【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 主視圖的下邊，左視圖在主視圖的右邊； 三視圖的形成2．方位關(guān)系任何物體都有前后、上下、左右六個(gè)方位。而每個(gè)視圖只能表示其四個(gè)方位，如圖33所示。在三視圖中，主、左視圖表示物體的上、下；主、俯視圖表示物體的左、右；俯左視圖表示物體的前后?？拷饕晥D的一面是物體的后面，遠(yuǎn)離主視圖的一面是物體的前面圖33 三視圖與物體的方位關(guān)系3．三等關(guān)系任何物體都有長(zhǎng)、寬、高三個(gè)尺度，若將物體左右方向（X方向）的尺度稱為長(zhǎng)，上下方向（Z方向）尺度稱為高，前后方向（Y方向）尺度稱為寬，則在三視圖上（如圖3—4所示）主、俯視圖反映了物體的長(zhǎng)度，主、左視圖反映了物體的高度，俯、左視圖反映了物體的寬度。歸納上述三視圖的三等關(guān)系是：主、俯上對(duì)正，主、左高平齊，俯、左寬相等。簡(jiǎn)稱為三視圖的關(guān)系是上對(duì)正，高平齊，寬相等關(guān)系。同時(shí)對(duì)應(yīng)到坐標(biāo)上應(yīng)有以下關(guān)系：1．長(zhǎng)對(duì)正——X坐標(biāo)相等2．寬相等——Y坐標(biāo)相等3．高平齊——Z坐標(biāo)相等如此可以把這種空間形象的方位關(guān)系轉(zhuǎn)化為“數(shù)學(xué)上的關(guān)系”，為以后的利用數(shù)學(xué)方法分析題目打下基礎(chǔ)注意：不僅物體整體的三視圖符合三等關(guān)系，物體上的沒(méi)一部分都應(yīng)符合三等關(guān)系。圖34 三視圖的三等關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握點(diǎn)的三面投影規(guī)律以及彼此的位置關(guān)系和作圖方法教學(xué)重難點(diǎn)： 點(diǎn)的三面投影規(guī)律以及彼此的位置關(guān)系和作圖方法。課時(shí)：4個(gè)課時(shí) 點(diǎn)的投影空間物體都是由面圍成的，而嘸可視為線的軌跡，線則是點(diǎn)的軌跡，所以點(diǎn)是最基本的集合元素。學(xué)習(xí)和掌握集合元素的投影規(guī)律和特性，才能透徹理解工程圖樣所表示物體的具體結(jié)構(gòu)形狀。一、點(diǎn)的投影和三面投影規(guī)律點(diǎn)的投影仍然是點(diǎn)，如圖所示，設(shè)：空間有一點(diǎn)A，自A分別向三個(gè)投影面作垂線（即投影線），得三個(gè)垂足、。、分別表示A點(diǎn)在H面、V面、W面的投影。（通常規(guī)定空間點(diǎn)用大寫字母如：A、B、C……等表示，其投影用響應(yīng)的小寫字母，如、……等表示）見下圖。這樣，A點(diǎn)到W 面的距離為A點(diǎn)的X坐標(biāo)，A點(diǎn)到V 面的距離為A點(diǎn)的Y坐標(biāo)，A點(diǎn)到H 面的距離為A點(diǎn)的Z坐標(biāo)。若用坐標(biāo)值確定點(diǎn)的空間位置時(shí)，可用下列規(guī)定書寫形式：A=（XA，YA，ZA）， B=（XB，YB，ZB）………。 點(diǎn)的三面投影由作圖可知，⊥H面，⊥V面，⊥W面。則通過(guò)所作的平面P必然同時(shí)垂直于H面和V面，當(dāng)然，也垂直于H面與V 面的交線OX軸，它與OX軸的交點(diǎn)用表示，顯然Ax是一矩形，同理Ay和Az也是矩形。這三個(gè)矩形平面都與響應(yīng)的投影軸相交，且是正交，并與三個(gè)投影面的響應(yīng)矩形圍成一長(zhǎng)方體。因?yàn)殚L(zhǎng)方體中相互平行棱線長(zhǎng)度相等，故可得點(diǎn)與三個(gè)投影面的關(guān)系為：1．=y=z=x（均為坐標(biāo)XA）2. =x=z=y（均為坐標(biāo)YA）3．=x =y=z（均為坐標(biāo)ZA）可見，空間點(diǎn)在某一投影面上的投影，都是由該點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)值決定的。