【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 （）很容易證明矩陣K是對(duì)稱(chēng)的?？紤]向量的變分可以得到 （） 很容易看出矩陣的子矩陣為 （） 因此有 （）這就證明了矩陣是對(duì)稱(chēng)矩陣。對(duì)于二次泛函，由（）式可以得到 （）與（）式比較就得到 （）因此K矩陣亦是對(duì)稱(chēng)矩陣。 由變分得到求解方程系數(shù)矩陣的對(duì)稱(chēng)性是一個(gè)極為重要的特性，它將為有限元法計(jì)算帶來(lái)很大的方便。 對(duì)于二次泛函，根據(jù)（）式可以將近似泛函表示為 （）上式的正確性用簡(jiǎn)單求導(dǎo)就可以證明。取上式的泛函的變分 （）由于矩陣K的對(duì)稱(chēng)性，就有 （）因此 （）因?yàn)槭侨我獾?，這樣就得到()式 里茲法的實(shí)質(zhì)是從一族假定解中尋求滿(mǎn)足泛函變分的“最好的”解。顯然，近似解的精度與試探函數(shù)的選擇有關(guān)。如果知道所求解的一般性質(zhì)，那么可以通過(guò)選擇反映此性質(zhì)的試探函數(shù)來(lái)改進(jìn)近似解，提高近似解的精度。若精確解恰巧包含在試探函數(shù)族中，則里茲法得到精確解。 ，并作簡(jiǎn)單的討論。問(wèn)題的微分方程是 邊界條件是 此為強(qiáng)制邊界條件。由于算子是線性自伴隨的。得到泛函為 具體過(guò)程由讀者自己完成。選取兩種試探函數(shù)形式，用里茲法求解。（1） 選取滿(mǎn)足邊界條件的一項(xiàng)多項(xiàng)式近似解（加權(quán)余量法中選取的一項(xiàng)解相同） 則有 代入式得到用待定參數(shù)表示泛函為 由泛函變分為零 解得 近似解為 與伽遼金法求解的結(jié)果相同。：當(dāng)問(wèn)題存在自然變分原理時(shí)，里茲法和伽遼金法所得到的結(jié)果相同的。（1） 取近似解為 滿(mǎn)足時(shí)，；但還要求x=1時(shí)，則應(yīng)有 近似解為 一階導(dǎo)數(shù)為 代入式得到 解得 近似解為 由于所選擇用的試探函數(shù)族正好包含了問(wèn)題的精確解，因此現(xiàn)在的里茲解就是精確解，即。一般地說(shuō)，采用里茲法求解，當(dāng)試探函數(shù)族的范圍以及待定參數(shù)的數(shù)目增多時(shí)，近似解的精度將會(huì)得到提高?，F(xiàn)在簡(jiǎn)要地介紹一下有關(guān)里茲法收斂性在理論上的結(jié)論。為便于討論，假設(shè)未知場(chǎng)函數(shù)只是標(biāo)量場(chǎng)，此時(shí)泛函有如下形式 近似函數(shù)為當(dāng)趨近于無(wú)窮時(shí)，近似解收斂于微分方程精確解的條件如下。（1）試探函數(shù)應(yīng)取自完備函數(shù)系列。滿(mǎn)足此要求的試探函數(shù)稱(chēng)為是完備的。 （2）試探函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足連續(xù)性要求，即（）式表示的泛函中場(chǎng)函數(shù)最高微分階數(shù)是時(shí)，試探函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)應(yīng)是連續(xù)的，以保證泛函中的積分存在。滿(mǎn)足此要求的試探函數(shù)稱(chēng)為協(xié)調(diào)的。若試探函數(shù)滿(mǎn)足上述完備性和具有連續(xù)性的要求，則當(dāng)時(shí)，并且單調(diào)地收斂于，即泛函具有極值性。由于里茲法以變分原理為基礎(chǔ)，其收斂性有嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)；得到的求解方程的系數(shù)矩陣是對(duì)稱(chēng)的；而且在場(chǎng)函數(shù)事先滿(mǎn)足強(qiáng)制邊界條件（此條件通常不難實(shí)現(xiàn)）情況下，通解具有明確的上、下界等性質(zhì)。