【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 用圖23孤子相互作用在此仿真實(shí)驗(yàn)中，我們發(fā)現(xiàn)了孤子的一些有趣現(xiàn)象，孤子越窄，孤子越高，傳播速度越快，當(dāng)兩個(gè)孤子完全重疊在一起時(shí)，孤子的峰部居然下降了，這與我們平常所了解的波的疊加完成不同，這就是非線性效應(yīng)的有趣現(xiàn)象。分離后，孤子的形狀幾乎不變，只能說(shuō)相互作用的期間，他們的相位發(fā)生了變化，可以說(shuō)成是相互作用期間，速度發(fā)生了抖動(dòng)，因而其也會(huì)引起到達(dá)終端的時(shí)間抖動(dòng)。上面研究的是兩個(gè)傳播速度相差較大的孤子相互的作用，如果他們傳播速度一樣，且相距很近，那么會(huì)出現(xiàn)如何的現(xiàn)象，這將在光孤子傳播中討論。在這里第一次感覺(jué)到了數(shù)值計(jì)算的威力，然而在寫(xiě)程序的過(guò)程中依然遇到了一些嚴(yán)重的問(wèn)題，就是精度與收斂問(wèn)題，而且這個(gè)問(wèn)題常常會(huì)引起計(jì)算結(jié)果的發(fā)散以至于完全仿真不了流體孤子的運(yùn)動(dòng)情況。開(kāi)始寫(xiě)程序時(shí)，我利用的是左差商或者是右差商直接代替微商，其精度為自變量的一階無(wú)窮小，關(guān)于邊緣點(diǎn)的處理，開(kāi)始的時(shí)候也沒(méi)有把左右邊緣給連接起來(lái)，而是直接把他定義為零不隨時(shí)間而變化，這樣子就破壞了初始注入的條件，這樣做導(dǎo)致的結(jié)果就是計(jì)算結(jié)果發(fā)散，過(guò)不了一會(huì)就趨向無(wú)窮大。嘗試把步長(zhǎng)縮小，結(jié)果還是發(fā)散。后來(lái)翻閱了肖筱南先生寫(xiě)的《現(xiàn)代數(shù)值計(jì)算》，采取了一些優(yōu)化方法，例如中心差商代替左差商或右差商和多項(xiàng)式局部插值法代替高階差商，效果才有了比較大的改善，但是發(fā)散的問(wèn)題還沒(méi)有解決，后來(lái)我把問(wèn)題定格在邊緣點(diǎn)的處理上邊去，認(rèn)為剛開(kāi)始的方法不能很好的模擬現(xiàn)實(shí)的情況，采取的解決方法就是，把左右邊緣點(diǎn)給連接起來(lái)計(jì)算，這不是隨便亂來(lái)的，而是由依據(jù)的，思想基本上就是來(lái)源于直線與圓在一定情況下是可以互換的思想。在仿真模擬過(guò)程中發(fā)現(xiàn)步長(zhǎng)的取法也是要講究的，對(duì)于某一些步長(zhǎng)結(jié)果是不發(fā)散的，對(duì)于另外一些步長(zhǎng)結(jié)果卻是發(fā)散的，至今我還是不能夠回答為什么，可能是因?yàn)槔碚摬粔蛟鷮?shí)吧，自己要親自嘗試一下才知道結(jié)果。對(duì)于初次接觸數(shù)值計(jì)算，在這一章中得到了好大的鍛煉。第三章 光孤子通信方程下面將結(jié)合所學(xué)的相關(guān)知識(shí)對(duì)光孤子的通信方程——非線性薛定諤方程（NLS）做一個(gè)全面的了解，認(rèn)清其物理內(nèi)涵。介質(zhì)中的麥克斯韋方程組為： (31) (32) (33) (34)在光纖介質(zhì)中，自由電荷密度和自由電流密度都為0[7]。所以光纖介質(zhì)中的麥克斯韋方程組為 (35) (36) (37) (38)其中有如下的關(guān)系式 (39) (310)在光纖中，傳輸介質(zhì)對(duì)磁場(chǎng)并不敏感，所以這里的相對(duì)磁導(dǎo)率由于光接收器件對(duì)磁場(chǎng)并不敏感，故這里只關(guān)注光電場(chǎng)的變化。結(jié)合36~310有 (311) (312)在同一均勻介質(zhì)中可認(rèn)為束縛電荷，故可認(rèn)為故，應(yīng)此光孤子在光纖中傳輸時(shí)滿足以下方程。 (313)當(dāng)一定頻率的外來(lái)電磁波作用到電子上面時(shí)，電磁波的振蕩電場(chǎng)作用到電子上面（相對(duì)于光來(lái)說(shuō)，電子做的是低速運(yùn)動(dòng)，因而相對(duì)于電場(chǎng)來(lái)說(shuō)，磁場(chǎng)對(duì)電子的作用可以忽略不計(jì)），使電子以相同的頻率振動(dòng)同時(shí)把入射波的能量部分輻射出去，疊加到原來(lái)的電場(chǎng)上面。宏觀的表現(xiàn)即是介質(zhì)的折射率發(fā)生了變化，其決定于極化強(qiáng)度和磁化強(qiáng)度，對(duì)此我們著重研究與入射光頻率關(guān)系。當(dāng)入射光波的強(qiáng)度不大和脈寬較寬的情況下，折射率的非線性效應(yīng)并不明顯可以忽略不計(jì)。