基于二叉樹(shù)模型的期權(quán)定價(jià)(編輯修改稿)
2025-07-24 19:13 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 E(ST)=S0erT以上公式說(shuō)明當(dāng)股票價(jià)格上漲概率為p時(shí)，資產(chǎn)的增長(zhǎng)速度由無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r給出。也即股票價(jià)格變化行為正如當(dāng)p為價(jià)格上漲概率時(shí)在風(fēng)險(xiǎn)中性世界我們所期望的那樣，當(dāng)股票按二叉樹(shù)的方式變化時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)是正確的。8 BlackScholes期權(quán)定價(jià)模型模型來(lái)源BlackScholes期權(quán)定價(jià)模型也經(jīng)常被人們叫做BlackScholesMerton期權(quán)定價(jià)模型，主要是用來(lái)進(jìn)行期權(quán)價(jià)格以及收益期望的計(jì)算和估計(jì)。這個(gè)模型的主要研究人員從兩個(gè)不同的方向研究了期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，麥倫斯科爾斯與費(fèi)希爾布萊克利用了資本資產(chǎn)定價(jià)模型來(lái)確定市場(chǎng)對(duì)期權(quán)所要求的回報(bào)與對(duì)股票所要求的回報(bào)之間的關(guān)系。而羅伯特默頓所采用的方法主要采用了風(fēng)險(xiǎn)中性原則。即在一個(gè)很短的時(shí)間段內(nèi)，由股票和期權(quán)給出的投資組合的回報(bào)率可以看做無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。相對(duì)于前面兩位研究者，默頓的方法更具有一般性?，F(xiàn)在為金融研究者熟知并廣泛應(yīng)用的BlackScholes期權(quán)定價(jià)模型正是基于默頓的方法和研究推導(dǎo)出來(lái)的。風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)之前在二叉樹(shù)方法中我們已經(jīng)引入了風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)理論，在BS定價(jià)模型中，風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原則也是非常重要的，布萊克斯科爾斯默頓微分方程不涉及任何受投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)選擇影響的變量。股票的當(dāng)前價(jià)格、到截止日期前時(shí)間、股票價(jià)格波動(dòng)率和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率這些變量是方程中的所有變量，而它們均與風(fēng)險(xiǎn)選擇無(wú)關(guān)。由于布萊克斯科爾斯默頓微分方程與風(fēng)險(xiǎn)選擇無(wú)關(guān)，我們可以利用一種巧妙的方法：如果風(fēng)險(xiǎn)選擇在方程中不出現(xiàn)，那么它不會(huì)影響方程的解。因此，在計(jì)算0時(shí)刻期權(quán)價(jià)格f時(shí)，任何一組風(fēng)險(xiǎn)選擇都可以被當(dāng)做實(shí)際情況進(jìn)行計(jì)算，特別地，可以假設(shè)所有的投資者均是風(fēng)險(xiǎn)中性的。在應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)計(jì)算的過(guò)程中，需要假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的期望收益率為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，由此用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率對(duì)收益期望進(jìn)行貼現(xiàn)求解。對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)中性的投資者而言，他們不愿意用額外的風(fēng)險(xiǎn)換取額外的回報(bào)，因此在分析時(shí)利用風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)可以大大簡(jiǎn)化分析的過(guò)程。模型假設(shè)不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)模型研究的期權(quán)種類(lèi)假定只為歐式期權(quán)股票的價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，而同時(shí)股票的收益率服從正態(tài)分布在期權(quán)有效期內(nèi)，也即到期日前，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和股票的收益變量是常量無(wú)稅收和交易成本9股票在期權(quán)有效期內(nèi)沒(méi)有股息期權(quán)定價(jià)公式BS微分方程+s 2S2182。f182。t+rS182。f182。S12182。2f182。S2=rf的解是關(guān)于看漲期權(quán)與看跌期權(quán)最著名的定價(jià)公式，分別為c=S0N(d1)KerTN(d2)p=KerTN(d2)S0N(d1)式中d1=ln(S0/K)+(r+s2/2)TsTd2= =d1s Tln(S0/K)+(rs2/2)TsT式中的N(x)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率分布函數(shù)，也就是說(shuō)這一函數(shù)等于服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量其值小于x的概率。