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正文內(nèi)容

20xx年成人高考高數(shù)二重點(diǎn)筆記(淘寶花錢買的)課件(編輯修改稿)

2025-05-13 12:16 本頁(yè)面
 

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 △yNT=MN﹒tan=f′(x)△x=dy由此可見(jiàn),當(dāng)自變量在點(diǎn)x處有一改變量△x時(shí),△y是曲線y=f(x)上點(diǎn)的縱坐標(biāo)改變量NT,而TM′是△y與dy之差,當(dāng)△x→0時(shí),它是△x的高階無(wú)窮小量。=f(x)在點(diǎn)x可微的必要充分條件是f(x)在x處可導(dǎo),而且A(x)=f′(x),即dy=A(x)dx=f′(x)dx dy=f′(x)dx求微分dy只要求出導(dǎo)數(shù)f′(x)再乘以dx,所以我們前面學(xué)過(guò)的求導(dǎo)基本公式與求導(dǎo)法則完全適用于微分的計(jì)算。于是有下列的微分公式及微分法則:(1)d(c)=0(c為常數(shù))(2)(為任意實(shí)數(shù))(6)d(ex)=exdx(7)d(sinx)=cosxdx (8)d(cosx)=sinxdx(17)d(cu)=cdu設(shè)函數(shù)y=f(u),則不論u是自變量還是中間變量,函數(shù)的微分dy總可表示為dy=f′(u)du例1[0622]設(shè)函數(shù)y=x4sinx,求dy解法一:y′=4x3sinx+x4cosxdy=y′dx=(4x3sinx+x4cosx)dx解法二:dy=d(x4sinx)=dx4﹒sinx+x4dsinx=4x3﹒dx﹒sinx+x4﹒cosxdx=(4x3sinx+x4cosx)﹒dx例2[0319]設(shè)函數(shù)y=arctanx2,求dy.[解析]本小題主要考查求函數(shù)微分。滿分6分。解法一:解法二:求導(dǎo)歌初等函數(shù)一式表,復(fù)合四則連環(huán)套。分清四則與復(fù)合,關(guān)系明確再求導(dǎo)。常冪指對(duì)三反三,導(dǎo)數(shù)公式要記牢。加減關(guān)系逐項(xiàng)導(dǎo),積商導(dǎo)數(shù)最重要。積的導(dǎo)數(shù)共兩項(xiàng),u導(dǎo)乘v加u乘v導(dǎo)。商的導(dǎo)數(shù)為分式,母方分之子導(dǎo)乘母減子乘母導(dǎo)。復(fù)合函數(shù)層層導(dǎo),不能重復(fù)不漏掉。隱函數(shù)兩邊同時(shí)導(dǎo),解方程y便得到。高階導(dǎo)數(shù)階階導(dǎo),歸納規(guī)律很重要。增量比值求極限,定義三步會(huì)求導(dǎo),分段函數(shù)分段點(diǎn),左導(dǎo)是否等右導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)微分互等價(jià),微分加尾別忘掉。背公式,勿浮燥,多練習(xí),熟生巧,尋規(guī)律,多請(qǐng)教,勤思考,必開(kāi)竅。今日唱起求導(dǎo)歌,求導(dǎo)感覺(jué)真美妙。第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用[復(fù)習(xí)考試要求]“0∞”、“∞∞”型未定式的極限的方法。、減區(qū)間的方法。會(huì)利用函數(shù)的單調(diào)性證明簡(jiǎn)單的不等式。,掌握求函數(shù)的駐點(diǎn)、極值點(diǎn)、極值、最大值與最小值的方法,會(huì)解簡(jiǎn)單的應(yīng)用題。,會(huì)求曲線的拐點(diǎn)。[主要知識(shí)內(nèi)容](一)洛必達(dá)法則求極限(洛必達(dá)法則1)如果②f(x),g(x)在x0的某鄰域內(nèi)(點(diǎn)x0可以除外)可導(dǎo),且g′(x)≠0(A為有限常數(shù)或?yàn)椤蓿﹦t(或把x→x0改為x→∞)例1計(jì)算:例2[9517]求[解析]本小題主要考查用洛必達(dá)法則求型未定式極限。滿分5分。例3[0417][解析]本小題主要考查用洛必達(dá)法則求型未定式極限。滿分6分。(洛必達(dá)法則2)如果②f(x),g(x)在x0的某鄰域內(nèi)(點(diǎn)x0可以除外)可導(dǎo),且g′(x)≠0(A為有限常數(shù)或?yàn)椤蓿ɑ虬褁→x0改為x→∞)[解析]本小題主要考查用洛必達(dá)法則求極限。[解析]本小題主要考查用洛必達(dá)法則求極限?!扌蛯?duì)于0∞型未定式,可以將乘積形式化為商的形式,即可化為型或型未定式,然后再使用洛必達(dá)法則求極限。例[解析]本小題主要考查用洛必達(dá)法則求極限。4.∞—∞型對(duì)于∞—∞型未定式,可利用通分將其化為型未定式,然后再使用洛必達(dá)法則求極限。例[解析]本小題主要考查用洛必達(dá)法則求極限。例[解析]型用洛必達(dá)法則:因?yàn)椴淮嬖?,不能使用洛必達(dá)法則。正確的解法應(yīng)是:(二)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖形與性質(zhì)(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則(1)如果在(a,b)內(nèi)的任一點(diǎn)x處,恒有f′(x)0,則函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加;(2)如果在(a,b)內(nèi)的任一點(diǎn)x處,恒有f′(x)0,則函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少。