【文章內(nèi)容簡介】 時, =；時, ．…………………6分●結(jié)論歸納: ． ………………7分●實踐應(yīng)用設(shè)長方形一邊長為米,則另一邊長為米,設(shè)鏡框周長為l米，則 ≥ ． ……………9分當,即（米）時,鏡框周長最?。藭r四邊形為正方形時,周長最小為4 米. ………………10分4. （2011山東濟寧，19，6分）如圖，為外接圓的直徑，垂足為點，的平分線交于點，連接，.(1) 求證：； (2) 請判斷，三點是否在以為圓心，以為半徑的圓上？并說明理由.(第19題)【答案】（1）證明：∵為直徑，∴.∴. 3分（2）答：，三點在以為圓心，以為半徑的圓上. 4分理由：由（1）知：，∴.∵，，∴.∴. 6分由（1）知：.∴.∴，三點在以為圓心，以為半徑的圓上. …………………7分5. （2011山東煙臺，25,12分）已知：AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點G，E是直線AB上一動點（不與點A、B、G重合），直線DE交⊙O于點F，⊙O的半徑為r.（1）如圖1，當點E在直徑AB上時，試證明：OEOP＝r2（2）當點E在AB（或BA）的延長線上時，以如圖2點E的位置為例，請你畫出符合題意的圖形，標注上字母，（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由..ABCDE.OG（圖2）ABCDEFP.OG（圖1）【答案】（1）證明：連接FO并延長交⊙O于Q，連接DQ.∵FQ是⊙O直徑，∴∠FDQ＝90176。.∴∠QFD＋∠Q＝90176。. ∵CD⊥AB，∴∠P＋∠C＝90176。.∵∠Q＝∠C，∴∠QFD＝∠P.∵∠FOE＝∠POF，∴△FOE∽△POF.∴.∴OEOP＝OF2＝r2.（2）解：（1）中的結(jié)論成立.理由：如圖2，依題意畫出圖形，連接FO并延長交⊙O于M，連接CM.∵FM是⊙O直徑，∴∠FCM＝90176。，∴∠M＋∠CFM＝90176。.∵CD⊥AB，∴∠E＋∠D＝90176。.∵∠M＝∠D，∴∠CFM＝∠E. ∵∠POF＝∠FOE，∴△POF∽△FOE.∴，∴OEOP＝OF2＝r2.6. （2011寧波市，25，10分）閱讀下面的情境對話，然后解答問題（1）根據(jù)“奇異三角形”的定義，請你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題還是假命題？（2）在RtABC 中， ∠ACB＝90176。，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若RtABC是奇異三角形，求a：b：c；（3）如圖，AB是⊙O的直徑，C是上一點（不與點A、B重合），D是半圓的中點，CD在直徑AB的兩側(cè)，若在⊙O內(nèi)存在點E使得AE＝AD，CB＝CE．求證：ACE是奇異三角形；當ACE是直角三角形時，求∠AOC的度數(shù)．【答案】解：（1）真命題（2）在RtABC 中a2＋b2＝ c2，∵c＞b＞a＞0∴2c2＞a2＋b2，2a2＜c2＋b2∴若RtABC是奇異三角形，一定有2b2＝c2＋ a2∴2b2＝a2＋（a2＋b2）∴b2＝2a2　得：b＝a∵c2＝b2＋ a2＝3a2∴c＝a∴a：b：c＝1：：(3)∵AB是⊙O的直徑ACBADB＝90176。在RtABC 中，AC2＋BC2＝AB2在RtADB 中，AD2＋BD2＝AB2∵點D是半圓的中點∴＝∴AD＝BD∴AB2＝AD2＋BD2＝2AD2∴AC2＋CB2＝2AD2又∵CB＝CE，AE＝AD∴AC2＝CE2＝2AE2∴ACE是奇異三角形由可得ACE是奇異三角形∴AC2＝CE2＝2AE2當ACE是直角三角形時由（2）可得AC：AE：CE＝1：：或AC：AE：CE＝：： 1（Ⅰ）當AC：AE：CE＝1：：時AC：CE＝1：即AC：CB＝1：∵∠ACB＝90176?！唷螦BC＝30176。∴∠AOC＝2∠ABC ＝60176。(Ⅱ)當AC：AE：CE＝：： 1時AC：CE＝： 1即AC：CB＝： 1∵∠ACB＝90176?！唷螦BC＝60176?！唷螦OC＝2∠ABC ＝120176?！唷螦OC＝2∠ABC ＝120176?！唷螦OC的度數(shù)為60176?；?20176。7. （2011浙江麗水，21，8分）如圖，射線PG平分∠EPF，O為射線PG上一點，以O(shè)為圓心，10為半徑作⊙O，分別與∠EPF兩邊相交于A、B和C、D，連結(jié)OA，此時有OA∥PE.