【文章內(nèi)容簡介】 xxxxxxxxfffffffffffffffffffffffffgg?????????????????????????????????????????????????????????）（35 第七章 非線性規(guī)劃 第二節(jié) 基本概念 三、凸函數(shù) （ ii）一元凸函數(shù)的定義 圖 76 一元凸函數(shù) O x )(xf)(xfx3 x1 x2 )(1)( 21 xx ff ）（ ?? ??)( 1xf)( 2xf)( 3xf213 1 xxx ）（ ?? ???)(xg因此，對于凸函數(shù)，應(yīng)有： )())1(()( 3213 xgxxfxf ???? ?? 而： )()1()()( 213 xxx ffg ?? ???因此，凸函數(shù)應(yīng)滿足的條件為： )()1()(])1([ 2121 xxxx fff ???? ?????如果 )()1()(])1([ 2121 xxxx fff ???? ?????則函數(shù) f(x)稱為凹函數(shù)。 36 第七章 非線性規(guī)劃 第二節(jié) 基本概念 三、凸函數(shù) （ 2）多元凸函數(shù) （ ii）一元凸函數(shù)的定義 定義（一元凸函數(shù)）：對于一元函數(shù) )( xf ，任取兩點1x，2x，對于任何實數(shù) )10( ?? ?? ，如恒有： )()1()(])1([ 2121 xxxx fff ???? ????? 則稱函數(shù) )( xf 為凸函數(shù)。 37 第七章 非線性規(guī)劃 第二節(jié) 基本概念 三、凸函數(shù) 2. 凸函數(shù)的性質(zhì) （ 2）多元凸函數(shù) 定義（多元凸函數(shù)）：設(shè))( xf為定義在 n 維歐式空間 nE 中某個凸集 R 上的函數(shù)，若對任何實數(shù))10( ?? ??及 R 中的任意兩點1x，2x，恒有： )()1()(])1([ 2121 xxxx fff ???? ????? 則稱)( xf為定義在 R 上的一個凸函數(shù)。 若對任何實數(shù))10( ?? ??及 R 中任意兩點21 xx ?，恒有： )()1()(])1([ 2121 xxxx fff ???? ????? 則稱)( xf為定義在 R 上的一個嚴格凸函數(shù)。 38 第七章 非線性規(guī)劃 第二節(jié) 基本概念 三、凸函數(shù) 2. 凸函數(shù)的性質(zhì) 三．凸函數(shù) 主要內(nèi)容： 凸集（見線性規(guī)劃） 凸函數(shù) 凸函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù)凸性的判定 凸函數(shù)的極值 上述內(nèi)容為研究非線性規(guī)劃不可缺少的內(nèi)容。 39 第七章 非線性規(guī)劃 第二節(jié) 基本概念 三、凸函數(shù) 3. 函數(shù)凸性的判斷 2. 凸函數(shù)的性質(zhì) 性質(zhì) 1: 設(shè) )( xf 為定義在凸集 R 上的凸函數(shù)，則對于任意實數(shù) a ，函數(shù))( xaf 也是定義在 R 上的凸函數(shù)。 性質(zhì) 2: 設(shè) )(1 xf 和 )(2 xf 為定義在凸集 R 上的兩個凸函數(shù)，則其和)()( 21 xx ff ? 也是定義在 R 上的凸函數(shù)。 40 第七章 非線性規(guī)劃 第二節(jié) 基本概念 三、凸函數(shù) 3. 函數(shù)凸性的判斷 三．凸函數(shù) 主要內(nèi)容： 凸集（見線性規(guī)劃） 凸函數(shù) 凸函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù)凸性的判定 凸函數(shù)的極值 上述內(nèi)容為研究非線性規(guī)劃不可缺少的內(nèi)容。 41 第七章 非線性規(guī)劃 第二節(jié) 基本概念 三、凸函數(shù) 定理 4 3. 函數(shù)凸性的判斷 直接方法 : 定理 3: 利用凸函數(shù)定義判斷，難度較大。 （一階條件）設(shè)函數(shù) )( xf 在 n 維歐式空間 nE 中某一開集 R 上具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，0R為 R 的一個凸集，則 )( xf 為0R上的凸函數(shù)的充要條件是：對于任意兩點01 R?x，02 R?x，21 xx ?，恒有： )()()()( 1T1212 xxxxx fff ???? 證略。 42 第七章 非線性規(guī)劃 第二節(jié) 基本概念 三、凸函數(shù) 例 75 函數(shù)凸性的判斷 定理 4: （二階條件）：設(shè)函數(shù) )( xf 在 n 維歐式空間 nE 中某一開集 R 上具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，0R為 R 的一個凸集，則 )( xf 為0R上的凸函數(shù)的充要條件是： )( xf 的海賽矩陣 )( xH 在0R上半正定。若 )( xf 的海賽矩陣在 )( xH 對一切0R?x都是正定的，則 )( xf 為0R上的嚴格凸函數(shù)。 證略。 43 第七章 非線性規(guī)劃 第二節(jié) 基本概念 三、凸函數(shù) 例 75 函數(shù)凸性的判斷 例 7 5 利用二階條件（定理 4 ）判定函數(shù) 10223)(222121 ????? xxxxf x的凸性 解： )( xf 的海賽矩陣為 ??????????????????????????????4006)()()()()(222122212212xfxxfxxfxfxxxxxH )( xH的各階順序主子式分別為 1 階順序主子式 ：06 ? 