【文章內容簡介】 （ncc） Cncc=零均值歸一化互相關函數(shù)（zncc）Czncc=表22常用平方和準則平方和準則 定義平方和（ssd） Cssd=歸一化平方和（nssd） Cnssd=零均值歸一化平方和(zssd) Czssd=表21和表22中，； （25）； （26）； （27）從上述兩表可以看出，互相關準則和平方和準則是相關聯(lián)的。例如 ZNCC 準則可由ZNSSD 準則推導而來,CZNSSD(P)=2[1 CZNSSD(P)],具體的推導可參考文獻。類似的NCC準則也可以從NSSD推導而來，CNSSD(P)=2[1 CNCC(P)]，同時也可以看出，當目標子區(qū)存在一個線性平移時，利用ZNCC和ZNSSD相關準則計算出來的相關值均不變。因此，ZNCC和 ZNSSD的抗噪聲干擾性能最好，同時對光強的補償和線性放大不敏感。類似的，NCC和NSSD對光強的線性放大不敏感但對光強的補償敏感。CC和SSD對光強的補償和線性放大均比較敏感。在數(shù)字圖像相關方法的求解中，相關搜索的技巧經(jīng)歷了從簡單到復雜，從大計算量到相對小的計算量，從采用經(jīng)典的數(shù)學理論到采用近現(xiàn)代數(shù)學理論的發(fā)展過程。相關算法早期采用的方法是粗—細搜索法，此方法編程簡單，易于實現(xiàn)，其不足是搜索速度慢。針對這個問題，人們提出了十字搜索法，該方法在提高收斂速度方面有所改善。對于較多采用的牛頓迭代法，其相對于粗—細搜索法而言，在很大程度上提高了搜索效率。相關算法有很多種，其中典型算法主要有：粗—細搜索法、雙參數(shù)法、牛頓迭代法和梯度算法等。用相關函數(shù)進行6個變量(迭代計算時, 首先改變u 和v值, 其余4個變量保持不變。當?shù)业较嚓P系數(shù)C的極值時，下一步變化另兩個參數(shù)和，其余4個變量保持不變，迭代求得對應相關系數(shù)極值的和。再接下來變化最后兩個參數(shù)和，計算對應極值相關系數(shù)時的參數(shù)值。完成一輪迭代后，再縮小參數(shù)的變動范圍，重復上述迭代過程，直到滿足迭代的終止條件。此時得到的變量（）便為所求的變形參量。2. 粗—細搜索法每次用1個像素的步長來搜索計算區(qū)域的互相關系數(shù)的極值，便得到整像素位移值。 。實際使用中通常首先對變形前后的數(shù)字圖像進行逐點相關計算，找出使相關系數(shù)C取極值的位置，這是對真實位移的粗搜索，所得位移值即為整像素位移值。然后是細搜索，在粗搜索的基礎上，對子區(qū)分別進行亞像素重建，在重建的圖像上再進行相關搜索，找出使相關系數(shù)C取極值的亞像素值。由于亞像素位置的灰度值必須用插值來獲得，這就決定了這種搜索方法必然是很耗時的。在相關計算中，找到真實位移的條件是相關系數(shù)C能夠達到極值，即將真實位移及其導數(shù)問題轉化為數(shù)值最優(yōu)問題。牛頓迭代法基于逐漸改善初值修正項的計算來得到相關系數(shù)的極值，在解決最優(yōu)問題上是比較好的方法。設需要分析的6個參量為： （28）式中，[ ]t表示轉置，牛頓迭代的基本過程為：（1）預估，選定參數(shù)的初始值.（2）迭代，迭代所用的公式為 (29)式中，i代表迭代次數(shù)；為相關系數(shù) 在點的 Hessian 矩陣，即二階導數(shù)矩陣(3) 控制，滿足時終止迭代，ε表示所設定的允許誤差。(4) 梯度搜索法用f表示變形前的圖像，g表示變形后的圖像，則有 （210）其中(u0,v0)為像素點 (x,y)的位移。為了確定亞像素位移，假設在原圖像中以像素點(x,y)為中心的子區(qū)Ω。對Ω中的第i個點(xi,yi)的位移可表示為：； （211）其中；。代入（27）式可得 (212)為求解方程中的6個未知量，引入，并設迭代過程：,其中 k 表示迭代次數(shù), 其余各項意義分別為： （213） （214）； (215)； (216)這樣通過迭代計算，即可得到點處的位移及其梯度值。上述迭代過程的初值，可以采用十字搜索法尋找一個整像素位移點(U , V)，對于所感興趣區(qū)域中的各測量點，分別重復上述迭代過程，即可得到相應的位移場。梯度法在亞像素搜索精度和速度上有明顯優(yōu)勢。特別適合于微小變形的測量。由于散斑圖記錄的是離散的灰度信息，數(shù)字圖像相關法處理的是數(shù)字的圖像（最小單位為像素），在相關搜索的時候窗口的平移也只能以像素為單位進行，因此相關搜索所能獲得的位移只能是像素的整數(shù)倍。