【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 △yNT=MN﹒tan=f′(x)△x=dy由此可見(jiàn)，當(dāng)自變量在點(diǎn)x處有一改變量△x時(shí)，△y是曲線y=f(x)上點(diǎn)的縱坐標(biāo)改變量NT，而TM′是△y與dy之差，當(dāng)△x→0時(shí)，它是△x的高階無(wú)窮小量。=f(x)在點(diǎn)x可微的必要充分條件是f(x)在x處可導(dǎo)，而且A(x)=f′(x)，即dy=A(x)dx=f′(x)dx dy=f′(x)dx求微分dy只要求出導(dǎo)數(shù)f′(x)再乘以dx，所以我們前面學(xué)過(guò)的求導(dǎo)基本公式與求導(dǎo)法則完全適用于微分的計(jì)算。于是有下列的微分公式及微分法則：（1）d（c）=0（c為常數(shù)）（2）（為任意實(shí)數(shù)）（6）d（ex）=exdx（7）d（sinx）=cosxdx （8）d（cosx）=sinxdx（17）d（cu）=cdu設(shè)函數(shù)y=f(u)，則不論u是自變量還是中間變量，函數(shù)的微分dy總可表示為dy=f′(u)du例1[0622]設(shè)函數(shù)y=x4sinx，求dy解法一：y′=4x3sinx+x4cosxdy=y′dx=（4x3sinx+x4cosx）dx解法二：dy=d（x4sinx）=dx4﹒sinx+x4dsinx=4x3﹒dx﹒sinx+x4﹒cosxdx=（4x3sinx+x4cosx）﹒dx例2[0319]設(shè)函數(shù)y=arctanx2，求dy.[解析]本小題主要考查求函數(shù)微分。滿分6分。解法一：解法二：求導(dǎo)歌初等函數(shù)一式表，復(fù)合四則連環(huán)套。分清四則與復(fù)合，關(guān)系明確再求導(dǎo)。常冪指對(duì)三反三，導(dǎo)數(shù)公式要記牢。加減關(guān)系逐項(xiàng)導(dǎo)，積商導(dǎo)數(shù)最重要。積的導(dǎo)數(shù)共兩項(xiàng)，u導(dǎo)乘v加u乘v導(dǎo)。商的導(dǎo)數(shù)為分式，母方分之子導(dǎo)乘母減子乘母導(dǎo)。復(fù)合函數(shù)層層導(dǎo)，不能重復(fù)不漏掉。隱函數(shù)兩邊同時(shí)導(dǎo)，解方程y便得到。高階導(dǎo)數(shù)階階導(dǎo)，歸納規(guī)律很重要。增量比值求極限，定義三步會(huì)求導(dǎo)，分段函數(shù)分段點(diǎn)，左導(dǎo)是否等右導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)微分互等價(jià)，微分加尾別忘掉。背公式，勿浮燥，多練習(xí)，熟生巧，尋規(guī)律，多請(qǐng)教，勤思考，必開(kāi)竅。今日唱起求導(dǎo)歌，求導(dǎo)感覺(jué)真美妙。第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用[復(fù)習(xí)考試要求]“0∞”、“∞∞”型未定式的極限的方法。、減區(qū)間的方法。會(huì)利用函數(shù)的單調(diào)性證明簡(jiǎn)單的不等式。，掌握求函數(shù)的駐點(diǎn)、極值點(diǎn)、極值、最大值與最小值的方法，會(huì)解簡(jiǎn)單的應(yīng)用題。，會(huì)求曲線的拐點(diǎn)。[主要知識(shí)內(nèi)容]（一）洛必達(dá)法則求極限（洛必達(dá)法則1）如果②f（x），g（x）在x0的某鄰域內(nèi)（點(diǎn)x0可以除外）可導(dǎo)，且g′(x)≠0（A為有限常數(shù)或?yàn)椤蓿﹦t（或把x→x0改為x→∞）例1計(jì)算：例2[9517]求[解析]本小題主要考查用洛必達(dá)法則求型未定式極限。滿分5分。例3[0417][解析]本小題主要考查用洛必達(dá)法則求型未定式極限。滿分6分。（洛必達(dá)法則2）如果②f（x），g（x）在x0的某鄰域內(nèi)（點(diǎn)x0可以除外）可導(dǎo)，且g′（x）≠0（A為有限常數(shù)或?yàn)椤蓿ɑ虬褁→x0改為x→∞）[解析]本小題主要考查用洛必達(dá)法則求極限。[解析]本小題主要考查用洛必達(dá)法則求極限?！扌蛯?duì)于0∞型未定式，可以將乘積形式化為商的形式，即可化為型或型未定式，然后再使用洛必達(dá)法則求極限。例[解析]本小題主要考查用洛必達(dá)法則求極限。4.∞—∞型對(duì)于∞—∞型未定式，可利用通分將其化為型未定式,然后再使用洛必達(dá)法則求極限。例[解析]本小題主要考查用洛必達(dá)法則求極限。例[解析]型用洛必達(dá)法則：因?yàn)椴淮嬖?，不能使用洛必達(dá)法則。正確的解法應(yīng)是：（二）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖形與性質(zhì)（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則（1）如果在（a，b）內(nèi)的任一點(diǎn)x處，恒有f′（x）0，則函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加；（2）如果在（a，b）內(nèi)的任一點(diǎn)x處，恒有f′（x）0，則函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少。