長(zhǎng)期以來(lái)，在物理和力學(xué)微分方程的近似解法中占有很重要的位置，得到廣泛的應(yīng)用。但是由于它是在全求解域中定義試探函數(shù)，實(shí)際應(yīng)用中會(huì)遇到兩方面的困難，即（1）在求解域比較復(fù)雜的情況下，選取滿(mǎn)足邊界條件的試探函數(shù)，往往會(huì)產(chǎn)生難以克服的困難。（2） 為了提高近似解的精度，需要增加待定參數(shù)，即增加試探函數(shù)的項(xiàng)數(shù)，這就增加了求解的繁雜性。而且由于試探函數(shù)定義于全域，因此不可能根據(jù)問(wèn)題的要求在求解域的不同部位對(duì)試探函數(shù)提出不同精度要求，往往由于局部精度的要求使整個(gè)問(wèn)題的求解增加許多困難。而同樣是建立于變分微分原理基礎(chǔ)上的有限元法，雖然在本質(zhì)上和里茲法是類(lèi)似的，但由于近似函數(shù)在子域（單元上）定義，因此可以克服上述兩個(gè)方面的困難；并和現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)想結(jié)合，成為物理、力學(xué)以及其他廣泛科學(xué)技術(shù)和工程領(lǐng)域?qū)嶋H問(wèn)題進(jìn)行分析和求解的有效工具，并得到愈來(lái)愈廣泛的應(yīng)用。第三章 彈性力學(xué)的基本方程和變分原理在有限元法中經(jīng)常要用到彈性力學(xué)的基本方程和與之等效的變分原理，現(xiàn)將它們連同相應(yīng)的矩陣和張量表達(dá)式形式綜合引述于后。關(guān)于它們的詳細(xì)推導(dǎo)可從彈性力學(xué)的有關(guān)教材中查到。 彈性力學(xué)基本方程的矩陣形式彈性體在載荷作用下，體內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可由6個(gè)應(yīng)力分量來(lái)表示。其中為正應(yīng)力；為剪應(yīng)力。應(yīng)力分量的正負(fù)號(hào)規(guī)定如下：如果某一面的外法線方向與坐標(biāo)軸的正方向一致，這個(gè)面上的應(yīng)力分量就以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?，與坐標(biāo)軸反向?yàn)樨?fù)；相反，如果某一個(gè)面的外法線方向與坐標(biāo)軸的負(fù)方向一致，這個(gè)面上的應(yīng)力分量就以沿坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)檎?，與坐標(biāo)軸同向?yàn)樨?fù)。 應(yīng)力分量的矩陣表示稱(chēng)為應(yīng)力列陣或應(yīng)力向量，即 彈性體在載荷作用下，還將產(chǎn)生位移和變形，即彈性體位置的移動(dòng)和形狀的改變。彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的位移可由沿直角坐標(biāo)軸方向的3個(gè)位移分量來(lái)表示，它的矩陣形式是 稱(chēng)作位移陣或位移向量。彈性體內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)變，可以由6個(gè)應(yīng)變分量來(lái)表示。其中為正應(yīng)變；為剪應(yīng)變。應(yīng)變的正負(fù)號(hào)與應(yīng)力的正負(fù)號(hào)相對(duì)應(yīng)，即應(yīng)變以伸長(zhǎng)時(shí)為正，縮短為負(fù)；剪應(yīng)變是以?xún)蓚€(gè)沿坐標(biāo)軸正方向的線段組成的直角變小為正，反之為負(fù)。應(yīng)變的矩陣形式是 稱(chēng)作應(yīng)變列陣或應(yīng)變向量。對(duì)于三維問(wèn)題，彈性力學(xué)基本方程可寫(xiě)成如下形式。1. 