無窮級數(shù)練習(xí)題(編輯修改稿)
2025-04-21 03:29 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 非齊次方程①的通解為 令，由初始條件② 因此 求冪級數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)【分析與求解】 這是缺項冪級數(shù)，令考察，其中 由 的收斂半徑為1原冪級數(shù)收斂半徑為1，收斂區(qū)間為。下面求和函數(shù)：， 注意，積分兩次得 , 因此，求級數(shù)的和?！痉治雠c求解】先將級數(shù)分解： 第二個級數(shù)是幾何級數(shù)，它的和已知 求第一個級數(shù)的和轉(zhuǎn)化為冪級數(shù)求和，考察 因此原級數(shù)的和 求級數(shù)的和?！痉治雠c求解】 先用分解法將原級數(shù)分解。 記 要熟記五個簡單函數(shù)的冪級數(shù)展開式，與此級數(shù)和有關(guān)的是，即 于是 ， 因此 將函數(shù)展為的冪級數(shù)。【分析與求解】容易展開。 ，由 ，得 ①在冪級數(shù)的收斂區(qū)間內(nèi)可逐項積分得 ②且收斂區(qū)間不變，當(dāng)時，②式右端級數(shù)均收斂，而左端在連續(xù)，在無定義，因此 將函數(shù) 展開成的冪級數(shù)?！痉治雠c求解】，先求的展開式 積分得 設(shè) 試將展開成的冪級數(shù)，并求級數(shù)的和。【分析與求解】 關(guān)鍵是將展成冪級數(shù)，然后約去因子，再乘上并化簡即可。直接將展開辦不到，且易展開，即 ①積分得 ②因為右端級數(shù)在時均收斂，又在連續(xù)，所以展開式在收斂區(qū)間端點成立?，F(xiàn)將②式兩邊同乘得 上式右端當(dāng)時取值為1，于是 上式中令 1將函數(shù)展成以為周期的傅里葉級數(shù)，并由此求級數(shù)的和?！痉治雠c求解】 按傅氏系數(shù)公式，先求的傅氏系數(shù)與。因為偶函
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