例：證明函數(shù)f（x）=x－arctanx在其定義域上是單調(diào)增加的。注意：函數(shù)f(x)在其定義域上的個(gè)別點(diǎn)處f′(x)=0（或f′(x)不存在但連續(xù)），不影響其單調(diào)性。利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y′=f′(x)；（3）令f′(x)=0，求出函數(shù)在其定義域內(nèi)的所有駐點(diǎn)，駐點(diǎn)將定義域劃分成若干子區(qū)間，在每個(gè)子區(qū)間內(nèi)討論f′(x)的正負(fù)符號(hào)，從而確定函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間。（1）函數(shù)極值的定義定義設(shè)函數(shù)f(x)在（a，b）內(nèi)有定義，x0是（a，b）內(nèi)的某一點(diǎn)，若存在點(diǎn)x0的一個(gè)鄰域，使得對(duì)此鄰域內(nèi)任一點(diǎn)x（x≠x0），①恒有f(x)f(x0)，則稱f（x0）是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值，稱x0是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn)；②恒有f(x)f(x0)，則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值，稱x0是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn)。極大值和極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值。極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱函數(shù)的極值點(diǎn)。（2）極值存在的必要條件(x)在點(diǎn)x0處具有導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)x0取得極值，則必有f′(x0)=0。一般地，稱f′(x)=0的點(diǎn)為函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)。注意：極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在，則極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)，反之駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。f（x）=x3f′(x)=3x2令f′(x)=0，得駐點(diǎn)x=0設(shè)f(x)=x2f′(x)＝2x令f′(x)=0，得駐點(diǎn)x=0當(dāng)x0時(shí)，f′(x)0x0時(shí)，f′(x)0x=0為f(x)的極小值點(diǎn)（3）極值存在的充分條件（第一充分條件）設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)，且在點(diǎn)x0的某一空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)f′(x)可以等于0或不存在），則①如果在內(nèi)任一點(diǎn)x處，有f′(x)0，而在內(nèi)任一點(diǎn)x處，有，則f（x0）是極大值，x0是極大值點(diǎn)；②如果在內(nèi)任一點(diǎn)x處，有f′(x)0，而在內(nèi)任一點(diǎn)x處，有f′(x)0，則f（x0）是極小值，x0是極小值點(diǎn)；③如果在內(nèi)與內(nèi)任一點(diǎn)x處，f′(x)正負(fù)符號(hào)相同，那么f（x0）不是極值，x0不是極值點(diǎn)。（第二充分條件）設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處有二階導(dǎo)數(shù)，且f′(x0)=0，f＇＇(x0)≠0，則①當(dāng)f＇＇(x0)0時(shí)，則f（x0）為極大值；②當(dāng)f＇＇(x0)0時(shí)，則f（x0）為極小值；③當(dāng)f＇＇(x0)=0時(shí)，則不能判定x0是否為極值點(diǎn)。利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y＇（x）=f＇（x），令f＇（x0）=0，求出函數(shù)在其定義域內(nèi)的所有駐點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)xi（i=1，2…，k）；（2）若函數(shù)f(x)在點(diǎn)xi的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，則利用極值的第一充分條件判定。