例:證明函數(shù)f(x)=x-arctanx在其定義域上是單調(diào)增加的。注意:函數(shù)f(x)在其定義域上的個(gè)別點(diǎn)處f′(x)=0(或f′(x)不存在但連續(xù)),不影響其單調(diào)性。利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)單調(diào)性的一般步驟:(1)確定函數(shù)的定義域;(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y′=f′(x);(3)令f′(x)=0,求出函數(shù)在其定義域內(nèi)的所有駐點(diǎn),駐點(diǎn)將定義域劃分成若干子區(qū)間,在每個(gè)子區(qū)間內(nèi)討論f′(x)的正負(fù)符號(hào),從而確定函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間。(1)函數(shù)極值的定義定義設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)有定義,x0是(a,b)內(nèi)的某一點(diǎn),若存在點(diǎn)x0的一個(gè)鄰域,使得對(duì)此鄰域內(nèi)任一點(diǎn)x(x≠x0),①恒有f(x)f(x0),則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值,稱x0是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn);②恒有f(x)f(x0),則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值,稱x0是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn)。極大值和極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值。極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱函數(shù)的極值點(diǎn)。(2)極值存在的必要條件(x)在點(diǎn)x0處具有導(dǎo)數(shù),且在點(diǎn)x0取得極值,則必有f′(x0)=0。一般地,稱f′(x)=0的點(diǎn)為函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)。注意:極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在,則極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn),反之駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。f(x)=x3f′(x)=3x2令f′(x)=0,得駐點(diǎn)x=0設(shè)f(x)=x2f′(x)=2x令f′(x)=0,得駐點(diǎn)x=0當(dāng)x0時(shí),f′(x)0x0時(shí),f′(x)0x=0為f(x)的極小值點(diǎn)(3)極值存在的充分條件(第一充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0連續(xù),且在點(diǎn)x0的某一空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)f′(x)可以等于0或不存在),則①如果在內(nèi)任一點(diǎn)x處,有f′(x)0,而在內(nèi)任一點(diǎn)x處,有,則f(x0)是極大值,x0是極大值點(diǎn);②如果在內(nèi)任一點(diǎn)x處,有f′(x)0,而在內(nèi)任一點(diǎn)x處,有f′(x)0,則f(x0)是極小值,x0是極小值點(diǎn);③如果在內(nèi)與內(nèi)任一點(diǎn)x處,f′(x)正負(fù)符號(hào)相同,那么f(x0)不是極值,x0不是極值點(diǎn)。(第二充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處有二階導(dǎo)數(shù),且f′(x0)=0,f''(x0)≠0,則①當(dāng)f''(x0)0時(shí),則f(x0)為極大值;②當(dāng)f''(x0)0時(shí),則f(x0)為極小值;③當(dāng)f''(x0)=0時(shí),則不能判定x0是否為極值點(diǎn)。利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟:(1)先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y'(x)=f'(x),令f'(x0)=0,求出函數(shù)在其定義域內(nèi)的所有駐點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)xi(i=1,2…,k);(2)若函數(shù)f(x)在點(diǎn)xi的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo),則利用極值的第一充分條件判定。