【文章內(nèi)容簡介】 （ncc） Cncc=零均值歸一化互相關(guān)函數(shù)（zncc）Czncc=表22常用平方和準(zhǔn)則平方和準(zhǔn)則 定義平方和（ssd） Cssd=歸一化平方和（nssd） Cnssd=零均值歸一化平方和(zssd) Czssd=表21和表22中，； （25）； （26）； （27）從上述兩表可以看出，互相關(guān)準(zhǔn)則和平方和準(zhǔn)則是相關(guān)聯(lián)的。例如 ZNCC 準(zhǔn)則可由ZNSSD 準(zhǔn)則推導(dǎo)而來,CZNSSD(P)=2[1 CZNSSD(P)],具體的推導(dǎo)可參考文獻(xiàn)。類似的NCC準(zhǔn)則也可以從NSSD推導(dǎo)而來，CNSSD(P)=2[1 CNCC(P)]，同時(shí)也可以看出，當(dāng)目標(biāo)子區(qū)存在一個(gè)線性平移時(shí)，利用ZNCC和ZNSSD相關(guān)準(zhǔn)則計(jì)算出來的相關(guān)值均不變。因此，ZNCC和 ZNSSD的抗噪聲干擾性能最好，同時(shí)對(duì)光強(qiáng)的補(bǔ)償和線性放大不敏感。類似的，NCC和NSSD對(duì)光強(qiáng)的線性放大不敏感但對(duì)光強(qiáng)的補(bǔ)償敏感。CC和SSD對(duì)光強(qiáng)的補(bǔ)償和線性放大均比較敏感。在數(shù)字圖像相關(guān)方法的求解中，相關(guān)搜索的技巧經(jīng)歷了從簡單到復(fù)雜，從大計(jì)算量到相對(duì)小的計(jì)算量，從采用經(jīng)典的數(shù)學(xué)理論到采用近現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論的發(fā)展過程。相關(guān)算法早期采用的方法是粗—細(xì)搜索法，此方法編程簡單，易于實(shí)現(xiàn)，其不足是搜索速度慢。針對(duì)這個(gè)問題，人們提出了十字搜索法，該方法在提高收斂速度方面有所改善。對(duì)于較多采用的牛頓迭代法，其相對(duì)于粗—細(xì)搜索法而言，在很大程度上提高了搜索效率。相關(guān)算法有很多種，其中典型算法主要有：粗—細(xì)搜索法、雙參數(shù)法、牛頓迭代法和梯度算法等。用相關(guān)函數(shù)進(jìn)行6個(gè)變量(迭代計(jì)算時(shí), 首先改變u 和v值, 其余4個(gè)變量保持不變。當(dāng)?shù)业较嚓P(guān)系數(shù)C的極值時(shí)，下一步變化另兩個(gè)參數(shù)和，其余4個(gè)變量保持不變，迭代求得對(duì)應(yīng)相關(guān)系數(shù)極值的和。再接下來變化最后兩個(gè)參數(shù)和，計(jì)算對(duì)應(yīng)極值相關(guān)系數(shù)時(shí)的參數(shù)值。完成一輪迭代后，再縮小參數(shù)的變動(dòng)范圍，重復(fù)上述迭代過程，直到滿足迭代的終止條件。此時(shí)得到的變量（）便為所求的變形參量。2. 粗—細(xì)搜索法每次用1個(gè)像素的步長來搜索計(jì)算區(qū)域的互相關(guān)系數(shù)的極值，便得到整像素位移值。 。實(shí)際使用中通常首先對(duì)變形前后的數(shù)字圖像進(jìn)行逐點(diǎn)相關(guān)計(jì)算，找出使相關(guān)系數(shù)C取極值的位置，這是對(duì)真實(shí)位移的粗搜索，所得位移值即為整像素位移值。然后是細(xì)搜索，在粗搜索的基礎(chǔ)上，對(duì)子區(qū)分別進(jìn)行亞像素重建，在重建的圖像上再進(jìn)行相關(guān)搜索，找出使相關(guān)系數(shù)C取極值的亞像素值。