即當(dāng)f＇(x)在點(diǎn)xi的兩側(cè)異號(hào)時(shí)，f＇(x)為極值，xi為極值點(diǎn)，若f＇(x)在點(diǎn)xi的兩側(cè)同號(hào)時(shí)，f(xi)不是極值，xi不是極值點(diǎn)。（3）如果函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)f＇＇(x)容易求，且f＇＇(xi)存在，則可以極值的第二充分條件判定。即當(dāng)f＇＇(xi)0時(shí)，則f（xi）為極小值，xi為極小值點(diǎn)；當(dāng)f＇＇(xi)0時(shí)，則f(xi)為極大值，xi為極大值點(diǎn)，若f＇＇(xi)=0，則應(yīng)改用極值的第一充分條件判定f(xi)是否為極值，xi是否為極值點(diǎn)。例1[9803]函數(shù)y=ln（1+x2）在（∞，+∞）內(nèi)（）[解析]本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性。滿分4分，令y＇=0，得x=0，當(dāng)x0時(shí)，y＇0，函數(shù)y=ln（1+x2）單調(diào)減少，當(dāng)x0時(shí)，y＇0，函數(shù)y=ln（1+x2）單調(diào)增加，故選C。例2[9903]以下結(jié)論正確的是（）（x）的導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，一定不是f（x）的極值點(diǎn)（x）的駐點(diǎn)，則x0必為f（x）的極值點(diǎn)（x）在點(diǎn)x0處有極值，且f＇（x0）存在，則必有f＇（x0）=0（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，則f＇（x0）一定存在[解析]本小題主要考查函數(shù)極值點(diǎn)的有關(guān)概念。滿分4分。根據(jù)函數(shù)極值存在的必要條件，應(yīng)選C。例3[0426]求函數(shù)y=xe－x的單調(diào)增減區(qū)間和極值。[解析]本小題主要考查求函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間和極值。滿分10分。解：函數(shù)的定義域?yàn)椋ā?，∞）。y＇=ex+x（ex）=（1x）ex令y＇=0，得駐點(diǎn)x=1又當(dāng)x1時(shí)，y＇0；當(dāng)x1時(shí)，y＇0。所以，函數(shù)y的單調(diào)增加區(qū)間為（∞，1）函數(shù)y的單調(diào)減少區(qū)間為（1，+∞）函數(shù)y的極大值為y（1）=e1例4[0614]函數(shù)的極值點(diǎn)為x=_____y′=2x令y′=0，得駐點(diǎn)x=0當(dāng)x0時(shí)，y′0，x0時(shí)，y′0，x=0為的極小值點(diǎn)例5[0626]求函數(shù)f（x）=x3－3x+1的單調(diào)區(qū)間與極值解：D(f)=(∞，+∞)f′(x)=3x23=3(x+1)(x1)令f′（x）=0，得駐點(diǎn)x=1,x=1f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（∞,1）∪（1，+∞）單調(diào)減區(qū)間為（1，1）f（x）的極大值f（1）=3極小值f（1）=1（1）曲線的凹向定義如果在（a，b）內(nèi)，曲線弧總位于其上任一點(diǎn)處的切線的上方，則稱曲線弧在（a，b）內(nèi)是向上凹的（簡(jiǎn)稱上凹，也稱凹）；如果在（a，b）內(nèi)，曲線弧總位于其上任一點(diǎn)處的切線的下方，則稱曲線弧在（a，b）內(nèi)是向下凹的（簡(jiǎn)稱下凹，也稱凸）。（2）曲線凹向的判別法=f（x）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，①如果在（a，b）內(nèi)的每一點(diǎn)x，恒有f′′（x）0，則曲線y=f（x）在（a，b）內(nèi)是向上凹（凹）的 ②如果在（a，b）內(nèi)的每一點(diǎn)x，恒有f′′（x）0，則曲線y=f（x）在（a，b）內(nèi)是向下凹（凸）的。例（1）判斷曲線y=lnx的凹凸性；（2）判斷曲線y=sinx在區(qū)間[0，2π]上的凹凸性。（3）曲線的拐點(diǎn)定義若連續(xù)曲線y=f（x）上的點(diǎn)P是曲線上凹與下凹的分界點(diǎn)，則稱P點(diǎn)是曲線y=f（x）的拐點(diǎn)。求曲線y=f（x）的拐點(diǎn)的步驟：①求出二階導(dǎo)數(shù)f′′（x）；②求出使二階導(dǎo)數(shù)等于0或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)xi（i=1，2，…，k）；③對(duì)于以上的連續(xù)點(diǎn)，檢驗(yàn)各點(diǎn)的兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)是否異號(hào)，如是，則該點(diǎn)就是拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)；④求出拐點(diǎn)的縱坐標(biāo)。例1[9505]曲線y=6x24x2+x4的上凸（下凹）區(qū)間是（）A.（2，2）B.（∞，0）C.（0，+∞）D.