)單，便于掌握，所以為各國(guó)工程界所廣泛采用。 二、運(yùn)動(dòng)方程的建立 為了研究單質(zhì) 點(diǎn)彈性體系的地震反應(yīng)，我們首先建立體系在地震作用下的運(yùn)動(dòng)方程。圖 21 表示單質(zhì)點(diǎn)彈性體系的計(jì)算簡(jiǎn)圖。 由結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方法可得到單質(zhì)點(diǎn)彈性體系運(yùn)動(dòng)方程： （ 23） 其中 （ t）表示地面水平位移，是時(shí)間 t 的函數(shù)，它的變化規(guī)律可自地震時(shí)地面運(yùn)動(dòng)實(shí)測(cè)記錄求得； （ t）表示質(zhì)點(diǎn)對(duì)于地面的相對(duì)彈性位移或相對(duì)位移反應(yīng)，它也是時(shí)間 t 的函數(shù)，是待求的未知量。 若將式（ 23）與動(dòng)力學(xué)中單質(zhì)點(diǎn)彈性體系在動(dòng)荷載 作用下的運(yùn)動(dòng)方程 （ 24） 進(jìn)行比較，不難發(fā)現(xiàn)兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程基本相同，其區(qū)別僅在于式（ 23）等號(hào)右邊為地震時(shí)地面運(yùn)動(dòng)加速度與質(zhì)量的乘積；而式（ 24）等號(hào)右邊為作用在質(zhì)點(diǎn)上的動(dòng)荷載。由此可見(jiàn)，地面運(yùn)動(dòng)對(duì)質(zhì)點(diǎn)的影響相當(dāng)于在質(zhì)點(diǎn)上加一個(gè)動(dòng)荷載，其值等于 ，指向與地面運(yùn)動(dòng)加速度方向相反。因此，計(jì)算結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)時(shí)，必須知道地面運(yùn)動(dòng)加速度的變化規(guī)律，而 可由地震時(shí)地面加速度記錄得到。 為了使方程進(jìn)一步簡(jiǎn)化，設(shè) （ 25） （ 26） 將上式代入式（ 23），經(jīng)簡(jiǎn) 化后得： （ 27） 式（ 27）就是所要建立的單質(zhì)點(diǎn)彈性體系在地震作用下的運(yùn)動(dòng)微分方程。 三、運(yùn)動(dòng)方程的解答 式（ 27）是一個(gè)二階常系數(shù)線性非齊次微分方程，它的解包含兩個(gè)部分：一個(gè)是對(duì)應(yīng)于齊次微分方程的通解；另一個(gè)是微 分方程的特解。前者代表自由振動(dòng)，后者代表強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)。 （一）齊次微分方程的通解 為求方程（ 27）的全部解答，先討論齊次方程 （ 28）的通解。由微分方程理論可知，其通解為： （ 29） 式中 ； 和 為常數(shù)，其值可由問(wèn)題的初始條件確定。當(dāng)阻尼力為 0時(shí)，式（ 29）變?yōu)椋? （ 210） 式（ 210）為無(wú)阻尼單質(zhì)點(diǎn)體系自由振動(dòng)的通解，表示質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，這里為無(wú)阻尼自振頻率。對(duì)比式（ 29）和式（ 210）可知，有阻尼單質(zhì)點(diǎn)體系的自由振動(dòng)為按指數(shù)函數(shù)衰減的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)頻率為 ，故 稱為有阻尼的自振頻率。 根據(jù)初始條件來(lái)確定常數(shù) 和 。當(dāng) t=0 時(shí)， ， 其中 和 分別為初始位移和初始速度。 將 t=0 和 代入式（ 29）得： 為確定常數(shù) ， 對(duì)時(shí)間 t 求一階導(dǎo)數(shù)，并將 t=0， 代入，得： 將 、 值代入式（ 29）得： （ 211） 上式就是式（ 28）在給定的初始條件時(shí)的解答。 由 和 可以看出，有阻尼自振頻率 隨阻尼系數(shù) 增大而減小，即阻尼愈大，自振頻率愈慢。