【文章內(nèi)容簡介】 用圖23孤子相互作用在此仿真實驗中，我們發(fā)現(xiàn)了孤子的一些有趣現(xiàn)象，孤子越窄，孤子越高，傳播速度越快，當兩個孤子完全重疊在一起時，孤子的峰部居然下降了，這與我們平常所了解的波的疊加完成不同，這就是非線性效應的有趣現(xiàn)象。分離后，孤子的形狀幾乎不變，只能說相互作用的期間，他們的相位發(fā)生了變化，可以說成是相互作用期間，速度發(fā)生了抖動，因而其也會引起到達終端的時間抖動。上面研究的是兩個傳播速度相差較大的孤子相互的作用，如果他們傳播速度一樣，且相距很近，那么會出現(xiàn)如何的現(xiàn)象，這將在光孤子傳播中討論。在這里第一次感覺到了數(shù)值計算的威力，然而在寫程序的過程中依然遇到了一些嚴重的問題，就是精度與收斂問題，而且這個問題常常會引起計算結(jié)果的發(fā)散以至于完全仿真不了流體孤子的運動情況。開始寫程序時，我利用的是左差商或者是右差商直接代替微商，其精度為自變量的一階無窮小，關于邊緣點的處理，開始的時候也沒有把左右邊緣給連接起來，而是直接把他定義為零不隨時間而變化，這樣子就破壞了初始注入的條件，這樣做導致的結(jié)果就是計算結(jié)果發(fā)散，過不了一會就趨向無窮大。嘗試把步長縮小，結(jié)果還是發(fā)散。后來翻閱了肖筱南先生寫的《現(xiàn)代數(shù)值計算》，采取了一些優(yōu)化方法，例如中心差商代替左差商或右差商和多項式局部插值法代替高階差商，效果才有了比較大的改善，但是發(fā)散的問題還沒有解決，后來我把問題定格在邊緣點的處理上邊去，認為剛開始的方法不能很好的模擬現(xiàn)實的情況，采取的解決方法就是，把左右邊緣點給連接起來計算，這不是隨便亂來的，而是由依據(jù)的，思想基本上就是來源于直線與圓在一定情況下是可以互換的思想。在仿真模擬過程中發(fā)現(xiàn)步長的取法也是要講究的，對于某一些步長結(jié)果是不發(fā)散的，對于另外一些步長結(jié)果卻是發(fā)散的，至今我還是不能夠回答為什么，可能是因為理論不夠扎實吧，自己要親自嘗試一下才知道結(jié)果。對于初次接觸數(shù)值計算，在這一章中得到了好大的鍛煉。第三章 光孤子通信方程下面將結(jié)合所學的相關知識對光孤子的通信方程——非線性薛定諤方程（NLS）做一個全面的了解，認清其物理內(nèi)涵。介質(zhì)中的麥克斯韋方程組為： (31) (32) (33) (34)在光纖介質(zhì)中，自由電荷密度和自由電流密度都為0[7]。所以光纖介質(zhì)中的麥克斯韋方程組為 (35) (36) (37) (38)其中有如下的關系式 (39) (310)在光纖中，傳輸介質(zhì)對磁場并不敏感，所以這里的相對磁導率由于光接收器件對磁場并不敏感，故這里只關注光電場的變化。結(jié)合36~310有 (311) (312)在同一均勻介質(zhì)中可認為束縛電荷，故可認為故，應此光孤子在光纖中傳輸時滿足以下方程。 (313)當一定頻率的外來電磁波作用到電子上面時，電磁波的振蕩電場作用到電子上面（相對于光來說，電子做的是低速運動，因而相對于電場來說，磁場對電子的作用可以忽略不計），使電子以相同的頻率振動同時把入射波的能量部分輻射出去，疊加到原來的電場上面。宏觀的表現(xiàn)即是介質(zhì)的折射率發(fā)生了變化，其決定于極化強度和磁化強度，對此我們著重研究與入射光頻率關系。當入射光波的強度不大和脈寬較寬的情況下，折射率的非線性效應并不明顯可以忽略不計。