【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 上述彎曲行波上質(zhì)點(diǎn)的橢圓運(yùn)動(dòng)的分析，可以得到這樣的結(jié)論：彎曲行波使彈性體上的質(zhì)點(diǎn)有一個(gè)橫向振動(dòng)分量，即在行波中存在著 橫向振動(dòng)波，且與行波的相角湘潭大學(xué)興湘學(xué)院 10 (c) (a) ? w x 圖 駐波的形成 ? 壓電陶瓷 彈性體 壓電陶瓷的變 形 壓電陶瓷的變形 電源 電源 (b) 壓電陶瓷 彈性體 差為 90o，才形成了質(zhì)點(diǎn)的橢圓運(yùn)動(dòng)軌跡。但這個(gè)橫向振動(dòng)波的振幅較小，這對(duì)于橢圓運(yùn)動(dòng)的合成不利，會(huì)直接影響這種行波電機(jī)的輸出特性，所以提高橫向振動(dòng)振幅是很關(guān)鍵的問(wèn)題。在以后的分析中，將會(huì)提出解決這個(gè)問(wèn)題的方法。 駐波的產(chǎn)生及行波的合成 如圖 所示，將極化方向相反的壓電陶瓷依次粘貼于彈性體上，當(dāng)在壓電陶瓷片上加直流電壓時(shí)，壓電陶瓷片會(huì)產(chǎn)生交替伸縮變形，如圖 (a)所示；如果將直流電壓反相時(shí)，壓電陶瓷會(huì)產(chǎn)生相反的交替伸縮變形，如圖 (b)所示；如果在其上加交變電壓，壓電陶瓷會(huì)產(chǎn) 生交變伸縮變形，結(jié)果可在彈性體內(nèi)產(chǎn)生駐波，如圖 (c)所示。旋轉(zhuǎn)行波型超聲波電機(jī)就是利用兩組這樣的壓電陶瓷片在彈性體內(nèi)產(chǎn)生兩個(gè)駐波，這兩駐波疊加形成一彎曲行波。 如果在 A區(qū)域壓電陶瓷上加余弦交變電壓 ? ?LAMA tVv ?? ?? co s ，交變電場(chǎng)可使壓電陶瓷按不同的極化方向產(chǎn)生交替的伸、縮變形，結(jié)果在彈性體內(nèi)形成駐波，其駐波方程為 湘 潭大學(xué)興湘學(xué)院 11 ? ?ALAA tLnxw ????? ????????? c os2s in （ 210） 式中， f?? 2? ， A? 是駐波的振幅， L 是定子環(huán)等效梁的長(zhǎng)度， n 為定子環(huán)上一周的駐波數(shù)， ? 是交變電壓的角頻率， L? 是交變電壓的初相角， A? 為 A相激勵(lì)電壓與彈性體響應(yīng)間的相位差，與定子阻尼有關(guān)，而 f 則是交變電壓的頻 率。 類(lèi)似的，在 B區(qū)域上加正弦電壓 ? ?LBMB tVv ?? ?? sin ，得到另一駐波方程。若該駐波與余弦交變電壓 Av 在彈性體內(nèi)所產(chǎn)生的駐波在空間上相差四分之一波長(zhǎng)，則其駐波方程 ? ? ? ?BLBBLBB tLnxtnLxL nw ?????????? ?????????????????? ?????? ?? s i n2c o ss i n42s i n (211) 式中， B? 表示 B相激勵(lì)電壓與彈性體響應(yīng)間的相位差，其余符號(hào)意義與式（ 212）相同。 利用線(xiàn)性波的疊加原理，將兩駐波合成為一個(gè)沿定子圓環(huán)周向運(yùn)動(dòng)的行波，其方程為 ? ? ? ?BLBALABA tLnxtLnx ?????????? ???????????????????? s i n2c o sc o s2s i n (212) 如果 0??? ?? BA ， 0??? ?? BA ，那么 ?????? ???? 