基于二叉樹模型的期權(quán)定價(編輯修改稿)
2025-07-24 19:13 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 E(ST)=S0erT以上公式說明當股票價格上漲概率為p時，資產(chǎn)的增長速度由無風險利率r給出。也即股票價格變化行為正如當p為價格上漲概率時在風險中性世界我們所期望的那樣，當股票按二叉樹的方式變化時，風險中性定價是正確的。8 BlackScholes期權(quán)定價模型模型來源BlackScholes期權(quán)定價模型也經(jīng)常被人們叫做BlackScholesMerton期權(quán)定價模型，主要是用來進行期權(quán)價格以及收益期望的計算和估計。這個模型的主要研究人員從兩個不同的方向研究了期權(quán)定價問題，麥倫斯科爾斯與費希爾布萊克利用了資本資產(chǎn)定價模型來確定市場對期權(quán)所要求的回報與對股票所要求的回報之間的關(guān)系。而羅伯特默頓所采用的方法主要采用了風險中性原則。即在一個很短的時間段內(nèi)，由股票和期權(quán)給出的投資組合的回報率可以看做無風險利率。相對于前面兩位研究者，默頓的方法更具有一般性?，F(xiàn)在為金融研究者熟知并廣泛應用的BlackScholes期權(quán)定價模型正是基于默頓的方法和研究推導出來的。風險中性定價之前在二叉樹方法中我們已經(jīng)引入了風險中性定價理論，在BS定價模型中，風險中性定價原則也是非常重要的，布萊克斯科爾斯默頓微分方程不涉及任何受投資者對風險選擇影響的變量。股票的當前價格、到截止日期前時間、股票價格波動率和無風險利率這些變量是方程中的所有變量，而它們均與風險選擇無關(guān)。由于布萊克斯科爾斯默頓微分方程與風險選擇無關(guān)，我們可以利用一種巧妙的方法：如果風險選擇在方程中不出現(xiàn)，那么它不會影響方程的解。因此，在計算0時刻期權(quán)價格f時，任何一組風險選擇都可以被當做實際情況進行計算，特別地，可以假設(shè)所有的投資者均是風險中性的。在應用風險中性定價計算的過程中，需要假設(shè)標的資產(chǎn)的期望收益率為無風險利率，由此用無風險利率對收益期望進行貼現(xiàn)求解。對于風險中性的投資者而言，他們不愿意用額外的風險換取額外的回報，因此在分析時利用風險中性假設(shè)可以大大簡化分析的過程。模型假設(shè)不存在無風險套利機會模型研究的期權(quán)種類假定只為歐式期權(quán)股票的價格服從對數(shù)正態(tài)分布，而同時股票的收益率服從正態(tài)分布在期權(quán)有效期內(nèi)，也即到期日前，無風險利率和股票的收益變量是常量無稅收和交易成本9股票在期權(quán)有效期內(nèi)沒有股息期權(quán)定價公式BS微分方程+s 2S2182。f182。t+rS182。f182。S12182。2f182。S2=rf的解是關(guān)于看漲期權(quán)與看跌期權(quán)最著名的定價公式，分別為c=S0N(d1)KerTN(d2)p=KerTN(d2)S0N(d1)式中d1=ln(S0/K)+(r+s2/2)TsTd2= =d1s Tln(S0/K)+(rs2/2)TsT式中的N(x)表示標準正態(tài)分布的概率分布函數(shù)，也就是說這一函數(shù)等于服從標準正態(tài)分布的隨機變量其值小于x的概率。此外，c表示歐式看漲期權(quán)的價格，而p則為看跌期權(quán)的價格，S0表示股票在初始0時刻的價格，K為期權(quán)在到期日的執(zhí)行價格，r表示連續(xù)復利的無風險利率，股票價格的波動率由σ給出，T表示從起始時刻到執(zhí)行時刻的時長。考慮最基本的歐式看漲期權(quán)，風險中性世界里，期權(quán)到期時的期望值是202。[max(STK,0)]式中202。表示在風險中性世界里的期望值。從風險中性定價方法我們可得，歐式看漲期權(quán)的價格等于這個期望值以無風險利率貼現(xiàn)后的現(xiàn)值，也就是說c=202。