平衡方程彈性體域內(nèi)任一點(diǎn)沿坐標(biāo)軸方向的平衡方程為 其中為單位體積的體積力在方向的分量。且有。平衡方程的矩陣形式為（在內(nèi)） 其中，是微分算子，即 是體積力向量，2. 幾何方程——應(yīng)變位移關(guān)系在微小位移和微小變形的情況下，略去位移導(dǎo)數(shù)的高次冪，則應(yīng)變向量和位移向量間的幾何關(guān)系為 幾何方程的矩陣形式為（在內(nèi)） 其中為微分算子，即 2. 物理方程——應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性力學(xué)中應(yīng)力應(yīng)變之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系也稱(chēng)彈性關(guān)系。對(duì)于各向同性的線彈性材料，應(yīng)力通過(guò)應(yīng)變的表達(dá)式可用矩陣形式表示為 其中稱(chēng)對(duì) 稱(chēng)為彈性矩陣。它完全取決于彈性體材料的彈性模量和泊松比。表征彈性體的彈性，也可以采用拉梅(Lam’e)常數(shù)和，它們和，的關(guān)系如下 也稱(chēng)為剪切彈性模量。注意到 物理方程中的彈性矩陣亦可表示為稱(chēng)對(duì) 物理方程的另一種形式是 其中：C是柔度矩陣。,它和彈性矩陣是互逆關(guān)系。彈性體V的全部邊界為S。一部分邊界上已知外力稱(chēng)為力的邊界條件，這部分邊界用表示；另一部分邊界上已知位移，稱(chēng)為幾何邊界條件或位移邊界條件，這部分邊界用表示。這兩部分邊界構(gòu)成彈性體的全部邊界，即力的邊界條件彈性體在邊界上單位面積的內(nèi)力為，在邊界上已知彈性體單位面積上作用的面積力為，根據(jù)平衡應(yīng)有 設(shè)邊界外法線的方向余弦為，則邊界上彈性體的內(nèi)力可由下式確定 () 式的矩陣形式為（在上）其中 幾何邊界條件在上彈性體的位移已知為，即有 用矩陣形式表示： （在上）以上是三維彈性力學(xué)問(wèn)題中的一組基本方程和邊界條件，同樣，對(duì)于平面問(wèn)題，軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題等也可以得到類(lèi)似的方程和邊界條件。把彈性力學(xué)方程記作一般形式，它們是：平衡方程 （在V內(nèi)）幾何方程 （在V內(nèi)）物理方程 （在V內(nèi)）邊界條件 （在內(nèi)） （在上）并有，S為彈性體全部邊界。對(duì)于不同類(lèi)型問(wèn)題，幾何方程和物理方程的有關(guān)矩陣符號(hào)的意義匯集于表。板與殼的基本方程將分別在本書(shū)有關(guān)章節(jié)中給出。彈性體的應(yīng)變能和余能單位體積的應(yīng)變能（應(yīng)變能密度）為 應(yīng)變能是個(gè)正定函數(shù)，只有當(dāng)彈性體內(nèi)所有的點(diǎn)都沒(méi)有應(yīng)變時(shí)，應(yīng)變能才為零。單位體積的余能（余能密度）為 余能也是個(gè)正定函數(shù)。在線性彈性力學(xué)中彈性體的應(yīng)變能等于余能。彈性力學(xué)基本方程亦可用笛卡兒張量符號(hào)來(lái)表示，使用附標(biāo)求和的約定可以得到十分簡(jiǎn)練的方程表達(dá)式。在直角坐標(biāo)系中，應(yīng)力張量和應(yīng)變張量都有是對(duì)稱(chēng)的二階張量，分別用和表示，且有和，其他位移張量、體積力張量、面積力張量等都是一階張量。用等表示。下面將分別給出彈性力學(xué)基本方程及邊界條件的張量形式和張量形式的展開(kāi)式。平衡方程 （在V內(nèi)） （i=1，2，3）式中下標(biāo)“”表示對(duì)獨(dú)立坐標(biāo)求偏導(dǎo)數(shù)，式中項(xiàng)中的下標(biāo)“”重復(fù)出現(xiàn)兩次，表示該項(xiàng)在該指標(biāo)的取值范圍（1，2，3）內(nèi)遍歷求和。