00 2s in ????? LtLnxw (213) 如上所述，在兩交變電壓作用下，形成了兩個(gè)在時(shí)間上相差 ?90 相角，空間上相差四分之一波長(zhǎng)的彎曲振動(dòng)的駐波，進(jìn)而合成了一個(gè)沿定子圓環(huán)周向旋轉(zhuǎn)的彎曲振動(dòng)行波，行波使定子與轉(zhuǎn)子相接觸的表面質(zhì)點(diǎn)沿橢圓軌跡運(yùn)動(dòng)，而定子與轉(zhuǎn) 子接觸處的摩擦力就推動(dòng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)。 同理，如欲使電機(jī)轉(zhuǎn)子朝相反方向旋轉(zhuǎn)，則應(yīng)當(dāng)在 A 區(qū)域壓電陶瓷上施加余弦電壓? ?LAMA tVV ?? ?? co s ，在 B 區(qū)域上加正弦電壓 ? ?LBMB tVV ?? ??? sin ，電壓 BV 形成的駐波方程為 ? ?BLBB tLnxw ????? ????????? s in2c os (214) 這樣，兩駐波合成的行波方程為 湘潭大學(xué)興湘學(xué)院 12 ?????? ??????? 00 2s in ?????? LBA tLnx (215) 表達(dá)式（ 215） 所表示方程為沿 x 軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)的行波，這也就意味著此時(shí)電機(jī)將朝反方向旋轉(zhuǎn)。 由以上的分析可以得出行波型超聲波電機(jī)的基本特征是： 定子與轉(zhuǎn)子相接觸表面質(zhì)點(diǎn)的橢圓運(yùn)動(dòng)，是由定子彈性體的行波振動(dòng)形成的。一旦定子制作完畢，工作時(shí)該橢圓運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)軸和短軸一般不能獨(dú)立地調(diào)整。 電機(jī)工作時(shí)，定子與轉(zhuǎn)子始終保持接觸，不分離。 定子與轉(zhuǎn)子的接觸位置沿接觸面連續(xù)變化。 電機(jī)結(jié)構(gòu)尺寸小，旋轉(zhuǎn)方向可以改變，速度和位置容易控制。 湘 潭大學(xué)興湘學(xué)院 13 第 3 章 行波型超聲波電機(jī)的理論計(jì)算與設(shè)計(jì) 超聲 波電機(jī)與傳統(tǒng)電機(jī)不同，還未建立起系統(tǒng)的設(shè)計(jì)理論與方法。超聲波電機(jī)的關(guān)鍵部件是定子，定子的諧振頻率與驅(qū)動(dòng)電源是否相匹配是電機(jī)能否正常運(yùn)轉(zhuǎn)的關(guān)鍵。本章從定子的諧振頻率的計(jì)算出發(fā)，詳細(xì)介紹了超聲波電機(jī)的設(shè)計(jì)過(guò)程，同時(shí)分析了電機(jī)的加工工藝，設(shè)計(jì)了直徑 30mm 的樣機(jī)圖。設(shè)計(jì)中，以提高電機(jī)的性能為優(yōu)化的目標(biāo) ，我們還預(yù)先設(shè)定一些結(jié)構(gòu)參數(shù)，而將定子彈性體厚度及壓電陶瓷的厚度作為設(shè)計(jì)變量。 定子諧振頻率的計(jì)算 超聲波電機(jī)的定子是由彈性體與壓電陶瓷粘接在一起的。正因?yàn)槿绱?，在分析行波超聲波電機(jī)的定子振動(dòng)的諧振頻率前，先 作如下假設(shè)： 律，且振動(dòng)是微幅的，系統(tǒng)為線(xiàn)性的。 ，忽略定子環(huán)的曲率效應(yīng)。 ，認(rèn)為其振動(dòng)近似為正弦波。 。 在作定子環(huán)的等效梁分析時(shí)可以分兩步進(jìn)行。首先，把有齒槽的彈性體梁等效為彈性體等直梁，等效的原則是按等效前后的動(dòng)能和勢(shì)能分別相等，且等效前后梁的高度不變；然后再將壓電陶瓷片和彈性體組合而成的定子等效為復(fù)合梁。定子環(huán)的等效梁模型如圖 所示。