由于亞像素位置的灰度值必須用插值來獲得，這就決定了這種搜索方法必然是很耗時(shí)的。在相關(guān)計(jì)算中，找到真實(shí)位移的條件是相關(guān)系數(shù)C能夠達(dá)到極值，即將真實(shí)位移及其導(dǎo)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)值最優(yōu)問題。牛頓迭代法基于逐漸改善初值修正項(xiàng)的計(jì)算來得到相關(guān)系數(shù)的極值，在解決最優(yōu)問題上是比較好的方法。設(shè)需要分析的6個(gè)參量為： （28）式中，[ ]t表示轉(zhuǎn)置，牛頓迭代的基本過程為：（1）預(yù)估，選定參數(shù)的初始值.（2）迭代，迭代所用的公式為 (29)式中，i代表迭代次數(shù)；為相關(guān)系數(shù) 在點(diǎn)的 Hessian 矩陣，即二階導(dǎo)數(shù)矩陣(3) 控制，滿足時(shí)終止迭代，ε表示所設(shè)定的允許誤差。(4) 梯度搜索法用f表示變形前的圖像，g表示變形后的圖像，則有 （210）其中(u0,v0)為像素點(diǎn) (x,y)的位移。為了確定亞像素位移，假設(shè)在原圖像中以像素點(diǎn)(x,y)為中心的子區(qū)Ω。對(duì)Ω中的第i個(gè)點(diǎn)(xi,yi)的位移可表示為：； （211）其中；。代入（27）式可得 (212)為求解方程中的6個(gè)未知量，引入，并設(shè)迭代過程：,其中 k 表示迭代次數(shù), 其余各項(xiàng)意義分別為： （213） （214）； (215)； (216)這樣通過迭代計(jì)算，即可得到點(diǎn)處的位移及其梯度值。上述迭代過程的初值，可以采用十字搜索法尋找一個(gè)整像素位移點(diǎn)(U , V)，對(duì)于所感興趣區(qū)域中的各測量點(diǎn)，分別重復(fù)上述迭代過程，即可得到相應(yīng)的位移場。梯度法在亞像素搜索精度和速度上有明顯優(yōu)勢(shì)。特別適合于微小變形的測量。由于散斑圖記錄的是離散的灰度信息，數(shù)字圖像相關(guān)法處理的是數(shù)字的圖像（最小單位為像素），在相關(guān)搜索的時(shí)候窗口的平移也只能以像素為單位進(jìn)行，因此相關(guān)搜索所能獲得的位移只能是像素的整數(shù)倍。然而在實(shí)際應(yīng)用中，位移值一般不會(huì)恰好為整像素，而且由于CCD 攝像機(jī)的像素有限，整像素位移定位精度在精密測量中遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。在數(shù)字圖像相關(guān)方法中，通常采用亞像素定位技術(shù)提高測量精度。采用亞像素插值法能夠有效地對(duì)散斑圖像進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算。 灰度插值法亞像素位移求解方法主要分為基于灰度插值（或擬合）的亞像素定位法和基于相關(guān)系數(shù)插值（或擬合）的亞像素定位法。前者一般采用粗細(xì)結(jié)合的方法，先以像素為最小單位進(jìn)行位移搜索，得到的位移值是整像素值；再對(duì)離散的灰度進(jìn)行插值或擬合，得到亞像素位移部分。插值方法主要有雙線性插值和雙三次插值等。而后者主要是假設(shè)相關(guān)函數(shù)主峰的分布符合某種模型，對(duì)整像素相關(guān)搜索結(jié)果及其周圍相鄰8個(gè)點(diǎn)組成的相關(guān)系數(shù)矩陣進(jìn)行擬合或插值，得到一個(gè)連續(xù)曲面，然后求該曲面的極值點(diǎn)作為亞像素位移的求解結(jié)果。