【文章內(nèi)容簡介】 主視圖的下邊，左視圖在主視圖的右邊； 三視圖的形成2．方位關(guān)系任何物體都有前后、上下、左右六個方位。而每個視圖只能表示其四個方位，如圖33所示。在三視圖中，主、左視圖表示物體的上、下；主、俯視圖表示物體的左、右；俯左視圖表示物體的前后。靠近主視圖的一面是物體的后面，遠(yuǎn)離主視圖的一面是物體的前面圖33 三視圖與物體的方位關(guān)系3．三等關(guān)系任何物體都有長、寬、高三個尺度，若將物體左右方向（X方向）的尺度稱為長，上下方向（Z方向）尺度稱為高，前后方向（Y方向）尺度稱為寬，則在三視圖上（如圖3—4所示）主、俯視圖反映了物體的長度，主、左視圖反映了物體的高度，俯、左視圖反映了物體的寬度。歸納上述三視圖的三等關(guān)系是：主、俯上對正，主、左高平齊，俯、左寬相等。簡稱為三視圖的關(guān)系是上對正，高平齊，寬相等關(guān)系。同時對應(yīng)到坐標(biāo)上應(yīng)有以下關(guān)系：1．長對正——X坐標(biāo)相等2．寬相等——Y坐標(biāo)相等3．高平齊——Z坐標(biāo)相等如此可以把這種空間形象的方位關(guān)系轉(zhuǎn)化為“數(shù)學(xué)上的關(guān)系”，為以后的利用數(shù)學(xué)方法分析題目打下基礎(chǔ)注意：不僅物體整體的三視圖符合三等關(guān)系，物體上的沒一部分都應(yīng)符合三等關(guān)系。圖34 三視圖的三等關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握點的三面投影規(guī)律以及彼此的位置關(guān)系和作圖方法教學(xué)重難點： 點的三面投影規(guī)律以及彼此的位置關(guān)系和作圖方法。課時：4個課時 點的投影空間物體都是由面圍成的，而嘸可視為線的軌跡，線則是點的軌跡，所以點是最基本的集合元素。學(xué)習(xí)和掌握集合元素的投影規(guī)律和特性，才能透徹理解工程圖樣所表示物體的具體結(jié)構(gòu)形狀。一、點的投影和三面投影規(guī)律點的投影仍然是點，如圖所示，設(shè)：空間有一點A，自A分別向三個投影面作垂線（即投影線），得三個垂足、。、分別表示A點在H面、V面、W面的投影。（通常規(guī)定空間點用大寫字母如：A、B、C……等表示，其投影用響應(yīng)的小寫字母，如、……等表示）見下圖。這樣，A點到W 面的距離為A點的X坐標(biāo)，A點到V 面的距離為A點的Y坐標(biāo)，A點到H 面的距離為A點的Z坐標(biāo)。若用坐標(biāo)值確定點的空間位置時，可用下列規(guī)定書寫形式：A=（XA，YA，ZA）， B=（XB，YB，ZB）………。 點的三面投影由作圖可知，⊥H面，⊥V面，⊥W面。則通過所作的平面P必然同時垂直于H面和V面，當(dāng)然，也垂直于H面與V 面的交線OX軸，它與OX軸的交點用表示，顯然Ax是一矩形，同理Ay和Az也是矩形。這三個矩形平面都與響應(yīng)的投影軸相交，且是正交，并與三個投影面的響應(yīng)矩形圍成一長方體。因為長方體中相互平行棱線長度相等，故可得點與三個投影面的關(guān)系為：1．=y=z=x（均為坐標(biāo)XA）2. =x=z=y（均為坐標(biāo)YA）3．=x =y=z（均為坐標(biāo)ZA）可見，空間點在某一投影面上的投影，都是由該點的兩個坐標(biāo)值決定的。點由ox和oy，即A點的XA，YA兩坐標(biāo)決定；點由ox和oz，即A點的XA，ZA兩坐標(biāo)決定；點由oy和oz，即A點的YA，ZA兩坐標(biāo)決定。如圖2—10（a）所示，將三投影面展開，使其與V面成同一平面。為便于進(jìn)行投影分析，用細(xì)實線將點的兩面投影連接起來得到和（稱為投影連線），分別與X、Z軸相交于x和z點。由于Y軸展開后分為Yh和Yw，在作圖時，一種方法是采用以O(shè)點為圓心畫弧yH和yw，如圖2—10（b），另一種方法是自O(shè)點作450斜線，再從yH引Y軸的垂線與450斜線得交點，再從此點引Yw的垂線與由引出的Z軸的垂線交點，即為點。注：在投影面上通常住畫出投影軸，不畫投影面的邊界，如圖2—10（c）所示。按照點與三投影面關(guān)系，由立體展開成平面，可得出點的三面投影規(guī)律：1．點的正投影和水平投影的連線垂直于X軸，即⊥OX兩投影都反映橫坐標(biāo)，表示空間點到側(cè)投影面的距離。即：⊥OX，z=yH=XA。2．