對于數(shù)碼相機(jī)定位問題的分析(編輯修改稿)
2025-04-21 23:04 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 好在正方形的四個(gè)定點(diǎn)上，兩兩做這四個(gè)圓的外公切錢，如圖，可得相對的切點(diǎn)的連線經(jīng)過圓心，兩條連線的交點(diǎn)就是圓的圓心。所以在投射的象的圖形中，只需找到這些切線與切點(diǎn)，連接各個(gè)切點(diǎn)形成交線就可以求得圓心。對于問題中的圓B，由于不存在相互垂直的切線，所以只能夠確定一條直徑的位置，另外根據(jù)2的敘述，圓心的投影肯定在投影橢圓的短軸上，這樣用已知直徑的投影和橢圓的短軸相交，就可以求得B圓圓心投影的坐標(biāo)。4．2 橢圓方程的擬合本模型要求作橢圓的曲線，由于所給圖像分辨率不高，僅為1024*768像素，所以如果直接用圖像中圖形邊界做切線，精度將會(huì)變得非常低，會(huì)造成很大的誤差，所以在本模型中，先要利用所給圖像中圖形的邊界(在1中提取)擬合出橢圓的方程。平面中，二次曲線的一般方程是：其中將空間中任意一點(diǎn)帶入F，被稱為空間點(diǎn)到圓錐曲線的“代數(shù)距離”。擬合一條圓錐曲線可以看作是求所有被擬合點(diǎn)代數(shù)距離平方和的最小值。如下式所示：設(shè)用N個(gè)點(diǎn)擬合一個(gè)橢圓，又根據(jù)文獻(xiàn)[2]中描述如果限制可行解的向量肯定是橢圓的參數(shù)向量。由此可以把橢圓擬合的問題轉(zhuǎn)換為一個(gè)帶二次限制條件的最小二乘問題，如下：其中圖中五個(gè)橢圓方程擬合的結(jié)果如表3所示。表3 橢圓方程參數(shù)圓abcdefABCDE圖10為實(shí)際過程中橢圓擬合的效果圖，從圖中可以看出，方程對于橢圓做了很好的擬合，圖10 橢圓擬合效果圖表4顯示了擬合過程中代數(shù)距離平方和的最小值，可看出大約在數(shù)量級，由于每個(gè)橢圓用大約200個(gè)點(diǎn)進(jìn)行擬合，所以應(yīng)該在20左右，x,y坐標(biāo)平均的誤差應(yīng)該在幾個(gè)像素以內(nèi)。表4 代數(shù)距離平方和圓ABCDE平方和4．3 公切線的求取圖11 靶標(biāo)的公切線圖設(shè)兩橢圓方程分別為A橢圓在處的切線斜率為：B橢圓在處的切線斜率為：如果，連線是切線，那么聯(lián)立上述五式可求得，和的解，其中，關(guān)于，是四次方程，既可以求得四組解，這和切線的物理意義（兩組內(nèi)切，兩組外切）是一致的。實(shí)際求解過程當(dāng)中，由于計(jì)算規(guī)模過大，不宜求解，所以這里我們采用了將最后一個(gè)條件改為的優(yōu)化條件，然后限定，的范圍，用LINGO軟件解優(yōu)化(程序見附錄)問題，經(jīng)試驗(yàn)，效果良好，不僅求解速度很快，而且每次優(yōu)化目標(biāo)都等于0，說明求得了正確解。4．4 模型求解按上述模型求得的圓心坐標(biāo)如表5所示，表5 切線模型求點(diǎn)坐標(biāo)圓XyABCDE5 模型三 解析法模型5．1 模型建立在圖12所示在照相機(jī)坐標(biāo)系中圓的半徑是，設(shè)該圓繞 y軸旋轉(zhuǎn)角，圖中坐標(biāo)系原點(diǎn)設(shè)在焦距中心，圓心，距坐標(biāo)系原點(diǎn)的距離為，攝像機(jī)焦距為，圓的參數(shù)方程為根據(jù)相似三角形比例原則，圓上一點(diǎn)與圖像 中該點(diǎn)的坐標(biāo)有如下關(guān)系整理化成橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（在像平面上）為：圖12 空間圓的透視投影圖過圖12中的面作圓錐的剖面如圖7所示：，（設(shè)圓的半徑為），易知AB在像平面上的像為所形成橢圓的短軸。而過圓心且與AB垂直的半徑CD在像平面上的像為一條平行于圓在像平面上的像（橢圓）的長軸的直線，設(shè)其長度為，設(shè)其像橢圓的長軸長為，短軸長為。如圖8所示，設(shè)圓心到原點(diǎn)的距離為，圓心到像平面的距離為。則由相似三角形的關(guān)系有： （2） 又由小孔成像的原理，對應(yīng)的直線在成像后大小變化的比例是相等的，反映在上左圖中即： （3）由上面的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可知圓所成的像的中心并不是圓的圓心在像平面上的對應(yīng)點(diǎn)，圓心的坐標(biāo)為與上面（*）（**）式聯(lián)立可以得出如下關(guān)系： （4）為了確定圓心的位置，由于的紙無法直接得出，所以取橢圓的半長軸代替，可以得出圓心的近似位置。