由于入射光場(chǎng)的作用，引起介質(zhì)的電極化效應(yīng)，極化率為： (314)虛部代表著介質(zhì)對(duì)入射光的吸收 (315) (316)所以折射率 (317)其中為吸收系數(shù)為入射光波的頻率，該公式的具體推導(dǎo)可以參考電電動(dòng)力學(xué)書(shū)籍中關(guān)于電磁場(chǎng)與電子相互作用的一章當(dāng)入射光波為窄脈沖高強(qiáng)度光波時(shí)，介質(zhì)的非線性效應(yīng)表現(xiàn)出來(lái)，對(duì)于克爾型光纖介質(zhì)，存在以下的非線性效應(yīng)。 (318)對(duì)于更加高階情況我們不考慮，則有 (319) (319)為相對(duì)電容率，則(320)有了上述準(zhǔn)備后，現(xiàn)在我們嘗試建立模型：建立柱坐標(biāo)，軸沿著光纖中心。入射波的為準(zhǔn)單色波，中心角頻率為 ，對(duì)于入射光波，我們?cè)O(shè) (321) 為慢變包絡(luò)，表征電場(chǎng)的瞬變，這里的頻率以負(fù)頻來(lái)表示，表示矢徑，不是柱坐標(biāo)中的一個(gè)分量，真實(shí)的電場(chǎng)取實(shí)部，這里為表示方便，用復(fù)數(shù)表示，下同同理可設(shè) (322) (323)把321~323分別代入318對(duì)應(yīng)相等的 (324)= (325)式313可進(jìn)一步變形為 (326)在這里我們進(jìn)行下列的推導(dǎo)假設(shè) (327)因?yàn)闉槁儼j(luò)，所以實(shí)際處理時(shí)我們可以認(rèn)為為常數(shù)，同時(shí)我們假設(shè)為的微小擾動(dòng)，這些假設(shè)對(duì)于近似描述光孤子的傳輸都是合理的[8]。把式321~323代入式327并且根據(jù)式324，325和以上假設(shè)這里的到下面的式子 (328)由于這里的線性色散是入射光的非單色性引起的，故我們轉(zhuǎn)到頻率去研究，并且由于上式是線性方程，故我們可以利用傅里葉把其變換到頻域去研究。 (329)由于前面的電場(chǎng)表示采用的負(fù)頻率表示，故這里的變換反了過(guò)來(lái)[9]。對(duì)328進(jìn)行傅里葉變換得到 (230)即 (331)利用分離變量法設(shè) (332)其中為慢變包絡(luò)，為瞬變部分，這里采用的是正頻表示。由電動(dòng)力學(xué)及光纖通信的知識(shí)可以知道與光纖的邊界條件決定的光波的模式，因此也決定了傳播，把332代入331得到如下的方程。 (333) (334)為使方程333滿足的系數(shù)，由于為慢變的包絡(luò)，故其二階導(dǎo)可以忽略[10]。即 (335)在這里我們只考慮單模光纖的光孤子傳輸方程因?yàn)? (336)我們不妨設(shè)方程在方程333的其對(duì)應(yīng)的本征值為即有 (337)對(duì)于，有近似公式 (338)把該近似式應(yīng)用到335我們進(jìn)一步化簡(jiǎn)了頻域內(nèi)的波動(dòng)方程 (339)由于入射光是準(zhǔn)單色光 (340)對(duì)上式經(jīng)行傅里葉逆變換，我們得到 (341)其中 (342)代入341整理的 (343)通過(guò)觀察上述式子，我們可以說(shuō)反應(yīng)了色散效應(yīng)對(duì)包絡(luò)的影響，反應(yīng)了非線性項(xiàng)對(duì)包絡(luò)的影響。反映了光損耗。我們引入?yún)⒖枷?，其以群速度沿著光軸方向傳播，所以可以做如下變換，這樣做就相當(dāng)于讓時(shí)間靜止了下來(lái)，以便更好地觀察光脈沖隨傳輸距離的變化是如何變化的。 (344)代入得到下式 (345)下面我們進(jìn)行歸一化處理，設(shè)輸入脈沖的峰值功率為，脈寬為，令 (346)代入345得 (347)下面在對(duì)距離進(jìn)行歸一化處理令，不妨稱為色散長(zhǎng)度，代入347的 (348)令，不妨稱其為歸一化光損耗系數(shù)，,這里稱為孤子的階數(shù)，具體為何這樣稱呼，可以參考逆散射法對(duì)NLS方程的討論。這樣子便得到了帶損耗系數(shù)的關(guān)于光脈沖包絡(luò)的非線性薛定諤方程 (349)當(dāng)為負(fù)數(shù)時(shí)，也就是說(shuō)光脈沖在反色散區(qū)傳播時(shí)，并且為0即光損壞為0時(shí)，上式變簡(jiǎn)化為第一章所提到的非線性薛定諤（NLS）方程。本章對(duì)光孤子通信方程的來(lái)龍去脈做了一個(gè)較為全面的了解，但是在這個(gè)過(guò)程中還是有一些不全面的地方，比如，如果二階色散為零時(shí)，那么是不是可以說(shuō)就不存在色散效應(yīng)了，那么色散效應(yīng)與非線性效應(yīng)如何做到平衡了，這時(shí)候就