點的正面投影和側(cè)面投影的連線垂直于Z軸，這兩個投影都反映空間點的Z坐標(biāo)，即便表示點到水平面的距離?！蚙軸，x=yw=ZA。3．點的水平投影到X軸的距離等于其側(cè)面投影到Z軸的距離，這兩個投影都反映空間的Y坐標(biāo)，表示空間點到正投影面的距離：x=z=YA。顯然，點的投影規(guī)律和前面所講的三視圖的畫圖規(guī)則“長對正、高平齊、寬相等”是一致的。應(yīng)用：（1）根據(jù)點的投影規(guī)律，可由點的三個坐標(biāo)值X、Y、Z畫出其三面投影圖。 （2）也可根據(jù)點的兩面投影圖作出第三投影圖。例31 已知點A的水平投影a和正面投影a′，求其側(cè)面投影a″ （題目）（求解）分析：利用長對正，寬相等，高平齊的方位相等關(guān)系，也就是XYZ三坐標(biāo)相等，可以做出如上圖中YH和YW中間的斜45176。輔助線，然后過a′和a分別作出∥于相應(yīng)投影軸的線最終做出一個以三投影為頂點的方形，且方形的第四個頂點就在45176。輔助線上。例題1：已知：A（20，10，35）求作：A點的第三面投影例題2：已知：點的兩面投影 求作：點的第三面投影例題3：已知A、B兩點的兩面的投影 求作：第三面投影并確定其相對位置解：∵XB＞XA，∴B點在左，A點在右∵ZA＞ZB， ∴A點在上，B點在下∵YA＞YB， ∴B點在后，A點在前總的結(jié)論：A點在B點的右前上方，B點在A點的左后下方。其它的例題自學(xué)。二、兩點的相對位置和重影點1．兩點的相對位置根據(jù)相對于投影面的距離確定如圖2—11所示。（1）距離W面遠(yuǎn)者在左，近者在右（根據(jù)V、H的投影分析）；（2）距離V面遠(yuǎn)者在前，近者在后（根據(jù)H、W面的投影分析）；（3）距離H面遠(yuǎn)者在上，近者在下（根據(jù)V、W面的投影分析）圖2—11兩點的相對位置2．重影點當(dāng)兩點的某個坐標(biāo)相同時，該兩點將處于同一投影線上，因而對某一投影面具有重合的投影，則這兩個點的坐標(biāo)稱為對該投影面的重影點。在投影圖上，如果兩個點的投影重合，則對重合投影所在的投影面的距離（即對該投影面的坐標(biāo)值）較大的那個點是可見的，而另一個點是不可見的，應(yīng)將不可見的點用括弧括起來。如圖所示分別列出H面、V面、W面的上面的重影點： H面上的重影點A和B V面上的重影點C和D W面上的重影點E和F學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握各種位置直線的投影特性和作圖方法教學(xué)重點： 直角三角形法求一般位置直線與投影面的傾角以及線段的實長的方法；用定比方法確定直線上點的投影；以及兩直線位置關(guān)系的判斷課時：8個課時3．3直線的投影空間兩點確定一條空間直線段，空間直線段的投影一般仍為直線，如圖3—1所示將直線AB向H面投影，因為線段上的任意兩點可以確定線段在空間的位置，所以直線段上兩端點A、B的同面投影a、b的連線就是線段在該面上的投影。直線與投影面之間的夾角稱為傾角，本學(xué)科規(guī)定直線與H、V、W之間的傾角分別用希臘字母α β γ來表示如圖3—1所示圖3—1空間線段的投影一、直線段對于一個投影面的投影空間直線段對于一個投影面的位置有傾斜、平行、垂直三種。三種不同的位置具有不同的投影特性。1．收縮性當(dāng)直線段AB傾斜于投影面時，如圖3—2（a），它在該投影面上的投影長度比空間AB 線段縮短了，這種性質(zhì)稱為收縮性。2．真實性當(dāng)直線段AB平行于投影面時，它在該投影面上的投影與空間AB線段相等，這種性質(zhì)稱為真實性。如圖3—2（b）。3．積聚性當(dāng)直線段AB垂直于投影面時，它在該投影面上的投影重合于一點，這種性質(zhì)稱為積聚性。如圖2—14（c）。圖3—2線段的投影特性二、直線段在三面投影體系中的投影特性圖3—2投影面的平行線空間線段因?qū)θ齻€投影面的相對位置不同，可分為三種：投影面的平行線，投影面的垂直線，投影面的一般位置直線（傾斜線）前面兩種稱為特殊位置直線，后一種稱為一般位置直線。1．投影面的平行線平行于一個投影面，而對另兩個投影面傾斜的直線段，稱為投影面平行線。正平線——平行于V面的直線段；水平線——平行于H面的直線段；側(cè)平線——平行于W面的直線段如圖3—2所示，列出了三種投影面的平行線的投影特點和性質(zhì)。