（1）求證：AP＝AO；（2）若弦AB＝12，求tan∠OPB的值；（3）若以圖中已標明的點(即P、A、B、C、D、O)構(gòu)造四邊形，則能構(gòu)成菱形的四個點為 ，能構(gòu)成等腰梯形的四個點為 或 或 .【解】（1）∵PG平分∠EPF， ∴∠DPO=∠BPO， ∵OA//PE， ∴∠DPO=∠POA， ∴∠BPO=∠POA， ∴PA=OA；（2）過點O作OH⊥AB于點H，則AH=HB， ∵AB=12， ∴AH=6， 由（1）可知PA=OA=10， ∴PH=PA+AH=16， OH==8， ∴tan∠OPB==； （3）P、A、O、C；A、B、D、C或P、A、O、D或P、C、O、B.8. （2011廣東廣州市，25，14分） 如圖7，⊙O中AB是直徑，C是⊙O上一點，∠ABC=45176。，等腰直角三角形DCE中 ∠DCE是直角，點D在線段AC上．?。?）證明：B、C、E三點共線； （2）若M是線段BE的中點，N是線段AD的中點，證明：MN=OM； （3）將△DCE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α（0176。＜α＜90176。）后，記為△D1CE1（圖8），若M1是線段BE1的中點，N1是線段AD1的中點，M1N1=OM1是否成立？若是，請證明；若不是，說明理由．ABCDEMNO圖7ABCD1E1M1ON1圖8【答案】（1）∵AB為⊙O直徑∴∠ACB=90176?！摺鱀CE為等腰直角三角形∴∠ACE=90176?！唷螧CE=90176。+90176。=180176?！郆、C、E三點共線．（2）連接BD，AE，ON．∵∠ACB=90176。，∠ABC=45176?！郃B=AC∵DC=DE∠ACB=∠ACE=90176?！唷鰾CD≌△ACE∴AE=BD，∠DBE=∠EAC∴∠DBE+∠BEA=90176。∴BD⊥AE∵O，N為中點∴ON∥BD，ON=BD同理OM∥AE，OM=AE∴OM⊥ON，OM=ON∴MN=OM（3）成立證明：同（2）旋轉(zhuǎn)后∠BCD1=∠BCE1=90176。－∠ACD1所以仍有△BCD1≌△ACE1，所以△ACE1是由△BCD1繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90176。而得到的，故BD1⊥AE1其余證明過程與（2）完全相同．9. （2011浙江麗水，24，12分）如圖，在平面直角坐標系中，點A(10，0)，以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓C，點B是該半圓周上的一動點，連結(jié)OB、AB，并延長AB至點D，使DB＝AB，過點D作x軸垂線，分別交x軸、直線OB于點E、F，點E為垂足，連結(jié)CF.（1）當∠AOB＝30176。時，求弧AB的長；（2）當DE＝8時，求線段EF的長；（3）在點B運動過程中，是否存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，若存在，請求出此時點E的坐標；若不存在，請說明理由.【解】(1)連結(jié)BC， ∵A(10，0)，∴OA=10，CA=5， ∵∠AOB=30176。， ∴∠ACB=2∠AOB=60176。， ∴的長==；（2）連結(jié)OD， ∵OA是⊙C的直徑，∴∠OBA=90176。， 又∵AB= BD， ∴OB是AD的垂直平分線， ∴OD= OA=10， 在Rt△ODE中， OE===6， ∴AE= AO－OE =10－6=4， 由∠AOB=∠ADE= 90176。－∠OAB， ∠OEF=∠DEA， 得△OEF∽△DEA， ∴=，即=，∴EF=3； (3)設(shè)OE=x， ①當交點E在O，C之間時，由以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似， 有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，當∠ECF=∠BOA時，此時△OCF為等腰三角形，點E為OC的中點，即OE=， ∴E1(，0)； 