無(wú)窮級(jí)數(shù)練習(xí)題(編輯修改稿)
2025-04-21 03:29 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 非齊次方程①的通解為 令，由初始條件② 因此 求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)【分析與求解】 這是缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù)，令考察，其中 由 的收斂半徑為1原冪級(jí)數(shù)收斂半徑為1，收斂區(qū)間為。下面求和函數(shù)：， 注意，積分兩次得 , 因此，求級(jí)數(shù)的和?！痉治雠c求解】先將級(jí)數(shù)分解： 第二個(gè)級(jí)數(shù)是幾何級(jí)數(shù)，它的和已知 求第一個(gè)級(jí)數(shù)的和轉(zhuǎn)化為冪級(jí)數(shù)求和，考察 因此原級(jí)數(shù)的和 求級(jí)數(shù)的和。【分析與求解】 先用分解法將原級(jí)數(shù)分解。 記 要熟記五個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，與此級(jí)數(shù)和有關(guān)的是，即 于是 ， 因此 將函數(shù)展為的冪級(jí)數(shù)?！痉治雠c求解】容易展開(kāi)。 ，由 ，得 ①在冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)積分得 ②且收斂區(qū)間不變，當(dāng)時(shí)，②式右端級(jí)數(shù)均收斂，而左端在連續(xù)，在無(wú)定義，因此 將函數(shù) 展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)?！痉治雠c求解】，先求的展開(kāi)式 積分得 設(shè) 試將展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)，并求級(jí)數(shù)的和?！痉治雠c求解】 關(guān)鍵是將展成冪級(jí)數(shù)，然后約去因子，再乘上并化簡(jiǎn)即可。直接將展開(kāi)辦不到，且易展開(kāi)，即 ①積分得 ②因?yàn)橛叶思?jí)數(shù)在時(shí)均收斂，又在連續(xù)，所以展開(kāi)式在收斂區(qū)間端點(diǎn)成立?，F(xiàn)將②式兩邊同乘得 上式右端當(dāng)時(shí)取值為1，于是 上式中令 1將函數(shù)展成以為周期的傅里葉級(jí)數(shù)，并由此求級(jí)數(shù)的和?！痉治雠c求解】 按傅氏系數(shù)公式，先求的傅氏系數(shù)與。因?yàn)榕己?
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