當(dāng)阻尼系數(shù)達(dá)到某一數(shù)值 時(shí)，即 （ 212）時(shí)，則 ，表示結(jié)構(gòu)不再產(chǎn)生振動(dòng)。這時(shí)的阻尼系數(shù) 稱為臨界阻尼系數(shù)。它是由結(jié)構(gòu)的質(zhì)量 和剛度 決定的，不同的結(jié)構(gòu)有不同的阻尼系數(shù)。而 （ 213） 上式表示結(jié)構(gòu)的阻尼系數(shù) 與臨界阻尼系數(shù) 的比值，所以 稱為臨界阻尼比，簡(jiǎn)稱阻尼比。 在建筑抗震設(shè)計(jì)中，常采用阻尼比 表示結(jié)構(gòu)的阻尼參數(shù)。由于阻尼比 的值很小，它的變化范圍在 ～ 之間，因此，有阻尼自振頻率 和無(wú)阻尼自振頻率很接近，即 。也就是說(shuō)，計(jì)算體系的自振頻率時(shí)，通?？刹豢紤]阻尼的影響。 阻尼比 值可通過(guò)對(duì)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)試驗(yàn)確定。 （二）地震作用下運(yùn)動(dòng)方 程的特解 進(jìn)一步考察運(yùn)動(dòng)方程（ 27） 可以看到，方程與單位質(zhì)量的彈性體系在單位質(zhì)量擾力作用下的運(yùn)動(dòng)方程基本相同，區(qū)別僅在于方程等號(hào)右端為地震地面加速度 ，所以，在求方程的解答時(shí)，可將看作是隨時(shí)間而變化的單位質(zhì)量的“擾力”。 為了便于求方程（ 27）的特解，我們將“擾力” 看作是無(wú)窮多個(gè)連續(xù)作用的微分脈沖， 如圖 22 所示 ?，F(xiàn)在討論任一微分脈沖的作用。設(shè)它在 開(kāi)始作用，作用時(shí)間為 ，此時(shí)微分脈沖的大小為 。顯然，體系在微分脈沖作用后 僅產(chǎn)生自由振動(dòng)。這時(shí)，體系的位移可按式（ 23）確定。但式中的 和 應(yīng)為微分脈沖作用后瞬時(shí)的位移和速度值。 根據(jù)動(dòng)量定理： （ 214） 將 =0 和 的值代入式（ 23），即可求得時(shí)間 作用的微分脈沖所產(chǎn)生的位移反應(yīng) （ 215） 將所有組成擾力的微分脈沖作用效果疊加，就可得到全部加載過(guò)程所引起的總反應(yīng)。因此，將式（ 215）積分，可得時(shí)間為 t 的位移 （ 216） 上式就是非齊次線性微分方程（ 27）的特解，通稱杜哈梅（ Duhamel）積分。它與齊次微分方程（ 28）的通解之和就是微分方程（ 27）的全解。但是，由于結(jié)構(gòu)阻尼的作用，自由振動(dòng)很快就會(huì)衰減，公式（ 29）的影響通?？梢院雎?不計(jì)。 分析運(yùn)動(dòng)方程及其解答可以看到：地面運(yùn)動(dòng)加速度 直接影響體系地震反應(yīng)的大?。欢煌l率（或周期）的單自由度體系，在相同的地面運(yùn)動(dòng)下會(huì)有不同的地震反應(yīng)；阻尼比 對(duì)體系的地震反應(yīng)有直接的影響，阻尼比愈大則彈性反應(yīng)愈小。 167。 25 單質(zhì)點(diǎn)彈性體系水平地震作用 一、水平地震作用基本公式 由結(jié)構(gòu)力學(xué)可知，作用在質(zhì)點(diǎn)上的慣性力等于質(zhì)量 乘以它的絕對(duì)加速度，方向與加速度的方向相反，即 （ 217） 式中 為作用在質(zhì)點(diǎn)上的慣性力。其余符號(hào)意義同前。 如果將式（ 23）代入式（ 217），并考慮到 遠(yuǎn)小于 而略去不計(jì)，則得： （ 218） 由上式可以看到，相對(duì)位移 與慣性力 成正比，因此，可以認(rèn)為在某瞬時(shí)地震作用使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生相對(duì)位移是該瞬時(shí)的慣性力引起的。也就是為什么可以將慣性力理解為一種能反應(yīng)地震影響的等效載荷的原因。 將式（ 216）代入式（ 218），并注意到 和 的微小 差別，令 = ，則得： （ 219） 由上式可見(jiàn)，水平地震作用是時(shí)間 t 的函數(shù)，它的大小和方向隨時(shí)間 t 而變化。