對于數(shù)碼相機定位問題的分析(編輯修改稿)
2025-04-21 23:04 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 好在正方形的四個定點上，兩兩做這四個圓的外公切錢，如圖，可得相對的切點的連線經(jīng)過圓心，兩條連線的交點就是圓的圓心。所以在投射的象的圖形中，只需找到這些切線與切點，連接各個切點形成交線就可以求得圓心。對于問題中的圓B，由于不存在相互垂直的切線，所以只能夠確定一條直徑的位置，另外根據(jù)2的敘述，圓心的投影肯定在投影橢圓的短軸上，這樣用已知直徑的投影和橢圓的短軸相交，就可以求得B圓圓心投影的坐標。4．2 橢圓方程的擬合本模型要求作橢圓的曲線，由于所給圖像分辨率不高，僅為1024*768像素，所以如果直接用圖像中圖形邊界做切線，精度將會變得非常低，會造成很大的誤差，所以在本模型中，先要利用所給圖像中圖形的邊界(在1中提取)擬合出橢圓的方程。平面中，二次曲線的一般方程是：其中將空間中任意一點帶入F，被稱為空間點到圓錐曲線的“代數(shù)距離”。擬合一條圓錐曲線可以看作是求所有被擬合點代數(shù)距離平方和的最小值。如下式所示：設(shè)用N個點擬合一個橢圓，又根據(jù)文獻[2]中描述如果限制可行解的向量肯定是橢圓的參數(shù)向量。由此可以把橢圓擬合的問題轉(zhuǎn)換為一個帶二次限制條件的最小二乘問題，如下：其中圖中五個橢圓方程擬合的結(jié)果如表3所示。表3 橢圓方程參數(shù)圓abcdefABCDE圖10為實際過程中橢圓擬合的效果圖，從圖中可以看出，方程對于橢圓做了很好的擬合，圖10 橢圓擬合效果圖表4顯示了擬合過程中代數(shù)距離平方和的最小值，可看出大約在數(shù)量級，由于每個橢圓用大約200個點進行擬合，所以應(yīng)該在20左右，x,y坐標平均的誤差應(yīng)該在幾個像素以內(nèi)。表4 代數(shù)距離平方和圓ABCDE平方和4．3 公切線的求取圖11 靶標的公切線圖設(shè)兩橢圓方程分別為A橢圓在處的切線斜率為：B橢圓在處的切線斜率為：如果，連線是切線，那么聯(lián)立上述五式可求得，和的解，其中，關(guān)于，是四次方程，既可以求得四組解，這和切線的物理意義（兩組內(nèi)切，兩組外切）是一致的。實際求解過程當中，由于計算規(guī)模過大，不宜求解，所以這里我們采用了將最后一個條件改為的優(yōu)化條件，然后限定，的范圍，用LINGO軟件解優(yōu)化(程序見附錄)問題，經(jīng)試驗，效果良好，不僅求解速度很快，而且每次優(yōu)化目標都等于0，說明求得了正確解。4．4 模型求解按上述模型求得的圓心坐標如表5所示，表5 切線模型求點坐標圓XyABCDE5 模型三 解析法模型5．1 模型建立在圖12所示在照相機坐標系中圓的半徑是，設(shè)該圓繞 y軸旋轉(zhuǎn)角，圖中坐標系原點設(shè)在焦距中心，圓心，距坐標系原點的距離為，攝像機焦距為，圓的參數(shù)方程為根據(jù)相似三角形比例原則，圓上一點與圖像 中該點的坐標有如下關(guān)系整理化成橢圓的標準方程（在像平面上）為：圖12 空間圓的透視投影圖過圖12中的面作圓錐的剖面如圖7所示：，（設(shè)圓的半徑為），易知AB在像平面上的像為所形成橢圓的短軸。而過圓心且與AB垂直的半徑CD在像平面上的像為一條平行于圓在像平面上的像（橢圓）的長軸的直線，設(shè)其長度為，設(shè)其像橢圓的長軸長為，短軸長為。如圖8所示，設(shè)圓心到原點的距離為，圓心到像平面的距離為。