常用的插值方法有高斯曲面插值、拋物面插值和梯度插值等，常用的曲面擬合方法有高斯擬合和二次多項(xiàng)式擬合等。一種常用的最簡單的插值方法是雙線性插值法，其插值函數(shù)為： （217）對(duì)于四條邊皆平行于坐標(biāo)軸的任何矩形平面，有唯一的用于矩形頂點(diǎn)插值的二元線性多項(xiàng)式。假定我們要在一個(gè)矩形網(wǎng)格的四個(gè)頂點(diǎn)中間一點(diǎn)( x , y )進(jìn)行插值，并設(shè)點(diǎn)(x ,y)由 四 條 邊 都 平 行 于 坐 標(biāo) 軸 的 矩 形 包 圍 。此 矩 形 的 頂 點(diǎn) 坐 標(biāo) 是(x0 ,y0)、(x0 , y1)、( x1 ,y0)、( x1 , y1)，二元線性插值的系數(shù)就是由矩形的4個(gè)頂點(diǎn)來確定，其函數(shù)值分別為f(x0 ,y0)、f(x0 , y1)、f( x1 ,y0)、f( x1 , y1)，把每一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，則系數(shù)滿足如下方程: （218） 聯(lián)立上述四個(gè)方程求解得： （219） 如果要得到更好的效果，可以采用更高階的插值算法。雙三次樣條插值有著優(yōu)良的性質(zhì)。從數(shù)學(xué)上看，雙三次樣條函數(shù)近似于分段的二元六次多項(xiàng)式，在節(jié)點(diǎn)處具有一階和二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，光滑程度較高，保證了插值函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)性。這樣雙三次樣條函數(shù)所得到的灰度導(dǎo)數(shù)也將有很好的連續(xù)性。2. 雙三次樣條灰度插值法和雙線性插值方法類似，通過對(duì) x 方向和 y 方向分別進(jìn)行一次三次樣條插值就可以獲得雙三次樣條插值。用雙三次樣條插值方式對(duì)點(diǎn)(x ,y)進(jìn)行插值，可以表示為 （220） 相關(guān)系數(shù)擬合法由于相關(guān)系數(shù)矩陣在以最大值為中心的一個(gè)單峰區(qū)域上通常近似地滿足高斯分布，因此可以通過擬合的方法得到該區(qū)域的解析曲面函數(shù)，取曲面極值點(diǎn)為目標(biāo)的亞像素位置。一般采用的擬合方法有高斯擬合和二元多項(xiàng)式擬合，對(duì)于相關(guān)系數(shù)曲面比較平緩的情況，通常采用二元多項(xiàng)式擬合。擬合函數(shù)為 （221）通常取3 3的擬合窗口，則有 (222) 利用最小二乘法，可以求得上述方程組中的6個(gè)系數(shù)。在擬合曲面的極值點(diǎn)處，應(yīng)滿足： (223)由此可以求解得位移 (224)，然而在許多材料機(jī)械性能測試和結(jié)構(gòu)應(yīng)力分析中，應(yīng)變場更能反映材料的性能。應(yīng)變是位移的數(shù)值微分，也就是說如果位移的梯度可以通過算法（如 NewtonRaphson 算法、遺傳算法等）進(jìn)行算出的話，那么相應(yīng)地就可以獲得應(yīng)變場。值得注意的是，由于運(yùn)用算法計(jì)算位移梯度時(shí)不可避免地會(huì)引入誤差。另外盡管在理論上應(yīng)變和位移可以用數(shù)值微分的方式來描述，但是微分過程可能會(huì)放大位移場中所包含的噪聲。