該重復(fù)指標(biāo)稱(chēng)為啞指標(biāo)。（）式的展開(kāi)形式是 。和（）式比較可見(jiàn)，當(dāng)是笛卡兒坐標(biāo)時(shí)，則；；；；；幾何方程 （在V內(nèi)） （）其展開(kāi)形式是 與（）式比較可見(jiàn)，當(dāng)是笛卡兒坐標(biāo)時(shí)，則；；；；；物理方程廣義虎克定律假定每個(gè)應(yīng)力分量與各個(gè)應(yīng)變分量成比例。廣義虎克定律可以用張量符號(hào)表示為（在V內(nèi)） （）81個(gè)比例常數(shù)稱(chēng)為彈性常數(shù)，是四階張量。由于應(yīng)力張量是對(duì)稱(chēng)張量，因此張量的二個(gè)前指標(biāo)具有對(duì)稱(chēng)性。同理，由于應(yīng)變張量也是對(duì)稱(chēng)張量，的二個(gè)后指標(biāo)也具有對(duì)稱(chēng)性，即有 當(dāng)變形過(guò)程是絕熱或等溫過(guò)程時(shí)，還有考慮了上述對(duì)稱(chēng)性后，對(duì)于最一般的線彈性材料，即在不同方向具有不同彈性性質(zhì)的材料，81個(gè)彈性常數(shù)中有21個(gè)是獨(dú)立的。對(duì)于各向同性的線彈性材料，獨(dú)立的彈性常數(shù)只有兩個(gè)，即拉梅常數(shù)和或彈性模量和泊松比，此時(shí)彈性張量可以簡(jiǎn)化為此時(shí)廣義虎克定律可以表示為其中 式的展開(kāi)形式為上面兩式中拉梅常數(shù)G，與彈性模量E和泊松比的關(guān)系見(jiàn)（）式物理方程的另一種形式為其中是柔度張量，它和剛度張量有互逆關(guān)系。力的邊界條件 （在上） （i=1，2，3）其中是邊界外法線的三個(gè)方向余弦將（）式代入（）式后，它的展開(kāi)形式有 (在上) （）位移邊界條件 (在上) (i=1，2，3)應(yīng)變能和余能單位體積應(yīng)變能單位體積余能 平衡方程和幾何方程的等效積分“弱”形式——虛功原理變形體的虛功原理可以敘述如下：變形體中任意滿(mǎn)足平衡力系在任意滿(mǎn)足協(xié)調(diào)條件的變形狀態(tài)上作的虛功等于零，即體系外力的虛功與內(nèi)力的虛功之和等于零。虛功原理是虛位移原理和虛應(yīng)力原理的總稱(chēng)。它們都可以認(rèn)為是與某些控制方程相等效的積分弱形式。虛位移原理是平衡方程和力的邊界條件的等效積分弱形式；虛應(yīng)力原理則是幾何方程和位移邊界條件的等效積分弱形式。為了方便，我們使用張量符號(hào)推演，并將給出結(jié)果的矩陣表達(dá)形式。虛位移原理首先考慮平衡方程 （在V內(nèi)） （i=1，2，3）以及力的邊界條件 （在上） （i=1，2，3）可以利用式（）建立與它們等效的積分形式，現(xiàn)在平衡方程相當(dāng)于；力的邊界條件相當(dāng)于。權(quán)函數(shù)可不失一般地分別取真實(shí)位移的變分及其邊界值（取負(fù)值）。這樣就可以得到與（）式相當(dāng)?shù)牡刃Хe分。是真實(shí)位移的變分，就意味著它是連續(xù)可導(dǎo)的，同時(shí)在給定位移的邊界上。對(duì)上式體積分中的第1項(xiàng)進(jìn)行分部積分，并注意到應(yīng)力張量是對(duì)稱(chēng)張量，則可以得到通過(guò)幾何方程（）式可見(jiàn)，式中表示的正是應(yīng)變的變分，即虛應(yīng)變。以此表示代入，并將上式代回()式，就得到它經(jīng)分部積分后的弱形式上式體積分中的第一項(xiàng)是變形體內(nèi)的應(yīng)力的虛應(yīng)變上所作之功，即內(nèi)力的虛功；體積分中的第二項(xiàng)及面積分分別是體積力和面積力在虛位移上所做之功；即外務(wù)的虛功。外力的虛功和內(nèi)力的虛功的總和為零，這就是虛功原理?，F(xiàn)在的虛功是外力和內(nèi)力分別在虛位移和與之相對(duì)應(yīng)的虛應(yīng)變上所作之功。所以得到是虛功原理中的虛位移原理。它是平衡方程和力的邊