計算機如何表達函數(shù)？(編輯修改稿)
2024-11-22 10:52 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 )()()( 10010 ????????? nnn xxxxaxxaaxN ??而且有： ?????????????????????????????)()()()()()())(()()()()()()()(1001021202202102101101000nnnnnnnnnnnxfxxxxaxxaaxNxfxxxxaxxaaxNxfxxaaxNxfaxN???數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 這樣： )( 00 xfa ?01011)()(xxxfxfa??????????? ????? 10202122)()(1 axxxfxfxxa303 1 23 2 3 0 3 1( ) ( )11f x f xa a ax x x x x x???? ?? ? ?????? ? ???數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 01010010110],[],[],[)()(],[xxxxfxxfxxfxxxfxfxxfkkkk?????????? 稱為 k階差商 稱為 1階差商 定義： 差商 數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 差商的一個性質(zhì) ： （用歸納法易證） 對稱性： ],[],[ 00 kiik xxfxxf ?? ?定義關(guān)鍵：找不同的元素相減作分母 的任意排列是 kii k ,0,0 ?????3213103210],[],[],[xxxxxfxxxfxxxxf???數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS )( 00 xfa ?],[)()( 1001011 xxfxxxfxfa ????? ? ],[],[],[1 )()(101202021210202122xxxfxxfxxfxxaxxxfxfxxa?????????????????由歸納： ],[ 0 nn xxfa ??數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS Newton插值構(gòu)造 )(, 00 xfx)(, 11 xfx)(, 22 xfx?)(, nn xfx],[ 10 xxf],[ 12 xxf],[ 1 nn xxf ?],[ 012 xxxf],[ 21 ?? nnn xxxf? ?],[ 0xxf n ?先構(gòu)造差商表 數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS ?例子 2點 Newton型插值 )()()()()( 0010101 xxxxxfxfxfxN ?????利用差商表的最外一行，構(gòu)造插值多項式 )()](,[)](,[)()( 1000100 ???????? nnn xxxxxxfxxxxfxfxN ???數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 差商表 求值 算法： for(i=1。i=n。i++) { for(j=n。j=i。j) y[j]=(y[j]y[j1])/(x[j]x[ji])。 } fx=y[n]。 for(i=n。i=1。i) { fx=y[i1]+(xx[i1])fx。 } 數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 問題：如果要做到增加一個點，而盡可能減少重復(fù)計算，要如何改進前面的算法？ 數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS ?一些性質(zhì) ?? ?? ????????ni niiiiiiinnnnxxxxxxxxxfxxfxxLxN0 1100)())(()()(],[ )()( ???的系數(shù)一樣性質(zhì) 2 數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 誤差 00 1 0 0100 { } N e w t on ( ) { } { } ( ) ( ) [ , , , ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ , , , ] ( ) ( )ni i nni i n n n nnn n nx N xx a N t N t f x x a t x t xN a f af a N a f x x a a x a x????? ? ? ??? ? ? ? ?另 一 方 面設(shè) 插 值 為則 有 為顯 然( 1 )0()[ , , , ]( 1 ) !nnff x x an????性質(zhì) 3 ( 1 )0() ( ) ( ) ( ) ( )( 1 ) !nn n nfN x R x x x x xn??? ? ??同 樣 的 誤 差 為數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 差商性質(zhì)總結(jié) ?? ?? ?????ni niiiiiiin xxxxxxxxxfxxf0 1100 )())(()()(],[???],[],[ 00 niin xxfxxf ?? ?()0()[ , , ]!nnff x xn?????????nknkaxxfxPxf nkn,0,],[),()(0 ?推論：若數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 0 1 1, , [ , , , , ]m m kkf m k f x x x x ??? ? ?若 則 PP證明作為作業(yè) 數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS Hermite插值 有時候，構(gòu)造插值函數(shù)除了函數(shù)值的條件以外，還需要一定的 連續(xù)性條件，如一階導(dǎo)數(shù)值等，這種插值稱為 Hermite插值。 ()00{ , ( ) } , { ( , ( ) , 1 , , ) , } H e r m i t en k ni i i i i i ix f x x f x k k?? ?定 義 ： 滿 足 和 條 件 的 插 值稱 為 插 值niiiniiiixfxxfxk00 )}(39。,{,)}(,{ 1???和滿足一階導(dǎo)條件為例，即每個點上還要以所有 稱為二重密切 Hermite插值 數(shù) 學(xué) 系 University
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