其中，圖 (a)為梁的結(jié)構(gòu)， gb 為槽的寬度， tb 為齒的寬度， th 為齒的高度， eh 為未開(kāi)槽的彈性體的高度， bh 為整個(gè)彈性體的厚度， ph 為壓電陶瓷片的厚度， eb為彈性梁的寬度。圖 (b)為等效前的彈性體梁，圖 (c)為等效前的復(fù)合梁。 設(shè)彈性梁的駐波波動(dòng) 方程為： ? ? ??????? xLntWw ?2sin (31) 上式中： ??Wt—— 駐波軸向位移 tb 圖 定子環(huán)的等效梁模型 th bh eh ph (a) (b) (c) eb gb 湘潭大學(xué)興湘學(xué)院 14 n —— 定子環(huán)上駐波的波數(shù) L —— 定子環(huán)平均直徑上的周長(zhǎng) 相應(yīng)的變分為 ? ? 2sin nw W t xL??? ??? ???? (32) 則慣性力在整個(gè)定子梁上所作的虛功 根據(jù)參考文獻(xiàn) ??8 為 ? ?? ?? ?? L e dxwwxAP 0 ??? ?? (33) 上式中： e? —— 等效前的彈性體的材料密度； ??xA —— 等效前彈性體的截面積 ； ? ? ???? 有齒處截面有槽處截面ebee bh bhxA eb —— 等效前后梁的寬度 把 ??xA 和式（ 31）和（ 32）代入式（ 33）并積分，得 ? ? ? ? eee ktWtWLbhP ??? ???? ??21 (34) 其中 根據(jù)參考文獻(xiàn) ??8 tggbt bb bhhk ??? 1? (35) 為等效密度系數(shù)。 等效成無(wú)齒槽的彈性梁，則截面積 ebe bhA ? ，此時(shí)慣性力在整個(gè)定子梁上所作的虛功為 ? ? ? ? eqee tWtWLbhP ??? ??? ??21 (36) 可以認(rèn)為 等效前、后慣性力所作的虛功相等，由式（ 34）和（ 36）可得等效密度為 eeq k ?? ?? (37) 由于定子環(huán)彎曲振動(dòng)時(shí)對(duì)齒的變形影響很小，因此振動(dòng)時(shí)齒的應(yīng)變能可以忽略不計(jì)，此時(shí)截面慣性矩 根據(jù)參考文獻(xiàn) ??2 可表示為 ? ? 3121 eehbxI ? (38) 彈性梁由于彎曲產(chǎn)生的應(yīng)變能為 ? ? ? ? eeebL e EkL ntLWbhdxx wxIEU ?????????????? ??? ? 4230 222 248121 ? (39) 其中 湘 潭大學(xué)興湘學(xué)院 15 eE —— 等效前的彈性體彈性模量 ek —— 等效彈性模量系數(shù)，31???????? ?? bte hhk 同理可得等效彈性模量為 eeeq EkE ? (310) 這時(shí)，有齒槽的彈性梁已經(jīng)等效為高度為 bh 的彈性等直梁了。進(jìn)一步按圖 31中的圖 (c)，把定子環(huán)等效為復(fù)合梁。 首先要確定中性層和中性軸的位置。由復(fù)合梁的彎曲理論可知，在中性層上所有正應(yīng)力為零。由此可以確定中性層及中性軸的位置。設(shè)復(fù)合梁上表面距中性軸的距離為 h，在梁截面上只有彎矩而沒(méi)有軸力，因此有 0?? ?? pA pA eqeq dAdA peq ?? (311) 其中 根據(jù)參考文獻(xiàn) ??2 KZEE eqeqeqeq ?? ?? (312) KZEE pppp ?? ?? (313) eq? 、 p? —— 彈性體等效梁和壓電陶瓷片的正應(yīng)力 eq? 