因此如果直接進(jìn)行數(shù)值微分，計(jì)算出來的應(yīng)變結(jié)果顯然是不可靠的。例如，位移的計(jì)算誤差為 177。0 .02像素，網(wǎng)格劃分的步長為5個(gè)像素，那么用前向差分的方法計(jì)算得到的應(yīng)變誤差為Δε= (177。 +177。)/5 = 8000，用中心差分方法得到的應(yīng)變誤差為前向差分法的一半也即4000。這些誤差不可避免地會(huì)掩蓋被測物體的許多真實(shí)應(yīng)變信息。通過先對(duì)位移場進(jìn)行平滑再進(jìn)行差分的方法可以提高應(yīng)變計(jì)算的精度?；谶@一考慮，Sutton等提出了一種基于罰函數(shù)有限元方法（FEM）進(jìn)行位移場平滑，再用微分進(jìn)行應(yīng)變計(jì)算的理論。這種方法被Shi等應(yīng)用于計(jì)算電子封裝中的熱變形。近年來姚學(xué)鋒等對(duì)FEM方法進(jìn)行了改進(jìn)。另外Wang和Tong分別提出了薄板樣條平滑方法以及其他3種平滑算法來消除位移場中的噪聲。平滑操作后明顯去除了位移場中所包含的噪聲，同時(shí)也提高了后續(xù)應(yīng)變計(jì)算的精度。然而用FEM方法或薄板樣條平滑方法進(jìn)行平滑的過程都是冗長而復(fù)雜的。實(shí)際中最常用的應(yīng)變估計(jì)方法是Wattrisse和潘兵等提出的逐點(diǎn)局部最小二乘擬合法。為了分析薄板樣件拉伸過程中的局部應(yīng)變情況，Wattrisse提出了一種基于數(shù)字圖像相關(guān)（DIC）方法的從離散和噪聲位移場利用局部最小二乘法來計(jì)算應(yīng)變。為了獲得位移計(jì)算邊緣點(diǎn)的應(yīng)變，需要在圖像邊緣對(duì)位移場進(jìn)行連續(xù)的延伸。潘兵等也提出過類似的理論，讓這種方法更適用于圖像邊緣、孔、裂紋和其他不連續(xù)區(qū)域。對(duì)原始的離散位移數(shù)據(jù)用逐點(diǎn)最小二乘擬合的方法來求解應(yīng)變，由于擬合的過程包含了噪聲的去除，因此所得到的應(yīng)變精度較直接差分會(huì)顯著提高。該方法的基本思想就是用完全二維多項(xiàng)式對(duì)離散位移數(shù)據(jù)的局部子區(qū)（含(2M + 1) (2M+ 1)個(gè)均勻分布數(shù)據(jù)點(diǎn)的計(jì)算窗口，如圖 22 所示）進(jìn)行分片逐點(diǎn)擬合，利用最小二乘法得到擬合多項(xiàng)式的系數(shù)，由擬合多項(xiàng)式的系數(shù)就很容易得到擬合區(qū)域中間點(diǎn)的對(duì)應(yīng)值和各階導(dǎo)數(shù)，作為該點(diǎn)的平滑和差分的結(jié)果。接著，局部子區(qū)移動(dòng)到下一個(gè)待計(jì)算點(diǎn)，計(jì)算新的數(shù)據(jù)子區(qū)的中心點(diǎn)平滑和差分的結(jié)果。為了更好地濾除離散位移數(shù)據(jù)中的噪聲和得到較好的平滑效果，考慮擬合函數(shù)為二維一次多項(xiàng)式。則擬合的位移場為： （225）這里 x, y = ? M ,M為局部位移場中各數(shù)據(jù)點(diǎn)的局部坐標(biāo)；a0,……,b2 為待求的擬合多項(xiàng) 式 系 數(shù) ；u ( x, y ), v ( x, y )為離散位移數(shù)據(jù)點(diǎn)。