點(diǎn)由ox和oy，即A點(diǎn)的XA，YA兩坐標(biāo)決定；點(diǎn)由ox和oz，即A點(diǎn)的XA，ZA兩坐標(biāo)決定；點(diǎn)由oy和oz，即A點(diǎn)的YA，ZA兩坐標(biāo)決定。如圖2—10（a）所示，將三投影面展開，使其與V面成同一平面。為便于進(jìn)行投影分析，用細(xì)實(shí)線將點(diǎn)的兩面投影連接起來(lái)得到和（稱為投影連線），分別與X、Z軸相交于x和z點(diǎn)。由于Y軸展開后分為Yh和Yw，在作圖時(shí)，一種方法是采用以O(shè)點(diǎn)為圓心畫弧yH和yw，如圖2—10（b），另一種方法是自O(shè)點(diǎn)作450斜線，再?gòu)膟H引Y軸的垂線與450斜線得交點(diǎn)，再?gòu)拇它c(diǎn)引Yw的垂線與由引出的Z軸的垂線交點(diǎn)，即為點(diǎn)。注：在投影面上通常住畫出投影軸，不畫投影面的邊界，如圖2—10（c）所示。按照點(diǎn)與三投影面關(guān)系，由立體展開成平面，可得出點(diǎn)的三面投影規(guī)律：1．點(diǎn)的正投影和水平投影的連線垂直于X軸，即⊥OX兩投影都反映橫坐標(biāo)，表示空間點(diǎn)到側(cè)投影面的距離。即：⊥OX，z=yH=XA。2．點(diǎn)的正面投影和側(cè)面投影的連線垂直于Z軸，這兩個(gè)投影都反映空間點(diǎn)的Z坐標(biāo)，即便表示點(diǎn)到水平面的距離?！蚙軸，x=yw=ZA。3．點(diǎn)的水平投影到X軸的距離等于其側(cè)面投影到Z軸的距離，這兩個(gè)投影都反映空間的Y坐標(biāo)，表示空間點(diǎn)到正投影面的距離：x=z=YA。顯然，點(diǎn)的投影規(guī)律和前面所講的三視圖的畫圖規(guī)則“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”是一致的。應(yīng)用：（1）根據(jù)點(diǎn)的投影規(guī)律，可由點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)值X、Y、Z畫出其三面投影圖。 （2）也可根據(jù)點(diǎn)的兩面投影圖作出第三投影圖。例31 已知點(diǎn)A的水平投影a和正面投影a′，求其側(cè)面投影a″ （題目）（求解）分析：利用長(zhǎng)對(duì)正，寬相等，高平齊的方位相等關(guān)系，也就是XYZ三坐標(biāo)相等，可以做出如上圖中YH和YW中間的斜45176。輔助線，然后過(guò)a′和a分別作出∥于相應(yīng)投影軸的線最終做出一個(gè)以三投影為頂點(diǎn)的方形，且方形的第四個(gè)頂點(diǎn)就在45176。輔助線上。例題1：已知：A（20，10，35）求作：A點(diǎn)的第三面投影例題2：已知：點(diǎn)的兩面投影 求作：點(diǎn)的第三面投影例題3：已知A、B兩點(diǎn)的兩面的投影 求作：第三面投影并確定其相對(duì)位置解：∵XB＞XA，∴B點(diǎn)在左，A點(diǎn)在右∵ZA＞ZB， ∴A點(diǎn)在上，B點(diǎn)在下∵YA＞YB， ∴B點(diǎn)在后，A點(diǎn)在前總的結(jié)論：A點(diǎn)在B點(diǎn)的右前上方，B點(diǎn)在A點(diǎn)的左后下方。其它的例題自學(xué)。二、兩點(diǎn)的相對(duì)位置和重影點(diǎn)1．兩點(diǎn)的相對(duì)位置根據(jù)相對(duì)于投影面的距離確定如圖2—11所示。（1）距離W面遠(yuǎn)者在左，近者在右（根據(jù)V、H的投影分析）；（2）距離V面遠(yuǎn)者在前，近者在后（根據(jù)H、W面的投影分析）；（3）距離H面遠(yuǎn)者在上，近者在下（根據(jù)V、W面的投影分析）圖2—11兩點(diǎn)的相對(duì)位置2．重影點(diǎn)當(dāng)兩點(diǎn)的某個(gè)坐標(biāo)相同時(shí)，該兩點(diǎn)將處于同一投影線上，因而對(duì)某一投影面具有重合的投影，則這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)稱為對(duì)該投影面的重影點(diǎn)。