、 p? —— 彈性體等效梁和壓電陶瓷片的應(yīng)變 pE —— 壓電陶瓷片的楊氏模量 K —— 中性層彎曲后的曲率 Z —— 截面任一點(diǎn)的軸向座標(biāo) 將式（ 312）、（ 313）代入式（ 311），可得 ? ?2222e q b e p b p p p p pe q b e p p pE h b E h h b E h bh E h b E h b??? ? (314) 其中， pb 為壓電陶瓷片的寬度。 中性層的位置一旦確定，復(fù)合梁的彈性模量 E 和截面慣性矩 I 亦可確定 ? ?I IEIEE ppeeq ?? (315) pe III ?? (316) 其中 湘潭大學(xué)興湘學(xué)院 16 ? ?? ?3 33 hhhbI bee ??? ? ? ? ?3 33p f bpb h h h hI ??? ? ?????? pbf hhh ?? 根據(jù)參考文獻(xiàn) ??2 復(fù)合梁的平均密度和截面積為 ? ?A AA ppeqeq ??? ?? (317) ppeb bhbhA ?? (318) 由此 根據(jù)參考文獻(xiàn) ? ?2,10 可得復(fù)合梁的固有頻率計(jì)算公式為 2n EILA?? ???????? (319) 由式 (319)就可以求出定子的諧振頻率。由上式可知，定子的諧振頻率與定子半徑二次方成反比，與定子上波數(shù)的平方成正比，同時(shí)定子的諧振頻率還與定子所用的材料特性、定子環(huán)的截面積有關(guān)。 壓電陶瓷換能器的設(shè)計(jì)和制作 壓 電陶瓷的設(shè)計(jì) 由前面對(duì)行波型超聲波電機(jī)運(yùn)行機(jī)理的分析可知，兩列在時(shí)間上相差 90186。，空間上相差 1/4 波長(zhǎng) 的駐波可合成行波。 如圖 所示為壓電體的分 級(jí)結(jié)構(gòu)。 “＋”、“－”號(hào)表示極化方向， 定子上的環(huán)形壓電 陶瓷 片按一定規(guī)則分割極化后分為 A、 B 兩相區(qū) ， 相鄰兩級(jí) 空間排列相差 π/2 （ 1/4 波長(zhǎng)），并且分別受到在時(shí)間上也相差 π/2 的 高頻 電源的激勵(lì) （ E1和 E2） 。當(dāng)激勵(lì)電源的頻率等于定子的固有頻率時(shí) ，定子（振動(dòng)體）產(chǎn)生 共振 ， 兩區(qū)間 壓電 陶瓷 所激發(fā)的波相疊加，在電機(jī)定子中產(chǎn)生沿圓周方向的合成彎曲行波，推動(dòng)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)方向 與行波的傳播方向相反。倘若改變所施加 激勵(lì) 電源電壓的符號(hào)，可以使轉(zhuǎn)子反轉(zhuǎn)，十分方便。 激勵(lì)電源 可以 為正弦波 或方波 。 圖 中， GND 段為接地，作為 A 區(qū)和 B 區(qū)的公共地， S 段為用于將兩駐波合成為圖 壓電體的分極結(jié)構(gòu) 湘 潭大學(xué)興湘學(xué)院 17 一個(gè)行波，也可作為控制和測(cè)量用反饋信號(hào)的傳感器。另外， A、 B兩相區(qū)在空間對(duì)稱(chēng)排列，而且每相產(chǎn)生的駐波都在圓環(huán)內(nèi)形成相同的整數(shù)個(gè)波，即稱(chēng)為波數(shù)，圖 中，波數(shù) n=9。 對(duì)于壓電陶瓷片的厚度，它決定了在一定電壓下是否能夠起振， 根據(jù)參考文獻(xiàn)? ?2,10 如果壓電陶瓷片太厚，大于 ，則在通常電壓情況下，不易起振。如果太薄，小于 ，則在高頻諧振條件下，由于形變過(guò)大而容易發(fā)生斷裂，而且加大加工難度，在樣機(jī)研制中不易實(shí)現(xiàn)。另外，壓電陶瓷片的厚度對(duì)壓電振子的固有諧振頻率影響較大，通常我們?nèi)∑浜穸葹?~ 之間，本論文樣機(jī)的壓電陶瓷片厚度取 。 壓電陶瓷材料的選用 壓電陶瓷作為超聲波電