在結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)中，并不需要求出每一時(shí)刻的地震作用數(shù)值，而只需求出水平作用的最大絕對(duì)值 。 設(shè) 表 示 水 平 地 震 作 用 的 最 大 絕 對(duì) 值 ， 由 式 （ 219 ） 得 ： （ 220） 或 （ 221） 這里 （ 222） 令 代入式（ 221），并以 代替 ，則得： （ 223） 式中 －水平地震作用標(biāo)準(zhǔn)值； －質(zhì)點(diǎn)加速度最大值； －地震動(dòng)峰值加速度； －地震系數(shù)； －動(dòng)力系數(shù)； －建筑的重力荷載代表值（標(biāo)準(zhǔn)值）。 式（ 223）就是計(jì)算水平地震作用的基本公式。由此可見(jiàn)，求作用在質(zhì)點(diǎn)上的水平地震作用 ，關(guān)鍵在于求出地震系數(shù) 和動(dòng)力系數(shù) 。 二、地震系數(shù) 地震系數(shù) 是地震動(dòng)峰值加速度與重力加速度之比，即 （ 224） 也就是以重力加速度為單位的地震動(dòng)峰值加速度。顯然，地面加速度愈大，地震的影響就愈強(qiáng)烈，即地震烈度愈大。所以，地震系數(shù)與地震烈度有關(guān)，都是地震強(qiáng)烈程度的參數(shù)。 三、動(dòng)力系數(shù) 動(dòng)力系數(shù) 是單質(zhì)點(diǎn)彈性體系在地震作用下反應(yīng)加速度與地面最大加速度之比，即 （ 225） 也就是質(zhì)點(diǎn)最大反應(yīng)加速度對(duì)地面最大加速度放大的倍數(shù)。 四、地震影響系數(shù) 為了簡(jiǎn)化計(jì)算，將上述地震系數(shù) 和動(dòng)力系數(shù) 的乘積用 來(lái)表示，并稱為地震影響系數(shù)。 （ 226） 這樣，式（ 223）可以寫(xiě)成 （ 227） 因?yàn)? （ 228） 所以，地震影響系數(shù) 就是單質(zhì)點(diǎn)彈性體系在地震時(shí)最大反應(yīng)加速 度（以重力加速度g 為單位）。另一方面，若將式（ 227）寫(xiě)成 ，則可以看出，地震影響系數(shù)乃是作用在質(zhì)點(diǎn)上的地震作用與結(jié)構(gòu)重力荷載代表值之比。 《抗震規(guī)范》就是以地震影響系數(shù) 作為抗震設(shè)計(jì)依據(jù)的，其數(shù)值應(yīng)根據(jù)烈度、場(chǎng)地類別、設(shè)計(jì)地震分組以及結(jié)構(gòu)自振周期和阻尼比確定。 這時(shí)水平地震影響系數(shù)曲線按 圖 23 確定，形狀參數(shù)和阻尼調(diào)整系數(shù)應(yīng)按教材規(guī)定調(diào)整。 第三講 荷載與作用（二） 167。 26 多質(zhì)點(diǎn)彈性體系的地震反應(yīng) 前面討論了單質(zhì)點(diǎn)彈性體系的地震反應(yīng)。在實(shí)際工程中，除有些結(jié)構(gòu)可以簡(jiǎn)化成單質(zhì)點(diǎn)體系外，很多工程結(jié)構(gòu)，像多層或高層工業(yè)與 民用建筑等，則應(yīng)簡(jiǎn)化成多質(zhì)點(diǎn)體系來(lái)計(jì)算，這樣才能得出比較切合實(shí)際的結(jié)果。 對(duì)于圖 2 4a 所示的多層框架結(jié)構(gòu)，應(yīng)按集中質(zhì)量法將 和 之間的結(jié)構(gòu)重力荷載、樓面和屋面可變荷載集中于樓面和屋面標(biāo)高處。設(shè)它們的質(zhì)量為 ，并假設(shè)這些質(zhì)點(diǎn)由無(wú)重量的彈性直桿支承于地面上（圖 24b ）。這樣，就可以將多層框架結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化成多質(zhì)點(diǎn)彈性體系，一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于具有 n 層的框架，可簡(jiǎn)化成 n 個(gè)多質(zhì)點(diǎn)彈性體系。 一、多質(zhì)點(diǎn)彈性體系的自由振動(dòng) 為了掌握多質(zhì)點(diǎn)彈性體系地震作用的計(jì)算，需要熟悉多質(zhì)點(diǎn)彈性體系自由振動(dòng)的一些基本內(nèi)容。