得到擬合多項(xiàng)式的系數(shù)a0, b2后，小變形情況下的應(yīng)變分量即可按下式進(jìn)行計(jì)算：；； （226）對(duì)于邊界點(diǎn)、孔洞、裂紋附件區(qū)域由于局部位移數(shù)據(jù)所包含的有效數(shù)據(jù)點(diǎn)要小于(2 M + 1)(2 M+ 1)個(gè)，在計(jì)算系數(shù)矩陣 X 和位移向量 u ( x, y ), v ( x, y )時(shí)可以忽略這些無效的數(shù)據(jù)點(diǎn)。實(shí)際上由于待求系數(shù)向量只有三個(gè)未知數(shù)，因此只要應(yīng)變計(jì)算窗口中的有效數(shù)據(jù)點(diǎn)大于三個(gè)即可。由于通常的應(yīng)變計(jì)算窗口都取在1111 2121點(diǎn)之間，因此以上處理方式是合理可靠的。 本章小結(jié)本章介紹了已有的二維數(shù)字圖像相關(guān)方法的基本原理及各種相關(guān)搜索方法，比較了現(xiàn)有相關(guān)系數(shù)表達(dá)式的特性，考慮了相關(guān)算法對(duì)計(jì)算精度和速度的影響，對(duì)比了不同相關(guān)搜索方法的優(yōu)缺點(diǎn)。為本文后續(xù)仿真和實(shí)際實(shí)驗(yàn)中相關(guān)系數(shù)和搜索方法的選擇提供了依據(jù)。結(jié)果可歸納為以下幾點(diǎn)：（1）數(shù)字圖像相關(guān)最常用的相關(guān)函數(shù)為互相關(guān)準(zhǔn)則和平方和準(zhǔn)則，并且它們是相關(guān)聯(lián)的。ZNCC和ZNSSD的抗噪聲干擾性能最好，同時(shí)對(duì)光強(qiáng)的補(bǔ)償和線性放大不敏感。類似的NCC和NSSD對(duì)光強(qiáng)的線性放大不敏感但對(duì)光強(qiáng)的補(bǔ)償敏感CC和SSD對(duì)光強(qiáng)的補(bǔ)償和線性放大均比較敏感。（2）位移搜索方法中雙參數(shù)法需要進(jìn)行多次的迭代。粗細(xì)搜索法易于操作，但是計(jì)算量大且耗時(shí)。牛頓迭代和梯度算法在計(jì)算效率上都有較大的提高，但是迭代初值的選擇和梯度的計(jì)算對(duì)計(jì)算的效率有至關(guān)重要的影響。（3）對(duì)于亞像素重構(gòu)，主要有插值和擬合兩種方法。插值點(diǎn)選擇越多，計(jì)算量越大，精度越高，一般折衷取五點(diǎn)插值。相關(guān)系數(shù)擬合通常是利用相關(guān)系數(shù)矩陣進(jìn)行擬合得到一個(gè)連續(xù)曲面，對(duì)于相關(guān)系數(shù)曲面比較平緩的情況通?？梢圆捎枚囗?xiàng)式擬合。第3章 基于仿真數(shù)字散斑圖像的變形測量分析 第3章 基于仿真數(shù)字散斑圖像的變形測量分析 模擬散斑圖的生成原理 本文采用Peng Zhou提出的算法，用若干隨機(jī)分布高斯光斑強(qiáng)度迭代的方法模擬變形前后的試件表面的光強(qiáng)分布。首先由計(jì)算機(jī)模擬生成一幅散斑圖作為變形前的散斑圖，然后對(duì)于圖像中的每一點(diǎn)，根據(jù)已知位移和應(yīng)變找到變形后其所對(duì)應(yīng)的位置，將該點(diǎn)的灰度值作為該位置處的灰度值。假定以高斯函數(shù)模擬散斑顆粒的光強(qiáng)分布，且圖像背景光強(qiáng)均勻則變形前后圖像灰度分布函數(shù)可分別用式(31)和式(32)表示： （31）（32）式中，——模擬散斑顆粒的數(shù)目 ——散斑顆粒的大小i0——高斯光斑的中心光強(qiáng)，通常設(shè)為 1——變形前后散斑顆粒的位置由均勻隨機(jī)分布函數(shù)產(chǎn)生，也可以根據(jù)具體需要調(diào)整隨機(jī)分布函數(shù)，而可根據(jù)如下關(guān)系得到：