然而在實際應用中，位移值一般不會恰好為整像素，而且由于CCD 攝像機的像素有限，整像素位移定位精度在精密測量中遠遠不夠。在數(shù)字圖像相關方法中，通常采用亞像素定位技術提高測量精度。采用亞像素插值法能夠有效地對散斑圖像進行相關運算。 灰度插值法亞像素位移求解方法主要分為基于灰度插值（或擬合）的亞像素定位法和基于相關系數(shù)插值（或擬合）的亞像素定位法。前者一般采用粗細結合的方法，先以像素為最小單位進行位移搜索，得到的位移值是整像素值；再對離散的灰度進行插值或擬合，得到亞像素位移部分。插值方法主要有雙線性插值和雙三次插值等。而后者主要是假設相關函數(shù)主峰的分布符合某種模型，對整像素相關搜索結果及其周圍相鄰8個點組成的相關系數(shù)矩陣進行擬合或插值，得到一個連續(xù)曲面，然后求該曲面的極值點作為亞像素位移的求解結果。常用的插值方法有高斯曲面插值、拋物面插值和梯度插值等，常用的曲面擬合方法有高斯擬合和二次多項式擬合等。一種常用的最簡單的插值方法是雙線性插值法，其插值函數(shù)為： （217）對于四條邊皆平行于坐標軸的任何矩形平面，有唯一的用于矩形頂點插值的二元線性多項式。假定我們要在一個矩形網(wǎng)格的四個頂點中間一點( x , y )進行插值，并設點(x ,y)由 四 條 邊 都 平 行 于 坐 標 軸 的 矩 形 包 圍 。此 矩 形 的 頂 點 坐 標 是(x0 ,y0)、(x0 , y1)、( x1 ,y0)、( x1 , y1)，二元線性插值的系數(shù)就是由矩形的4個頂點來確定，其函數(shù)值分別為f(x0 ,y0)、f(x0 , y1)、f( x1 ,y0)、f( x1 , y1)，把每一個頂點的坐標代入方程，則系數(shù)滿足如下方程: （218） 聯(lián)立上述四個方程求解得： （219） 如果要得到更好的效果，可以采用更高階的插值算法。雙三次樣條插值有著優(yōu)良的性質。從數(shù)學上看，雙三次樣條函數(shù)近似于分段的二元六次多項式，在節(jié)點處具有一階和二階連續(xù)導數(shù)，光滑程度較高，保證了插值函數(shù)的二階導數(shù)連續(xù)性。這樣雙三次樣條函數(shù)所得到的灰度導數(shù)也將有很好的連續(xù)性。2. 雙三次樣條灰度插值法和雙線性插值方法類似，通過對 x 方向和 y 方向分別進行一次三次樣條插值就可以獲得雙三次樣條插值。用雙三次樣條插值方式對點(x ,y)進行插值，可以表示為 （220） 相關系數(shù)擬合法由于相關系數(shù)矩陣在以最大值為中心的一個單峰區(qū)域上通常近似地滿足高斯分布，因此可以通過擬合的方法得到該區(qū)域的解析曲面函數(shù)，取曲面極值點為目標的亞像素位置。一般采用的擬合方法有高斯擬合和二元多項式擬合，對于相關系數(shù)曲面比較平緩的情況，通常采用二元多項式擬合。擬合函數(shù)為 （221）通常取3 3的擬合窗口，則有 (222) 利用最小二乘法，可以求得上述方程組中的6個系數(shù)。在擬合曲面的極值點處，應滿足： (223)由此可以求解得位移 (224)，然而在許多材料機械性能測試和結構應力分析中，應變場更能反映材料的性能。應變是位移的數(shù)值微分，也就是說如果位移的梯度可以通過算法（如 NewtonRaphson 算法、遺傳算法等）進行算出的話，那么相應地就可以獲得應變場。值得注意的是，由于運用算法計算位移梯度時不可避免地會引入誤差。另外盡管在理論上應變和位移可以用數(shù)值微分的方式來描述，但是微分過程可能會放大位移場中所包含的噪聲。因此如果直接進行數(shù)值微分，計算出來的應變結果顯然是不可靠的。例如，位移的計算誤差為 177。0 .02像素，網(wǎng)格劃分的步長為5個像素，那么用前向差分的方法計算得到的應變誤差為Δε= (177。 +177。)/5 = 8000，用中心差分方法得到的應變誤差為前向差分法的一半也即4000。這些誤差不可避免地會掩蓋被測物體的許多真實應變信息。通過先對位移場進行平滑再進行差分的方法可以提高應變計算的精度?；谶@一考慮，Sutton等提出了一種基于罰函數(shù)有限元方法（FEM）進行位移場平滑，再用微分進行應變計算的理論。這種方法被Shi等應用于計算電子封裝中的熱變形。近年來姚學鋒等對FEM方法進行了改進。另外Wang和Tong分別提出了薄板樣條平滑方法以及其他3種平滑算法來消除位移場中的噪聲。平滑操作后明顯去除了位移場中所包含的噪聲，同時也提高了后續(xù)應變計算的精度。然而用FEM方法或薄板樣條平滑方法進行平滑的過程都是冗長而復雜的。