由于入射光場的作用，引起介質(zhì)的電極化效應，極化率為： (314)虛部代表著介質(zhì)對入射光的吸收 (315) (316)所以折射率 (317)其中為吸收系數(shù)為入射光波的頻率，該公式的具體推導可以參考電電動力學書籍中關于電磁場與電子相互作用的一章當入射光波為窄脈沖高強度光波時，介質(zhì)的非線性效應表現(xiàn)出來，對于克爾型光纖介質(zhì)，存在以下的非線性效應。 (318)對于更加高階情況我們不考慮，則有 (319) (319)為相對電容率，則(320)有了上述準備后，現(xiàn)在我們嘗試建立模型：建立柱坐標，軸沿著光纖中心。入射波的為準單色波，中心角頻率為 ，對于入射光波，我們設 (321) 為慢變包絡，表征電場的瞬變，這里的頻率以負頻來表示，表示矢徑，不是柱坐標中的一個分量，真實的電場取實部，這里為表示方便，用復數(shù)表示，下同同理可設 (322) (323)把321~323分別代入318對應相等的 (324)= (325)式313可進一步變形為 (326)在這里我們進行下列的推導假設 (327)因為為慢變包絡，所以實際處理時我們可以認為為常數(shù)，同時我們假設為的微小擾動，這些假設對于近似描述光孤子的傳輸都是合理的[8]。把式321~323代入式327并且根據(jù)式324，325和以上假設這里的到下面的式子 (328)由于這里的線性色散是入射光的非單色性引起的，故我們轉(zhuǎn)到頻率去研究，并且由于上式是線性方程，故我們可以利用傅里葉把其變換到頻域去研究。 (329)由于前面的電場表示采用的負頻率表示，故這里的變換反了過來[9]。對328進行傅里葉變換得到 (230)即 (331)利用分離變量法設 (332)其中為慢變包絡，為瞬變部分，這里采用的是正頻表示。由電動力學及光纖通信的知識可以知道與光纖的邊界條件決定的光波的模式，因此也決定了傳播，把332代入331得到如下的方程。 (333) (334)為使方程333滿足的系數(shù)，由于為慢變的包絡，故其二階導可以忽略[10]。即 (335)在這里我們只考慮單模光纖的光孤子傳輸方程因為 (336)我們不妨設方程在方程333的其對應的本征值為即有 (337)對于，有近似公式 (338)把該近似式應用到335我們進一步化簡了頻域內(nèi)的波動方程 (339)由于入射光是準單色光 (340)對上式經(jīng)行傅里葉逆變換，我們得到 (341)其中 (342)代入341整理的 (343)通過觀察上述式子，我們可以說反應了色散效應對包絡的影響，反應了非線性項對包絡的影響。反映了光損耗。我們引入?yún)⒖枷?，其以群速度沿著光軸方向傳播，所以可以做如下變換，這樣做就相當于讓時間靜止了下來，以便更好地觀察光脈沖隨傳輸距離的變化是如何變化的。 (344)代入得到下式 (345)下面我們進行歸一化處理，設輸入脈沖的峰值功率為，脈寬為，令 (346)代入345得 (347)下面在對距離進行歸一化處理令，不妨稱為色散長度，代入347的 (348)令，不妨稱其為歸一化光損耗系數(shù)，,這里稱為孤子的階數(shù)，具體為何這樣稱呼，可以參考逆散射法對NLS方程的討論。這樣子便得到了帶損耗系數(shù)的關于光脈沖包絡的非線性薛定諤方程 (349)當為負數(shù)時，也就是說光脈沖在反色散區(qū)傳播時，并且為0即光損壞為0時，上式變簡化為第一章所提到的非線性薛定諤（NLS）方程。本章對光孤子通信方程的來龍去脈做了一個較為全面的了解，但是在這個過程中還是有一些不全面的地方，比如，如果二階色散為零時，那么是不是可以說就不存在色散效應了，那么色散效應與非線性效應如何做到平衡了，這時候就