在投影圖上，如果兩個(gè)點(diǎn)的投影重合，則對(duì)重合投影所在的投影面的距離（即對(duì)該投影面的坐標(biāo)值）較大的那個(gè)點(diǎn)是可見的，而另一個(gè)點(diǎn)是不可見的，應(yīng)將不可見的點(diǎn)用括弧括起來(lái)。如圖所示分別列出H面、V面、W面的上面的重影點(diǎn)： H面上的重影點(diǎn)A和B V面上的重影點(diǎn)C和D W面上的重影點(diǎn)E和F學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握各種位置直線的投影特性和作圖方法教學(xué)重點(diǎn)： 直角三角形法求一般位置直線與投影面的傾角以及線段的實(shí)長(zhǎng)的方法；用定比方法確定直線上點(diǎn)的投影；以及兩直線位置關(guān)系的判斷課時(shí)：8個(gè)課時(shí)3．3直線的投影空間兩點(diǎn)確定一條空間直線段，空間直線段的投影一般仍為直線，如圖3—1所示將直線AB向H面投影，因?yàn)榫€段上的任意兩點(diǎn)可以確定線段在空間的位置，所以直線段上兩端點(diǎn)A、B的同面投影a、b的連線就是線段在該面上的投影。直線與投影面之間的夾角稱為傾角，本學(xué)科規(guī)定直線與H、V、W之間的傾角分別用希臘字母α β γ來(lái)表示如圖3—1所示圖3—1空間線段的投影一、直線段對(duì)于一個(gè)投影面的投影空間直線段對(duì)于一個(gè)投影面的位置有傾斜、平行、垂直三種。三種不同的位置具有不同的投影特性。1．收縮性當(dāng)直線段AB傾斜于投影面時(shí)，如圖3—2（a），它在該投影面上的投影長(zhǎng)度比空間AB 線段縮短了，這種性質(zhì)稱為收縮性。2．真實(shí)性當(dāng)直線段AB平行于投影面時(shí)，它在該投影面上的投影與空間AB線段相等，這種性質(zhì)稱為真實(shí)性。如圖3—2（b）。3．積聚性當(dāng)直線段AB垂直于投影面時(shí)，它在該投影面上的投影重合于一點(diǎn)，這種性質(zhì)稱為積聚性。如圖2—14（c）。圖3—2線段的投影特性二、直線段在三面投影體系中的投影特性圖3—2投影面的平行線空間線段因?qū)θ齻€(gè)投影面的相對(duì)位置不同，可分為三種：投影面的平行線，投影面的垂直線，投影面的一般位置直線（傾斜線）前面兩種稱為特殊位置直線，后一種稱為一般位置直線。1．投影面的平行線平行于一個(gè)投影面，而對(duì)另兩個(gè)投影面傾斜的直線段，稱為投影面平行線。正平線——平行于V面的直線段；水平線——平行于H面的直線段；側(cè)平線——平行于W面的直線段如圖3—2所示，列出了三種投影面的平行線的投影特點(diǎn)和性質(zhì)。以水平線為例：按照定義，它平行于H面，線上所有點(diǎn)與H面的距離都相同，這就決定了它的投影特性是：（1）AB 的水平投影=AB ，即反映實(shí)長(zhǎng)；（2）正面投影平行于OX軸，即∥OX軸；（3）側(cè)面投影平行于OYw軸，即∥OYw軸；（4）水平投影與OX 軸的夾角，反映該直線對(duì)V面的傾角β；水平投影與OY軸的夾角，反映該直線對(duì)W面的傾角γ。其它二投影面平行線的分析同上。投影面平行線的投影特性概括為：如圖3—2所示，（1）在直線段所平行的投影面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)，且其投影與投軸的夾角反映直線與另兩投影面的傾角；（2）另兩投影面平行于相應(yīng)的投影軸（構(gòu)成所平行的投影面的兩根軸）。投影面平行線的辨認(rèn)：（1）當(dāng)直線的投影有兩個(gè)平行于投影軸時(shí)；（2）第三投影與投影軸傾斜時(shí)，則該直線一定是投影面的平行線，且一定平行于其投影為傾斜線的那個(gè)投影面。1． 投影面垂直線 垂直于一個(gè)投影面，即與另兩個(gè)投影面都平行的直線段，稱為投影面的垂直線。投影面垂直線有三種：鉛垂線——直線⊥H面；正垂線——直線⊥V面；側(cè)垂線——直線⊥W面。圖3—3列出了三種投影面垂直線的投影特點(diǎn)及性質(zhì)。投影面垂直線的投影特性概括為：（1）在所垂直的投影面貌上的投影積聚為一點(diǎn)；（2）在另外兩個(gè)投影面上的投影，垂直于相應(yīng)的投影軸，且反反應(yīng)直線段的實(shí)長(zhǎng)。如何判斷投影面的垂直線？