實際中最常用的應變估計方法是Wattrisse和潘兵等提出的逐點局部最小二乘擬合法。為了分析薄板樣件拉伸過程中的局部應變情況，Wattrisse提出了一種基于數(shù)字圖像相關（DIC）方法的從離散和噪聲位移場利用局部最小二乘法來計算應變。為了獲得位移計算邊緣點的應變，需要在圖像邊緣對位移場進行連續(xù)的延伸。潘兵等也提出過類似的理論，讓這種方法更適用于圖像邊緣、孔、裂紋和其他不連續(xù)區(qū)域。對原始的離散位移數(shù)據(jù)用逐點最小二乘擬合的方法來求解應變，由于擬合的過程包含了噪聲的去除，因此所得到的應變精度較直接差分會顯著提高。該方法的基本思想就是用完全二維多項式對離散位移數(shù)據(jù)的局部子區(qū)（含(2M + 1) (2M+ 1)個均勻分布數(shù)據(jù)點的計算窗口，如圖 22 所示）進行分片逐點擬合，利用最小二乘法得到擬合多項式的系數(shù)，由擬合多項式的系數(shù)就很容易得到擬合區(qū)域中間點的對應值和各階導數(shù)，作為該點的平滑和差分的結果。接著，局部子區(qū)移動到下一個待計算點，計算新的數(shù)據(jù)子區(qū)的中心點平滑和差分的結果。為了更好地濾除離散位移數(shù)據(jù)中的噪聲和得到較好的平滑效果，考慮擬合函數(shù)為二維一次多項式。則擬合的位移場為： （225）這里 x, y = ? M ,M為局部位移場中各數(shù)據(jù)點的局部坐標；a0,……,b2 為待求的擬合多項 式 系 數(shù) ；u ( x, y ), v ( x, y )為離散位移數(shù)據(jù)點。得到擬合多項式的系數(shù)a0, b2后，小變形情況下的應變分量即可按下式進行計算：；； （226）對于邊界點、孔洞、裂紋附件區(qū)域由于局部位移數(shù)據(jù)所包含的有效數(shù)據(jù)點要小于(2 M + 1)(2 M+ 1)個，在計算系數(shù)矩陣 X 和位移向量 u ( x, y ), v ( x, y )時可以忽略這些無效的數(shù)據(jù)點。實際上由于待求系數(shù)向量只有三個未知數(shù)，因此只要應變計算窗口中的有效數(shù)據(jù)點大于三個即可。由于通常的應變計算窗口都取在1111 2121點之間，因此以上處理方式是合理可靠的。 本章小結本章介紹了已有的二維數(shù)字圖像相關方法的基本原理及各種相關搜索方法，比較了現(xiàn)有相關系數(shù)表達式的特性，考慮了相關算法對計算精度和速度的影響，對比了不同相關搜索方法的優(yōu)缺點。為本文后續(xù)仿真和實際實驗中相關系數(shù)和搜索方法的選擇提供了依據(jù)。結果可歸納為以下幾點：（1）數(shù)字圖像相關最常用的相關函數(shù)為互相關準則和平方和準則，并且它們是相關聯(lián)的。ZNCC和ZNSSD的抗噪聲干擾性能最好，同時對光強的補償和線性放大不敏感。類似的NCC和NSSD對光強的線性放大不敏感但對光強的補償敏感CC和SSD對光強的補償和線性放大均比較敏感。（2）位移搜索方法中雙參數(shù)法需要進行多次的迭代。粗細搜索法易于操作，但是計算量大且耗時。牛頓迭代和梯度算法在計算效率上都有較大的提高，但是迭代初值的選擇和梯度的計算對計算的效率有至關重要的影響。（3）對于亞像素重構，主要有插值和擬合兩種方法。插值點選擇越多，計算量越大，精度越高，一般折衷取五點插值。相關系數(shù)擬合通常是利用相關系數(shù)矩陣進行擬合得到一個連續(xù)曲面，對于相關系數(shù)曲面比較平緩的情況通?？梢圆捎枚囗検綌M合。第3章 基于仿真數(shù)字散斑圖像的變形測量分析 第3章 基于仿真數(shù)字散斑圖像的變形測量分析 模擬散斑圖的生成原理 本文采用Peng Zhou提出的算法，用若干隨機分布高斯光斑強度迭代的方法模擬變形前后的試件表面的光強分布。首先由計算機模擬生成一幅散斑圖作為變形前的散斑圖，然后對于圖像中的每一點，根據(jù)已知位移和應變找到變形后其所對應的位置，將該點的灰度值作為該位置處的灰度值。假定以高斯函數(shù)模擬散斑顆粒的光強分布，且圖像背景光強均勻則變形前后圖像灰度分布函數(shù)可分別用式(31)和式(32)表示： （31）（32）式中，——模擬散斑顆粒的數(shù)目 ——散斑顆粒的大小i0——高斯光斑的中心光強，通常設為 1——變形前后散斑顆粒的位置由均勻隨機分布函數(shù)產(chǎn)生，也可以根據(jù)具體需要調整隨機分布函數(shù)，而可根據(jù)如下關系得到：