為了敘述方便起見(jiàn)，我們首先討論兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)彈性體系的自由振動(dòng)，然后再推廣到 n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)的情形。 ㈠ 兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)體系的位移方程及其解答 圖 25 表示兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)體系作自由振動(dòng)， 分別為兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的集中質(zhì)量。設(shè)在振動(dòng)過(guò)程中某瞬時(shí)的位移分別為 ，則作用在 和 上的慣性力分別為。設(shè)不考慮阻尼的影響，根據(jù)疊加原理，可寫(xiě)出質(zhì)點(diǎn) 和 的位移表達(dá)式： 式中 表示在 點(diǎn)作用一個(gè)單位力而在 點(diǎn)所引起的位移，它 的大小反映結(jié)構(gòu)的柔軟程度，故稱它為柔度系數(shù)。 在式 (229) 中，因?yàn)樽宰兞亢退鼈兊亩A導(dǎo)數(shù)在兩個(gè)方程中都出現(xiàn)，所以，它是一個(gè)微分方程組?，F(xiàn)將式 (229) 寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式： 這就表示兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)體系運(yùn)動(dòng)的微分方程組。它的每一項(xiàng)均表示位移，所以稱它為自由振動(dòng)位移方程。 現(xiàn)求方程 (230) 的解。由于 是質(zhì)點(diǎn)位置和時(shí)間 t 的函數(shù)，故可將它們表示為： 式中 分別為與質(zhì)點(diǎn) 1 和 2 位置有關(guān)的函數(shù)， 時(shí)間 t 的函數(shù)。 對(duì)式（ 231 ）對(duì)時(shí)間求兩次導(dǎo)，得： 將式 (231) 、 (232) 代入式 (230) 得： 把上式改寫(xiě)成如下形式： 由上式不難看出，等號(hào)左右項(xiàng)分別是時(shí)間 t 和質(zhì)點(diǎn)位置的函數(shù)，故只有等號(hào)兩邊都等于某一常數(shù)時(shí)上式才能成立。我們用 表示這一常數(shù)，于是得： 將式 (235) 代入式 (233) ，可得： 這是關(guān)于兩個(gè)未知數(shù) 的齊次代數(shù)方程組。顯然， 是一組解答。由式 (231) 可知，這一組零解表示體系處于靜止?fàn)顟B(tài)，而不發(fā)生振動(dòng)，這不是我們需要的解?，F(xiàn)在要求的應(yīng)該是 不同時(shí)為零時(shí)方程 (236) 的可用解，也就是說(shuō)，要使方程（ 2 － 36 ）成立，應(yīng) 是如下行列式為零，即 將上面行列式展開(kāi)，得： 在式 (237) 中，質(zhì)量 、 和柔度系數(shù) 均為常數(shù)，只有是未知數(shù)，故上式是一個(gè)關(guān)于 的二次代數(shù)方程，它的解為： 將上式平開(kāi)方可得 的兩個(gè)正實(shí)根。其中較小的一個(gè)以 表示；另一個(gè)以 表示，將它們分別代入式 (235) ，得： 由單質(zhì)點(diǎn)無(wú)阻尼自由振動(dòng)可知，上兩式的解分別為： 將式 (2 41a ) 代入式 (231) ，可得質(zhì)點(diǎn) 和 對(duì)應(yīng)于 的振動(dòng)方程的特解： 將式 (241b) 代入式 (231) ，可得質(zhì)點(diǎn) 和 對(duì)應(yīng)于 的振動(dòng)方程的特解： 由式 (242) 和 (243) 可知，質(zhì)點(diǎn) 和 均作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，而 為其振動(dòng)頻率。因