當∠ECF=∠OAB時，有CE=5－x，AE=10－x， ∴CF//AB，有CF=AB， ∵△ECF∽△EAD， ∴=，即=，解得x=，∴E2(，0)；②當交點E在C的右側(cè)時，∵∠ECF∠BOA∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，連結(jié)BE， ∵BE為Rt△ADE斜邊上的中線，∴BE=AB=BD，∴∠BEA=∠BAO，∴∠BEA=∠ECF，∵CF//BE，∴=，∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=Rt∠， ∴△CEF∽△AED，∴=， 而AD=2BE，∴=，即=，解得x1=，x2=0（舍去），∴E3(，0)；③當交點E在O的左側(cè)時，∵∠BOA=∠EOF∠ECF∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，連結(jié)BE，得BE=AD=AB， ∠BEA=∠BAO，∴∠ECF=∠BEA，∴CF//BE，∴=，又∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=Rt∠， ∴△CEF∽△AED，∴=， 而AD=2BE，∴=，∴=，解得x1=，x2=0（舍去），∵點E在x軸負半軸上，∴E4(，0)，綜上所述：存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，此時點E坐標為：∴E1(，0)、E2(，0)、E3(，0)、E4(，0).10．（2011江西，21，8分）如圖，已知⊙O的半徑為2，弦BC的長為，點A為弦BC所對優(yōu)弧上任意一點（B，C兩點除外）。⑴求∠BAC的度數(shù)；⑵求△ABC面積的最大值.（參考數(shù)據(jù)：sin60176。=，cos30176。=，tan30176。=.）【答案】（1）過點O作OD⊥BC于點D, 連接OA.因為BC=，所以CD==.又OC=2，所以=，即=，所以∠DOC=60176。.又OD⊥BC，所以∠BAC=∠DOC=60176。.（2）因為△ABC中的邊BC的長不變，所以底邊上的高最大時，△ABC面積的最大值,即點A是的中點時，△ABC面積的最大值.因為∠BAC=60176。，所以△ABC是等邊三角形，在Rt△ADC中，AC=，DC=,所以AD===3.所以△ABC面積的最大值為3=3.11. （2011湖南常德，25，10分）已知 △ABC，分別以AC和BC為直徑作半圓、P是AB的中點.（1）如圖8，若△ABC是等腰三角形，且AC=BC，在上分別取點E、F，使則有結(jié)論① ②②的證明；（2）如圖9，若（1）中△ABC是任意三角形，其它條件不變，則（1）中的兩個結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明；（3）如圖10，若PC是的切線，求證：BD【答案】（1） 證明：∵BC是⊙O2直徑，則O2是BC的中點又P是AB的中點.∴P O2是△ABC的中位線∴P O2 =AC又AC是⊙O1直徑∴P O2= O1C=AC同理P O1= O2C =BC∵AC =BC∴P O2= O1C=P O1= O2C∴四邊形是菱形（2） 結(jié)論①成立，結(jié)論②不成立 證明：在（1）中已證PO2=AC，又O1E=AC ∴PO2=O1E 同理可得PO1=O2F∵PO2是△ABC的中位線∴PO2∥AC∴∠PO2B=∠ACB同理∠P O1A=∠ACB∴∠PO2B=∠P O1A∵∠AO1E =∠BO2F∴∠P O1A+∠AO1E =∠PO2B+∠BO2F即∠P O1E =∠F O2 P∴（3） 證明：延長AC交⊙O2于點D，連接BD. ∵BC是⊙O2的直徑，則∠D=90176。， 又PC是的切線，則∠ACP=90176。， ∴∠ACP=∠D 又∠PAC=∠BAD，∴△APC∽△BAD又P是AB的中點∴∴AC=CD∴在Rt△BCD中，在Rt△ABD中，∴∴12. （2011江蘇蘇州，26,8分）如圖，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30176。，C是弦AB上任意一點（不與點A、B重合），連接CO并延長CO交⊙O于點D，連接AD.（1）弦長AB=________（結(jié)果保留根號）；（2）當∠D=20176。時，求∠BOD的度數(shù)；（3）當AC的長度為多少時，以點A、C、D為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似？請寫出