2 階順序主子式 ：0244006?? 因此，)( xH為正定矩陣 根據(jù)定理 4 （二階條件），函數(shù))( xf在 n 維歐式空間nE 中的任意凸集0R上均為嚴格凸函數(shù)。 44 第七章 非線性規(guī)劃 第二節(jié) 基本概念 三、凸函數(shù) 4. 凸函數(shù)的極值 三．凸函數(shù) 主要內(nèi)容： 凸集（見線性規(guī)劃） 凸函數(shù) 凸函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù)凸性的判定 凸函數(shù)的極值 上述內(nèi)容為研究非線性規(guī)劃不可缺少的內(nèi)容。 45 第七章 非線性規(guī)劃 第二節(jié) 基本概念 三、凸函數(shù) 定理 4 4. 凸函數(shù)的極值 局部極小點雖然易于求得 但函數(shù)的局部極小點不一定等于其全局極小點（最小點） 實際優(yōu)化問題的目標為求函數(shù)的全局極小點（或全局極大點） 常用方法為將全部極小值進行比較（有時需考慮邊界值） 但對于凸函數(shù)，局部極小點就是全局極小點。 46 第七章 非線性規(guī)劃 第二節(jié) 基本概念 三、凸函數(shù) 第三節(jié) 凸規(guī)劃 定理 5: 若 )( xf 為定義在凸集 R 上的凸函數(shù)，則其任一極小點就是其在 R 上的最小點（全局極小點）。 證略。 定理 6: 設(shè))( xf為定義在凸集 R 上的可微凸函數(shù)，若存在點 R?*x ，使得對于所有的 R?x ，有 0)()( *T* ??? xxx f 則 *x 是)( xf在凸集 R 上的最小點（全局極小點）。 47 目錄 第三節(jié) 凸規(guī)劃 第七章 非線性規(guī)劃 第一節(jié) 引言 第二節(jié) 基本概念 第三節(jié) 凸規(guī)劃 第四節(jié) 一維搜索 48 第七章 非線性規(guī)劃 第三節(jié) 凸規(guī)劃 二．凸規(guī)劃的解 一．凸規(guī)劃的定義 第三節(jié) 凸規(guī)劃 定義 : 對于非線性規(guī)劃 min )( xf s . t . 0)( ?xig （ ni ，， ?21? ） 如 )( xf 為凸函數(shù)， )( xig為凹函數(shù)（或 )( xig?為凸函數(shù)），則該規(guī)劃稱為凸規(guī)劃。 49 第七章 非線性規(guī)劃 第三節(jié) 凸規(guī)劃 例 76 討論凸規(guī)劃問題 二．凸規(guī)劃的解 凸規(guī)劃的局部最優(yōu)解為全局最優(yōu)解。 當凸規(guī)劃的目標函數(shù)為嚴格凸函數(shù)時，最優(yōu)解唯一（如最優(yōu)解存在）。 線性規(guī)劃與凸規(guī)劃：由于線性函數(shù)既為凸函數(shù)，又為凹函數(shù)，所以線性規(guī)劃也屬于凸規(guī)劃。 凸規(guī)劃是非線性規(guī)劃中既簡單又具有重要理論意義的一類規(guī)劃。但是，用解析方法求解依然不實際。 50 第七章 非線性規(guī)劃 第三節(jié) 凸規(guī)劃 約束函數(shù)凸性判斷 例 7 6 討論非線性規(guī)劃 min 44)(12221 ??? xf xxx s . t . 02)(211 ???? xxg x 01)( 2221????? xxg x 0,21 ?xx 解：（ 1 ）判斷該規(guī)劃是否凸規(guī)劃（判斷目標函數(shù)及約束條件的凸性 ） 利用定理 4 （凸函數(shù)二階充要條件，即海賽矩陣的正定、半正定） （ i ） )( xf 的凸性判斷 )( xf 的海賽矩陣： ??????????????????????????????2002)()()()()(2221222122121xfxxfxxfxfxxxxxH 1階順序主子式 : 2階順序主子式 : 02?0420 02 ??因此， )(1 xH 為正定矩陣，從而 )( xf 為嚴格凸函數(shù)。 51 第七章 非線性規(guī)劃 第三節(jié) 凸規(guī)劃 圖 77 1階順序主子式 : 2階順序主子式 : 02 ?000 02 ?（ ii ） )(1 xg的凸性判斷 )(1 xg 為線性函數(shù)，既可看做凸函數(shù)，也可看做凹函數(shù)。 （ iii ） )(2 xg的凸性判斷 )(2 xg 的海賽矩陣： ??????????????????????????????0002)()()()()(22221222212221222xgxxgxxgxgxxxxxH因此， )(2 xH 為半負定矩陣，從而 )(2 xg 為凹函數(shù)。 綜上，該規(guī)劃為凸規(guī)劃，其目標函數(shù)等值線投影及可行域如圖 77所示。 52 第七章 非線性規(guī)劃 第三節(jié) 凸規(guī)劃 第四節(jié) 一維搜索方法 圖 77 例 76圖示 O x1 x2 0)(1 ?xg0)(2 ?xg目標函數(shù) 等值線 可行域 最優(yōu)點 C ● 最優(yōu)點：圖中點 C 最優(yōu)解： T* ),(?x 最優(yōu)值： )( * ?xf 53 目錄 第四節(jié) 一維搜索方法 第七章 非線性規(guī)劃 第一節(jié) 引言 第二節(jié) 基本概念 第三節(jié) 凸規(guī)劃 第四節(jié) 一維搜索方法 54 第七章 非線性規(guī)劃 第四節(jié) 一維搜索方法 一維搜索概要 一、概述 第四