（－∞，+∞）[解析]本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線的凹凸區(qū)間。滿分4分。D（f）=（－∞，+∞）y＇=648x+4x3，y＇＇=48+12x2=12（x+2）（x2）令y＇＇=0，得x=－2，x=2當(dāng)2x2時(shí)，y′′0，所以曲線y=6x24x2+x4的上凸（下凹）區(qū)間是（2，2）。故選A。例2[9909]曲線y=x3－3x+1的拐點(diǎn)是______.[解析]本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線的拐點(diǎn)。滿分4分。D（f）=（∞，+∞）Y′=3x2－3，y′′=6x令y′′=6x，得x=0當(dāng)x0時(shí)，y′′0，當(dāng)x0時(shí)，y′′0，所以曲線y=y3－3x+1的拐點(diǎn)是（0，1）。例3[0226]求函數(shù)y=x3－3x2－1的單調(diào)增減區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)[解析]本小題主要考查求函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)。滿分8分。D（f）=（－∞，∞）y′=3x26x，y′′=6x－6令y′=0，得x=0，x=2， 令y′′=0，得x=1x(∞,0)(0,1)1(1,2)2(2,+∞)y`+0－－0+y``－－0++y↗極大值↘拐點(diǎn)↘極小值↗∩f(0)=1∩(1，3)∪f(wàn)(2)=5∪所以函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為（－∞，0）U（2，+∞），單調(diào)減少區(qū)間為（0，2），極大值為f（0）=－1,極小值為f（2）=－5。其曲線的凸區(qū)間為（－∞，1），凹區(qū)間為（1，+∞），拐點(diǎn)為（1，－3）。定義如果曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P沿著曲線無(wú)限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P與某一固定直線L的距離趨于零，則稱直線L為曲線C的漸近線。（1）水平漸近線若當(dāng)x→∞時(shí)，f（x）→c（c為常數(shù)），即若,則稱y=f（x）有水平漸近線y=c。（2）鉛直漸近線若x→a（有時(shí)僅當(dāng)x→a+或x→a－），有f（x）→∞，即若則稱x=a為曲線y=f（x）的鉛直漸近線（也稱垂直漸近線）（其中a為常數(shù)）。例1曲線的水平漸近線為_(kāi)_____,鉛直漸近線為_(kāi)_____.[解析]本小題主要考查求曲線的水平、鉛直漸近線。（三）函數(shù)的最大（?。┲导皩?shí)際應(yīng)用問(wèn)題（1）設(shè)f（x）在[a，b]上是連續(xù)的，則f（x）在[a，b]上一定存在著最大值M和最小值m。且f（x）在[a，b]上的最值只能在[a，b]內(nèi)的極值點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)中求得。注意：在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值和最小值。（2）求連續(xù)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大值的解題步驟：①求出函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)的所有駐點(diǎn)以及導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)xi（i=1，2…k）②計(jì)算以上各點(diǎn)的函數(shù)值f（x1），f（x2），…f（xk）以及區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值f（a），f（b）；③比較以上的k+2個(gè)函數(shù)值，其中最大的函數(shù)值就是最大值M，最小的函數(shù)值就是最小值m。注意：①如果f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)只有一個(gè)極大值而沒(méi)有極小值，則這個(gè)極大值就是f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)的最大值；同理如果f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)只有一個(gè)極小值而沒(méi)有極大值，則這個(gè)極小值就是f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)的最小值。②如果f（x）在區(qū)間[a，b]上為單調(diào)連續(xù)函數(shù)，則最大（?。┲翟趨^(qū)間端點(diǎn)取得。例1[0019]求函數(shù)y=xe－x在區(qū)間[0，2]上的最大值與最小值（）[解析]本小題主要考查求函數(shù)的最值。滿分6分。y＇=（1－x）e－x，令y＇=0，得駐點(diǎn)x=1,因?yàn)閥（0）