即當(dāng)f'(x)在點(diǎn)xi的兩側(cè)異號(hào)時(shí),f'(x)為極值,xi為極值點(diǎn),若f'(x)在點(diǎn)xi的兩側(cè)同號(hào)時(shí),f(xi)不是極值,xi不是極值點(diǎn)。(3)如果函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)f''(x)容易求,且f''(xi)存在,則可以極值的第二充分條件判定。即當(dāng)f''(xi)0時(shí),則f(xi)為極小值,xi為極小值點(diǎn);當(dāng)f''(xi)0時(shí),則f(xi)為極大值,xi為極大值點(diǎn),若f''(xi)=0,則應(yīng)改用極值的第一充分條件判定f(xi)是否為極值,xi是否為極值點(diǎn)。例1[9803]函數(shù)y=ln(1+x2)在(∞,+∞)內(nèi)()[解析]本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性。滿分4分,令y'=0,得x=0,當(dāng)x0時(shí),y'0,函數(shù)y=ln(1+x2)單調(diào)減少,當(dāng)x0時(shí),y'0,函數(shù)y=ln(1+x2)單調(diào)增加,故選C。例2[9903]以下結(jié)論正確的是()(x)的導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),一定不是f(x)的極值點(diǎn)(x)的駐點(diǎn),則x0必為f(x)的極值點(diǎn)(x)在點(diǎn)x0處有極值,且f'(x0)存在,則必有f'(x0)=0(x)在點(diǎn)x0處連續(xù),則f'(x0)一定存在[解析]本小題主要考查函數(shù)極值點(diǎn)的有關(guān)概念。滿分4分。根據(jù)函數(shù)極值存在的必要條件,應(yīng)選C。例3[0426]求函數(shù)y=xe-x的單調(diào)增減區(qū)間和極值。[解析]本小題主要考查求函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間和極值。滿分10分。解:函數(shù)的定義域?yàn)椋ā?,∞)。y'=ex+x(ex)=(1x)ex令y'=0,得駐點(diǎn)x=1又當(dāng)x1時(shí),y'0;當(dāng)x1時(shí),y'0。所以,函數(shù)y的單調(diào)增加區(qū)間為(∞,1)函數(shù)y的單調(diào)減少區(qū)間為(1,+∞)函數(shù)y的極大值為y(1)=e1例4[0614]函數(shù)的極值點(diǎn)為x=_____y′=2x令y′=0,得駐點(diǎn)x=0當(dāng)x0時(shí),y′0,x0時(shí),y′0,x=0為的極小值點(diǎn)例5[0626]求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間與極值解:D(f)=(∞,+∞)f′(x)=3x23=3(x+1)(x1)令f′(x)=0,得駐點(diǎn)x=1,x=1f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(∞,1)∪(1,+∞)單調(diào)減區(qū)間為(1,1)f(x)的極大值f(1)=3極小值f(1)=1(1)曲線的凹向定義如果在(a,b)內(nèi),曲線弧總位于其上任一點(diǎn)處的切線的上方,則稱曲線弧在(a,b)內(nèi)是向上凹的(簡(jiǎn)稱上凹,也稱凹);如果在(a,b)內(nèi),曲線弧總位于其上任一點(diǎn)處的切線的下方,則稱曲線弧在(a,b)內(nèi)是向下凹的(簡(jiǎn)稱下凹,也稱凸)。(2)曲線凹向的判別法=f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),①如果在(a,b)內(nèi)的每一點(diǎn)x,恒有f′′(x)0,則曲線y=f(x)在(a,b)內(nèi)是向上凹(凹)的 ②如果在(a,b)內(nèi)的每一點(diǎn)x,恒有f′′(x)0,則曲線y=f(x)在(a,b)內(nèi)是向下凹(凸)的。例(1)判斷曲線y=lnx的凹凸性;(2)判斷曲線y=sinx在區(qū)間[0,2π]上的凹凸性。(3)曲線的拐點(diǎn)定義若連續(xù)曲線y=f(x)上的點(diǎn)P是曲線上凹與下凹的分界點(diǎn),則稱P點(diǎn)是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)。求曲線y=f(x)的拐點(diǎn)的步驟:①求出二階導(dǎo)數(shù)f′′(x);②求出使二階導(dǎo)數(shù)等于0或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)xi(i=1,2,…,k);③對(duì)于以上的連續(xù)點(diǎn),檢驗(yàn)各點(diǎn)的兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)是否異號(hào),如是,則該點(diǎn)就是拐點(diǎn)的橫坐標(biāo);④求出拐點(diǎn)的縱坐標(biāo)。例1[9505]曲線y=6x24x2+x4的上凸(下凹)區(qū)間是()A.