根據(jù)投影面垂直線的投影特性來(lái)判斷即可。圖3—3垂直線3．一般位置直線由直線段對(duì)一個(gè)投影面的投影特性可知，當(dāng)直線傾斜于投影面時(shí)，它在投影面上的投影的長(zhǎng)度比空間線段的長(zhǎng)度縮短了，具有收縮性，如圖3—4所示。此特性對(duì)于在三面投影體系中的傾斜（一般位置）線段同樣適用，因而，同理可得在三面投影體系中它的投影特性為：（1）三個(gè)投影都是一般傾斜線段，且都小于線段的實(shí)長(zhǎng)；（2）三面投影都與投影軸傾斜，投影與投影軸的夾角，均不反應(yīng)直線段對(duì)投影面的傾角。圖3—4一般位置直線的投影判斷：若直線段的投影與三個(gè)投影軸都傾斜，可判斷該直線為一般位置直線。三、求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)投影面的傾角一般位置直線的投影不能反應(yīng)其時(shí)常及其對(duì)投影面的傾角，因此，若求其時(shí)常及其對(duì)投影面的傾角時(shí)有兩種方法：一是利用直角三角形法，二是利用換面法。1． 利用三角形法求直線段的實(shí)長(zhǎng)及與投影面的傾角如書中圖3—5（a）中，在由直線AB及其對(duì)H面的投影線所形成的平面Abba上的直角三角形ABC中可知，其兩直角邊分別為：AC=ab、BC=ZB－ZA，R而斜邊AB即為實(shí)長(zhǎng)，該直線對(duì)H面的傾角∠BAC=，α，而B、A點(diǎn)的高度民主坐標(biāo)差，可從、中得到。由此，通過(guò)一般的幾何作圖便可得到如圖2—18（c）或（d）所示，求直線段的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)投影面傾角了。作圖方法：（1）以水平投影ab為一直角邊，以正投影的坐標(biāo)為另一直角邊（ZB－ZA），作一直角三角形，該直角三角形可以畫在原投影之外，也可以畫在原投影之內(nèi)。（2）三角形的斜邊即為實(shí)長(zhǎng)，斜邊（實(shí)長(zhǎng)）與水平投影的夾角即為α。用同樣的方法，即可求出β角和γ角：=ZB－ZC（ZA） ∠α=YA－YD（YB） ∠β=XA－XE（XB） ∠γ(a) (b) (c) (d)圖3—5直角三角形法求空間直線段的實(shí)長(zhǎng)和傾角四、直線上點(diǎn)的投影從圖3—6（a）可以看出，點(diǎn)在直線實(shí)長(zhǎng)的幾何條件及投影特性：1．直線上點(diǎn)的投影必定在該直線的同面投影上。K點(diǎn)的投影、分別在、上。2．同一直線上兩線段長(zhǎng)度之比等于其投影長(zhǎng)度之比。由于對(duì)同一投影面面的投影面線互相平行，因此：=== 。由直線有積聚性的投影面特性可知：（1）如果點(diǎn)在已知直線上，則根據(jù)點(diǎn)的一個(gè)投影面（頭版頭條面垂直線有積聚性的投影面除外），求出它的另外兩個(gè)投影面，如上圖（c）所示；（2）也可通過(guò)作第三面投影的方法求得；（3）也可如圖所示，通過(guò)a作一輔助線，在該線上量?。簅=，oo=，然后連接Bob，并通過(guò)o作o∥Bob交于ab上的k點(diǎn)，即為所求。 （a） （b） （c）圖3—6直線上點(diǎn)的投影五、兩直線的相對(duì)位置圖3—7兩直線的相對(duì)位置1．平行兩直線（1）平行兩直線的所有同面投影面都互相平行；（2）反之若兩直線的同面投影均互相平行，則空間兩直線必定互相平行；（3）判定方法：（a）一般情況下，只要看他們的兩個(gè)同面投影是否平行就可以了； （b）特殊情況，當(dāng)兩直線為某一投影面平行線時(shí)，則需根據(jù)他們?cè)谒叫械哪莻€(gè)投影面上的是否平行才能判定。2．相交兩直線（1）若空間兩直線相交，則它們的所有同面投影都相交，且各同面投影的交點(diǎn)之間的關(guān)系符合點(diǎn)的的規(guī)律。這是因?yàn)榻稽c(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)，如圖3—7所示；（2）反之，若兩直線的各同面投影都相交，且交點(diǎn)的投影符合點(diǎn)的投影規(guī)律，則該兩直線必相交；（3）特殊情況：當(dāng)直線為某一投影面平行線時(shí)，