5．2 參數(shù)求解對于式（***），像距f已知，需要解得橢圓的半長軸和半短軸，對于任意橢圓的一般式，總可以將其化成如下形式：根據(jù)系數(shù)相等可得：解得由此可得橢圓的圓心為，橢圓的半長軸為，半短軸為橢圓旋轉(zhuǎn)角度為5．3 模型求解，轉(zhuǎn)角，中心，(2)(4)式求得空間圓圓心在象平面投影的坐標(biāo)。表6 空間圓圓心在象平面投影的坐標(biāo)圓XYABCDE問題三1．模型的檢驗(yàn)方法該方法的核心是基于問題一的結(jié)論，在問題一中，已經(jīng)獲得靶標(biāo)上的點(diǎn)和像平面上像坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系，因此可以按以下步驟完成基于仿真的檢驗(yàn)：步驟1 固定靶標(biāo)，確定相機(jī)相對于靶標(biāo)的姿態(tài)，包括旋轉(zhuǎn)矩陣和位移矢量。步驟2通過問題一結(jié)論中的變換公式，求出靶標(biāo)上所有點(diǎn)映射到相機(jī)像平面的坐標(biāo)，這里必須使用離散化算法。（離散化算法解釋）這一步實(shí)際上就仿真求出了在此相機(jī)姿態(tài)下，靶標(biāo)在相機(jī)像平面所成的像，同時(shí)，可以準(zhǔn)確的知道靶標(biāo)上圓的圓心在相機(jī)像平面投影的坐標(biāo)。步驟3 用問題二中的多種方法對步驟2中求出的靶標(biāo)的像求圓心步驟4 用所求得圓心和映射在相機(jī)像平面的準(zhǔn)確的圓心的像做比較，兩者相差越小說明方法越準(zhǔn)確。2．檢驗(yàn)結(jié)論(a) (b)圖13 成像檢驗(yàn)圖表7 圖13(a)檢驗(yàn)結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)圓心質(zhì)心模型切線模型解析法模型XyXYxyxy誤差平方和表8 圖13(b)檢驗(yàn)結(jié)果 標(biāo)準(zhǔn)圓心質(zhì)心模型切線模型解析法模型Xyxyxyxy誤差平方和表78顯示了用上述方法檢驗(yàn)問題二中方法的結(jié)果，生成的虛擬照片如圖13所示。其中圖13(a)為像平面與物平面近似平行的情況，從結(jié)果中可以看出，在這種情況下，利用質(zhì)心模型求解投影模型的誤差是十分小的，在某些情況下，質(zhì)心模型求解的誤差小于用理論上更精確的切線模型和解析法模型。經(jīng)過分析，我們認(rèn)為，這是因?yàn)橛捎谟邢薹直媛试斐傻牧炕`差其實(shí)可以等效為均值在質(zhì)心的二維高斯噪聲，而求質(zhì)心相當(dāng)于對噪聲作了平均，一次可以抵消一部分噪聲的影響，而切線模型和解析法模型是基于二次曲線最小二乘擬合的，這不能消除高斯噪聲的影響。但圖13(b)中，像平面與物平面有較大的角度，這時(shí)，質(zhì)心模型有較大的誤差，而切線模型和解析法模型的誤差較小。問題四此小問即要求通過靶標(biāo)的世界坐標(biāo)系坐標(biāo)和靶標(biāo)在兩部相機(jī)的成像坐標(biāo)系中的像點(diǎn)坐標(biāo)來確定兩部相機(jī)的相對位置。具體來說，即已知靶標(biāo)上若干物點(diǎn)的世界坐標(biāo)和成像坐標(biāo)，標(biāo)定兩個(gè)相機(jī)坐標(biāo)系相對世界坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量以及相機(jī)的內(nèi)部參數(shù)。由這四個(gè)矩陣能夠自然地求得兩相機(jī)的相對位置。由問題一可以看到，本小問是問題一的反向求解，即已知兩種坐標(biāo)系下點(diǎn)的坐標(biāo)，求轉(zhuǎn)移矩陣的過程。但直接通過式(1)來求解是非常困難的。原因有二：第一，是3*4的矩陣，有12個(gè)未知數(shù)， 需要解12個(gè)方程，即使借助計(jì)算機(jī)軟件也很難完成任務(wù)，Matlab的Solve函數(shù)求解能力不足以解決12個(gè)方程，Lingo也應(yīng)變量過多無法在有限時(shí)間內(nèi)給出結(jié)果；第二，通過消去，每個(gè)靶標(biāo)上的物點(diǎn)及其對應(yīng)成像點(diǎn)可提供2個(gè)方程，因而共需6個(gè)點(diǎn)才能解出未知數(shù)，但本題
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