(2,2)B.(∞,0)C.(0,+∞)D.(-∞,+∞)[解析]本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線的凹凸區(qū)間。滿分4分。D(f)=(-∞,+∞)y'=648x+4x3,y''=48+12x2=12(x+2)(x2)令y''=0,得x=-2,x=2當(dāng)2x2時(shí),y′′0,所以曲線y=6x24x2+x4的上凸(下凹)區(qū)間是(2,2)。故選A。例2[9909]曲線y=x3-3x+1的拐點(diǎn)是______.[解析]本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線的拐點(diǎn)。滿分4分。D(f)=(∞,+∞)Y′=3x2-3,y′′=6x令y′′=6x,得x=0當(dāng)x0時(shí),y′′0,當(dāng)x0時(shí),y′′0,所以曲線y=y3-3x+1的拐點(diǎn)是(0,1)。例3[0226]求函數(shù)y=x3-3x2-1的單調(diào)增減區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)[解析]本小題主要考查求函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)。滿分8分。D(f)=(-∞,∞)y′=3x26x,y′′=6x-6令y′=0,得x=0,x=2, 令y′′=0,得x=1x(∞,0)(0,1)1(1,2)2(2,+∞)y`+0--0+y``--0++y↗極大值↘拐點(diǎn)↘極小值↗∩f(0)=1∩(1,3)∪f(wàn)(2)=5∪所以函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為(-∞,0)U(2,+∞),單調(diào)減少區(qū)間為(0,2),極大值為f(0)=-1,極小值為f(2)=-5。其曲線的凸區(qū)間為(-∞,1),凹區(qū)間為(1,+∞),拐點(diǎn)為(1,-3)。定義如果曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P沿著曲線無(wú)限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí),點(diǎn)P與某一固定直線L的距離趨于零,則稱直線L為曲線C的漸近線。(1)水平漸近線若當(dāng)x→∞時(shí),f(x)→c(c為常數(shù)),即若,則稱y=f(x)有水平漸近線y=c。(2)鉛直漸近線若x→a(有時(shí)僅當(dāng)x→a+或x→a-),有f(x)→∞,即若則稱x=a為曲線y=f(x)的鉛直漸近線(也稱垂直漸近線)(其中a為常數(shù))。例1曲線的水平漸近線為_(kāi)_____,鉛直漸近線為_(kāi)_____.[解析]本小題主要考查求曲線的水平、鉛直漸近線。(三)函數(shù)的最大(?。┲导皩?shí)際應(yīng)用問(wèn)題(1)設(shè)f(x)在[a,b]上是連續(xù)的,則f(x)在[a,b]上一定存在著最大值M和最小值m。且f(x)在[a,b]上的最值只能在[a,b]內(nèi)的極值點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)中求得。注意:在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值和最小值。(2)求連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值的解題步驟:①求出函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的所有駐點(diǎn)以及導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)xi(i=1,2…k)②計(jì)算以上各點(diǎn)的函數(shù)值f(x1),f(x2),…f(xk)以及區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值f(a),f(b);③比較以上的k+2個(gè)函數(shù)值,其中最大的函數(shù)值就是最大值M,最小的函數(shù)值就是最小值m。注意:①如果f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個(gè)極大值而沒(méi)有極小值,則這個(gè)極大值就是f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的最大值;同理如果f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個(gè)極小值而沒(méi)有極大值,則這個(gè)極小值就是f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的最小值。②如果f(x)在區(qū)間[a,b]上為單調(diào)連續(xù)函數(shù),則最大(?。┲翟趨^(qū)間端點(diǎn)取得。例1[0019]求函數(shù)y=xe-x在區(qū)間[0,2]上的最大值與最小值()[解析]本小題主要考查求函數(shù)的最值。滿分6分。y'=(1-x)e-x,令y'=0,得駐點(diǎn)x=1,因?yàn)閥(0)
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