此外，c表示歐式看漲期權(quán)的價(jià)格，而p則為看跌期權(quán)的價(jià)格，S0表示股票在初始0時(shí)刻的價(jià)格，K為期權(quán)在到期日的執(zhí)行價(jià)格，r表示連續(xù)復(fù)利的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，股票價(jià)格的波動(dòng)率由σ給出，T表示從起始時(shí)刻到執(zhí)行時(shí)刻的時(shí)長(zhǎng)?？紤]最基本的歐式看漲期權(quán)，風(fēng)險(xiǎn)中性世界里，期權(quán)到期時(shí)的期望值是202。[max(STK,0)]式中202。表示在風(fēng)險(xiǎn)中性世界里的期望值。從風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法我們可得，歐式看漲期權(quán)的價(jià)格等于這個(gè)期望值以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)后的現(xiàn)值，也就是說(shuō)c=202。[max(STK,0)]erT10第三章本論期權(quán)定價(jià)的二叉樹(shù)模型在這里我們只討論歐式看漲期權(quán)沒(méi)有股息且無(wú)套利的情況，這是由二叉樹(shù)方法在此條件下有著性質(zhì)十分良好的解析解決定的。由于近些年金融市場(chǎng)的發(fā)展、改革和完善，BlackScholes的初始模型的擬合優(yōu)良程度已不如模型剛問(wèn)世的時(shí)候，我們不斷研究發(fā)展這個(gè)公式，同時(shí)添加各種可能參數(shù)，這樣作為BS公式給出的理論值與二叉樹(shù)方法進(jìn)行比照，這兩種方法的對(duì)照使我們辯證的看待它們的準(zhǔn)確性，具體分析問(wèn)題，討論當(dāng)參數(shù)取值不同時(shí)，BS公式以及二叉樹(shù)方法的合理性，以便及時(shí)判斷誤差是來(lái)自模型本身的系統(tǒng)誤差還是由二叉樹(shù)方法本身所造成的。參數(shù)確定要利用二叉樹(shù)方法進(jìn)行模擬計(jì)算就需要確定模型中的p,u及d。我們?cè)O(shè)置以及選擇這三個(gè)參數(shù)的目的中最終要的就是必須保證股票價(jià)格在時(shí)間Vt內(nèi)的均值以及波動(dòng)的方差都給出合理的值。由于我們假定了風(fēng)險(xiǎn)中性世界，將無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r視為股票的收益率期望，如果資產(chǎn)提供收益率q的收入（如股息），那么資本增值的部分的收益率期望應(yīng)該由rq給出，這意味著在一個(gè)時(shí)間段Vt末，資產(chǎn)價(jià)格的期望值為Se(rq)Dt，式中S為資產(chǎn)在開(kāi)始時(shí)也即0時(shí)刻的價(jià)格。要使二叉樹(shù)模型與回報(bào)期望值相對(duì)應(yīng)，我們應(yīng)有Se(rq)Dt=pSu+(1p)Sd即e(rq)Dt=pu+(1p)d（）將資產(chǎn)價(jià)格在Dt時(shí)間內(nèi)增減變化的百分比變化記為R，那么1+R等于u的概率為p，而其值等于d的概率為1p。由上式以及方差計(jì)算公式得pu2+(1p)d2e2(rq)Dt因?yàn)榧訙p常數(shù)變量方差不變，所以R的方差與1+R的方差相同。由股票價(jià)格服從過(guò)程11dS=mSdt+sSdz以及其離散形式DS=mSDt+sSDz以及其性質(zhì)其中e服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，得DSSDz=eDt:N(mDt,s2Dt)由此可知，當(dāng)Dt很小時(shí)，s Dt近似地等于在Dt時(shí)間內(nèi)股票價(jià)格變化百分比的2方差。因此pu2+(1p)d2e2(rq)Dt=s2Dt由式（）得出，e(rq)Dt(u+d)=pu2+(1p)d2+ud，因此e(rq)Dt(u+d)ude2(rq)Dt=s2Dt（）式（）和（）給出了決定p、u及d的兩個(gè)條件，Cox、Ross和Rubinstein選取的第三個(gè)條件為u=1d（）當(dāng)忽略式中Dt的高階項(xiàng)時(shí)，式（）（）（）的解為p=adudu=esd=esDtDt式中a=e(rq)Dt12變量a有時(shí)也被稱(chēng)為增長(zhǎng)因子。模型中還有很重要的一個(gè)參數(shù)s為股票價(jià)格波動(dòng)率，關(guān)于波動(dòng)率的計(jì)算方法有多種，比較常用的兩種分別為：由歷史股票價(jià)格數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)波動(dòng)率和使用歷史期權(quán)價(jià)格與BS公式的解析解來(lái)反推波動(dòng)率。我們選擇第一種方法求解：首先，我們要獲取n+1個(gè)股票樣本，新定義mi=ln(SiSi1)，根據(jù)股票價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布以及其均值、方差我們可得mi的標(biāo)準(zhǔn)差為st，其中t為時(shí)間區(qū)間的長(zhǎng)度。那么波動(dòng)率的估計(jì)為s=var(m)t，也就是1s = 229。(m im)2nn1i=1t資產(chǎn)價(jià)格樹(shù)形如圖所示，在時(shí)間0時(shí)，股票的價(jià)格S0為已知；在時(shí)刻Dt時(shí)，其價(jià)格有兩種可能的值：S0u，S0d；在時(shí)刻2Dt時(shí)，股票價(jià)格有三種可能的值分別為：S0u2，S0，S0d2；以此類(lèi)推。S0u4S0u3S0u2 S0u2S0u S0uS0 S0 S0S0d S0dS0d2 S0d2S0d3S0d4在一般情形下，在時(shí)刻iDt時(shí)，價(jià)格有取i+1種值的可能，它們是13S0ujdij,j=0,1,Li圖中，計(jì)算每一節(jié)點(diǎn)資產(chǎn)價(jià)格時(shí)，采用了關(guān)系式u=1d，例如，當(dāng)i=3和j=2時(shí)資
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