以水平線為例：按照定義，它平行于H面，線上所有點與H面的距離都相同，這就決定了它的投影特性是：（1）AB 的水平投影=AB ，即反映實長；（2）正面投影平行于OX軸，即∥OX軸；（3）側(cè)面投影平行于OYw軸，即∥OYw軸；（4）水平投影與OX 軸的夾角，反映該直線對V面的傾角β；水平投影與OY軸的夾角，反映該直線對W面的傾角γ。其它二投影面平行線的分析同上。投影面平行線的投影特性概括為：如圖3—2所示，（1）在直線段所平行的投影面上的投影反映實長，且其投影與投軸的夾角反映直線與另兩投影面的傾角；（2）另兩投影面平行于相應(yīng)的投影軸（構(gòu)成所平行的投影面的兩根軸）。投影面平行線的辨認(rèn)：（1）當(dāng)直線的投影有兩個平行于投影軸時；（2）第三投影與投影軸傾斜時，則該直線一定是投影面的平行線，且一定平行于其投影為傾斜線的那個投影面。1． 投影面垂直線 垂直于一個投影面，即與另兩個投影面都平行的直線段，稱為投影面的垂直線。投影面垂直線有三種：鉛垂線——直線⊥H面；正垂線——直線⊥V面；側(cè)垂線——直線⊥W面。圖3—3列出了三種投影面垂直線的投影特點及性質(zhì)。投影面垂直線的投影特性概括為：（1）在所垂直的投影面貌上的投影積聚為一點；（2）在另外兩個投影面上的投影，垂直于相應(yīng)的投影軸，且反反應(yīng)直線段的實長。如何判斷投影面的垂直線？根據(jù)投影面垂直線的投影特性來判斷即可。圖3—3垂直線3．一般位置直線由直線段對一個投影面的投影特性可知，當(dāng)直線傾斜于投影面時，它在投影面上的投影的長度比空間線段的長度縮短了，具有收縮性，如圖3—4所示。此特性對于在三面投影體系中的傾斜（一般位置）線段同樣適用，因而，同理可得在三面投影體系中它的投影特性為：（1）三個投影都是一般傾斜線段，且都小于線段的實長；（2）三面投影都與投影軸傾斜，投影與投影軸的夾角，均不反應(yīng)直線段對投影面的傾角。圖3—4一般位置直線的投影判斷：若直線段的投影與三個投影軸都傾斜，可判斷該直線為一般位置直線。三、求一般位置直線的實長及對投影面的傾角一般位置直線的投影不能反應(yīng)其時常及其對投影面的傾角，因此，若求其時常及其對投影面的傾角時有兩種方法：一是利用直角三角形法，二是利用換面法。1． 利用三角形法求直線段的實長及與投影面的傾角如書中圖3—5（a）中，在由直線AB及其對H面的投影線所形成的平面Abba上的直角三角形ABC中可知，其兩直角邊分別為：AC=ab、BC=ZB－ZA，R而斜邊AB即為實長，該直線對H面的傾角∠BAC=，α，而B、A點的高度民主坐標(biāo)差，可從、中得到。由此，通過一般的幾何作圖便可得到如圖2—18（c）或（d）所示，求直線段的實長及對投影面傾角了。作圖方法：（1）以水平投影ab為一直角邊，以正投影的坐標(biāo)為另一直角邊（ZB－ZA），作一直角三角形，該直角三角形可以畫在原投影之外，也可以畫在原投影之內(nèi)。（2）三角形的斜邊即為實長，斜邊（實長）與水平投影的夾角即為α。用同樣的方法，即可求出β角和γ角：=ZB－ZC（ZA） ∠α=YA－YD（YB） ∠β=XA－XE（XB） ∠γ(a) (b) (c) (d)圖3—5直角三角形法求空間直線段的實長和傾角四、直線上點的投影從圖3—6（a）可以看出，點在直線實長的幾何條件及投影特性：1．直線上點的投影必定在該直線的同面投影上。K點的投影、分別在、上。2．同一直線上兩線段長度之比等于其投影長度之比。由于對同一投影面面的投影面線互相平行，因此：=== 。由直線有積聚性的投影面特性可知：（1）如果點在已知直線上，則根據(jù)點的一個投影面（頭版頭條面垂直線有積聚性的投影面除外），求出它的另外兩個投影面，如上圖（c）所示；（2）也可通過作第三面投影的方法求得；（3）也可如圖所示，通過a作一輔助線，在該線上量?。簅=，oo=，然后連接Bob，并通過o作o∥Bob交于ab上的k點，即為所求。 （a） （b） （c）圖3—6直線上點的投影五、兩直線的相對位置圖3—7兩直線的相對位置1．平行兩直線（1）平行兩直線的所有同面投影面都互相平行；（2）反之若兩直線的同面投影均互相平行，則空間兩直線必定互相平行；（3）判定方法：（a）一般情況下，只要看他們的兩個同面投影是否平行就可以了； （b）特殊情況，當(dāng)兩直線為某一投影面平行線時，則需根據(jù)他們在所平行的那個投影面上的是否平行才能判定。2．相交兩直線（1）若空間兩直線相交，則它們的所有同面投影都相交，且各同面投影的交點之間的關(guān)系符合點的的規(guī)律。這是因為交點是兩直線的共有點，如圖3—7所示；（2）反之，若兩直線的各同面投影都相交，且交點的投影符合點的投影規(guī)律，則該兩直線必相交；（3）特殊情況：當(dāng)直線為某一投影面平行線時，