[max(STK,0)]erT10第三章本論期權(quán)定價的二叉樹模型在這里我們只討論歐式看漲期權(quán)沒有股息且無套利的情況，這是由二叉樹方法在此條件下有著性質(zhì)十分良好的解析解決定的。由于近些年金融市場的發(fā)展、改革和完善，BlackScholes的初始模型的擬合優(yōu)良程度已不如模型剛問世的時候，我們不斷研究發(fā)展這個公式，同時添加各種可能參數(shù)，這樣作為BS公式給出的理論值與二叉樹方法進行比照，這兩種方法的對照使我們辯證的看待它們的準確性，具體分析問題，討論當參數(shù)取值不同時，BS公式以及二叉樹方法的合理性，以便及時判斷誤差是來自模型本身的系統(tǒng)誤差還是由二叉樹方法本身所造成的。參數(shù)確定要利用二叉樹方法進行模擬計算就需要確定模型中的p,u及d。我們設(shè)置以及選擇這三個參數(shù)的目的中最終要的就是必須保證股票價格在時間Vt內(nèi)的均值以及波動的方差都給出合理的值。由于我們假定了風險中性世界，將無風險利率r視為股票的收益率期望，如果資產(chǎn)提供收益率q的收入（如股息），那么資本增值的部分的收益率期望應該由rq給出，這意味著在一個時間段Vt末，資產(chǎn)價格的期望值為Se(rq)Dt，式中S為資產(chǎn)在開始時也即0時刻的價格。要使二叉樹模型與回報期望值相對應，我們應有Se(rq)Dt=pSu+(1p)Sd即e(rq)Dt=pu+(1p)d（）將資產(chǎn)價格在Dt時間內(nèi)增減變化的百分比變化記為R，那么1+R等于u的概率為p，而其值等于d的概率為1p。由上式以及方差計算公式得pu2+(1p)d2e2(rq)Dt因為加減常數(shù)變量方差不變，所以R的方差與1+R的方差相同。由股票價格服從過程11dS=mSdt+sSdz以及其離散形式DS=mSDt+sSDz以及其性質(zhì)其中e服從標準正態(tài)分布，得DSSDz=eDt:N(mDt,s2Dt)由此可知，當Dt很小時，s Dt近似地等于在Dt時間內(nèi)股票價格變化百分比的2方差。因此pu2+(1p)d2e2(rq)Dt=s2Dt由式（）得出，e(rq)Dt(u+d)=pu2+(1p)d2+ud，因此e(rq)Dt(u+d)ude2(rq)Dt=s2Dt（）式（）和（）給出了決定p、u及d的兩個條件，Cox、Ross和Rubinstein選取的第三個條件為u=1d（）當忽略式中Dt的高階項時，式（）（）（）的解為p=adudu=esd=esDtDt式中a=e(rq)Dt12變量a有時也被稱為增長因子。模型中還有很重要的一個參數(shù)s為股票價格波動率，關(guān)于波動率的計算方法有多種，比較常用的兩種分別為：由歷史股票價格數(shù)據(jù)來估計波動率和使用歷史期權(quán)價格與BS公式的解析解來反推波動率。我們選擇第一種方法求解：首先，我們要獲取n+1個股票樣本，新定義mi=ln(SiSi1)，根據(jù)股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布以及其均值、方差我們可得mi的標準差為st，其中t為時間區(qū)間的長度。那么波動率的估計為s=var(m)t，也就是1s = 229。(m im)2nn1i=1t資產(chǎn)價格樹形如圖所示，在時間0時，股票的價格S0為已知；在時刻Dt時，其價格有兩種可能的值：S0u，S0d；在時刻2Dt時，股票價格有三種可能的值分別為：S0u2，S0，S0d2；以此類推。S0u4S0u3S0u2 S0u2S0u S0uS0 S0 S0S0d S0dS0d2 S0d2S0d3S0d4在一般情形下，在時刻iDt時，價格有取i+1種值的可能，它們是13S0ujdij,j=0,1,Li圖中，計算每一節(jié)點資產(chǎn)價格時，采用了關(guān)系式u=1d，例如，當i=3和j=2時資
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