則由相似三角形的關(guān)系有： （2） 又由小孔成像的原理，對應(yīng)的直線在成像后大小變化的比例是相等的，反映在上左圖中即： （3）由上面的橢圓標準方程可知圓所成的像的中心并不是圓的圓心在像平面上的對應(yīng)點，圓心的坐標為與上面（*）（**）式聯(lián)立可以得出如下關(guān)系： （4）為了確定圓心的位置，由于的紙無法直接得出，所以取橢圓的半長軸代替，可以得出圓心的近似位置。5．2 參數(shù)求解對于式（***），像距f已知，需要解得橢圓的半長軸和半短軸，對于任意橢圓的一般式，總可以將其化成如下形式：根據(jù)系數(shù)相等可得：解得由此可得橢圓的圓心為，橢圓的半長軸為，半短軸為橢圓旋轉(zhuǎn)角度為5．3 模型求解，轉(zhuǎn)角，中心，(2)(4)式求得空間圓圓心在象平面投影的坐標。表6 空間圓圓心在象平面投影的坐標圓XYABCDE問題三1．模型的檢驗方法該方法的核心是基于問題一的結(jié)論，在問題一中，已經(jīng)獲得靶標上的點和像平面上像坐標的對應(yīng)關(guān)系，因此可以按以下步驟完成基于仿真的檢驗：步驟1 固定靶標，確定相機相對于靶標的姿態(tài)，包括旋轉(zhuǎn)矩陣和位移矢量。步驟2通過問題一結(jié)論中的變換公式，求出靶標上所有點映射到相機像平面的坐標，這里必須使用離散化算法。（離散化算法解釋）這一步實際上就仿真求出了在此相機姿態(tài)下，靶標在相機像平面所成的像，同時，可以準確的知道靶標上圓的圓心在相機像平面投影的坐標。步驟3 用問題二中的多種方法對步驟2中求出的靶標的像求圓心步驟4 用所求得圓心和映射在相機像平面的準確的圓心的像做比較，兩者相差越小說明方法越準確。2．檢驗結(jié)論(a) (b)圖13 成像檢驗圖表7 圖13(a)檢驗結(jié)果標準圓心質(zhì)心模型切線模型解析法模型XyXYxyxy誤差平方和表8 圖13(b)檢驗結(jié)果 標準圓心質(zhì)心模型切線模型解析法模型Xyxyxyxy誤差平方和表78顯示了用上述方法檢驗問題二中方法的結(jié)果，生成的虛擬照片如圖13所示。其中圖13(a)為像平面與物平面近似平行的情況，從結(jié)果中可以看出，在這種情況下，利用質(zhì)心模型求解投影模型的誤差是十分小的，在某些情況下，質(zhì)心模型求解的誤差小于用理論上更精確的切線模型和解析法模型。經(jīng)過分析，我們認為，這是因為由于有限分辨率造成的量化誤差其實可以等效為均值在質(zhì)心的二維高斯噪聲，而求質(zhì)心相當于對噪聲作了平均，一次可以抵消一部分噪聲的影響，而切線模型和解析法模型是基于二次曲線最小二乘擬合的，這不能消除高斯噪聲的影響。但圖13(b)中，像平面與物平面有較大的角度，這時，質(zhì)心模型有較大的誤差，而切線模型和解析法模型的誤差較小。問題四此小問即要求通過靶標的世界坐標系坐標和靶標在兩部相機的成像坐標系中的像點坐標來確定兩部相機的相對位置。具體來說，即已知靶標上若干物點的世界坐標和成像坐標，標定兩個相機坐標系相對世界坐標系的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量以及相機的內(nèi)部參數(shù)。由這四個矩陣能夠自然地求得兩相機的相對位置。由問題一可以看到，本小問是問題一的反向求解，即已知兩種坐標系下點的坐標，求轉(zhuǎn)移矩陣的過程。但直接通過式(1)來求解是非常困難的。原因有二：第一，是3*4的矩陣，有12個未知數(shù)， 需要解12個方程，即使借助計算機軟件也很難完成任務(wù)，Matlab的Solve函數(shù)求解能力不足以解決12個方程，Lingo也應(yīng)變量過多無法在有限時間內(nèi)給出結(jié)果；第二，通過消去，每個靶標上的物點及其對應(yīng)成像點可提供2個方程，因而共需6個點才能解出未知數(shù)，但本題
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