【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ydz+22zt??? dxdydz+qgendxdydz ① 引自文獻(xiàn) [4]的 34 頁(yè)式（ 2– 9） x y dz dy dx ?z ?y ?x ?z+dz ?y+dy ?x+dx z 圖 21 11 ? ???t=22( xtc ???? +22yt?? + )22zt?? + cqgen? 【 2022 三（ 2）】（ 30 分）導(dǎo)熱系數(shù) =a+bt 的無窮大平板，其兩側(cè)溫度分別穩(wěn)定于 t1和 t2，且 t1 t2； ① 試就 b0、 b=0 和 b0 等三種情況，畫出平面中溫度分布曲線； ② 并就曲線的形狀特征分析其原因。 解：這是一維無內(nèi)熱源穩(wěn)態(tài)變導(dǎo)熱系數(shù)問題，將導(dǎo)熱微分方程式一般的形式（三維、非穩(wěn)態(tài)、有內(nèi)熱源、變物性）： ???????? ????????????? ??????????? ??????? ?ztzytyxtxtc ????? (22) 化簡(jiǎn) 為 ?????? ???? xtx ?=0 積分 ? ?1cxtbtaxt ???????? 分離變量 (a+bt)dt=c1dx 積分 at+2bt2=c1x+c2 邊界條件： x=0， t=t1； x= ， t=t2。 得 c1= ? ? ? ?? 212212 2 ttbtta ??? ， c2= at1+2bt12 方程的解為 at+2bt2= ? ? ? ?? 212212 2 ttbtta ??? x+ at1+2bt12 t t1 t2 O x b0 t t1 t2 O x b=0 圖 22 t t1 t2 O x b0 12 由通解 at+2bt2=c1x+c2 可以看出，它是一簇關(guān)于 t 的拋物線，當(dāng) b=0 時(shí)，退化成直線；當(dāng) b0 時(shí)，是一個(gè)下凹的拋物線（頂點(diǎn)在下，向上開口）；當(dāng) b0 時(shí)，是一個(gè)上凸的拋物線（頂點(diǎn)在上，向下開口）。所以溫度分布曲線如下圖所示。 【 2022 四】（ 10 分）一厚度為 ? 的無限大平壁，導(dǎo)熱系數(shù) ?為 常數(shù)，平板內(nèi)具有均勻的 內(nèi) 熱源 qVW/m3（導(dǎo)熱體單位體積單位時(shí)間內(nèi)發(fā)出的熱量）。平壁 x=0 的一側(cè)絕熱，x=? 的另一側(cè)與溫度為 tf 的流體直接接觸進(jìn)行對(duì)流換熱，對(duì)流換熱系數(shù) ?為已知。試寫出這一穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程的完整數(shù)學(xué)描述。 解：此問題屬于具有內(nèi)熱源、常物性的一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程。其導(dǎo)熱微分方程為 022 ?? ?Vqdxtd 邊界條件為 x=0 時(shí) 0?xdxdt =0 x=? 時(shí) ?? ?? xdxdt =?(t?x=?tf) 【 2022 一 (1)】寫出一維 變導(dǎo)熱系數(shù)條件下的傅里葉定律。（ 3 分） 答： ? ?dxdttA?? ?? 【 2022 二】在一巨型木板上澆注混凝土厚板，由于混凝土固化時(shí)放出熱量，其容積發(fā)熱強(qiáng)度 =100 W/m3，混凝土的熱導(dǎo)率 ?=(W/m?K)。為保證澆注質(zhì)量，不允許任何一處溫度變化率大于 50℃ /m，假定混凝土固化過程可視為穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程，混凝土露t t1 t2 O x b0 t t1 t2 O x b=0 圖 22 的解 t t1 t2 O x b0 x 20℃ =100W/m3 0 圖 23 13 在空氣中的表面溫度為 20℃，混凝土和木板接觸的邊界可視為絕熱。求混凝土的最高溫度和允許的混凝土最大厚度。（ 20 分） 解：此問題是有 內(nèi)熱源的常物性一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，其導(dǎo)熱微分方程為 022 ?? ???dxtd 邊界條件為 x=0 時(shí)，0?xdxdt =0 x=? 時(shí)， t=20℃ 且dxdt?50℃ /m。 微分方程積分： 1cxdxdt ?? ??? (a) 由第一個(gè)邊界條件得 c1=0 再次積分： t=222 cx ?? ??? 將第二個(gè)邊界條件代入，得： c2= 202 2 ????? 于是方程的解為 t= ? ? 202 22 ?? x???? 由附加條件可知 dxdt?50℃ /m 因?yàn)?x 方向上為溫度降低的方向，所以上式去掉絕對(duì)值符號(hào)后成為 dxdt??50 ?dxdt?– 50 結(jié)合 (a)式，有 x????50 即 x? ?????= 最大厚度不超過 。 根據(jù)題意，最高溫度處應(yīng)為 x=0 點(diǎn)，所以 t= ? ? 202 22 ?? x????= ? ? 0 0 22 ???=℃ 【 2022 一】如圖 24 所示，一爐壁由三層材料組成。第一層是耐火磚，導(dǎo)熱系數(shù)1=(m ℃ )，允許的最高使用溫度為 1450℃，第二層是絕熱磚，導(dǎo)熱系數(shù) 14 2=(m ℃ )，允許的最高使用溫度為1100℃，第三層是鐵板，厚度 3=6mm，導(dǎo)熱系數(shù) 3=(m ℃ )。爐壁內(nèi)表面溫度t1=1350℃，外表面溫度 t2=220℃，熱穩(wěn)定狀態(tài)下，通過爐壁的熱流密度 q=4652W/m2。試問：各層壁應(yīng)多厚才能使?fàn)t壁的總厚度最小？（ 10分） 解：要使?fàn)t壁總厚度最小，需盡可能增大導(dǎo)熱系數(shù)最小的材料的厚度，但由于材料耐熱性能的限制，絕熱磚與耐火磚交界處最高溫度為 1100℃，于是對(duì)于耐火層，有 q=11???t ? 1= ? ?4 6 5 21 1 0 01 3 5 ??q t??= 絕熱磚與鐵板間的溫度 q=33???t ? t3= 33??q +t4=4652 +220=℃ 絕熱磚厚度： 2= ? ?4 6 5 2 1 0 ??q t?? = 爐壁總厚度： = 1+ 2+ 3=++= 【 2022 六（ 1）】（ 6 分）寫出變導(dǎo)熱系數(shù)條件下的三維穩(wěn)態(tài)導(dǎo) 熱微分方程式。 答： 0???????? ????????????? ??????????? ???? ???? ?ztzytyxtx 若無內(nèi)熱源，則為 0??????? ????????????? ??????????? ???? ztzytyxtx ??? 【 2022 二】如圖 25 所示無限大平壁厚度為 ，材料的導(dǎo)熱系數(shù)為 ，壁一側(cè)為第一類邊界條件，壁溫均為 T0，另一側(cè)為第三類邊界條件，該側(cè)流體的溫度為 tf ，對(duì)流換熱系數(shù)為 。試推導(dǎo)穩(wěn)態(tài)條件下平壁內(nèi)溫度分布及熱流量計(jì)算式。（ 15 分）注：無內(nèi)熱源 220℃ 鋼板 1350℃ 耐火磚 絕熱磚 圖 24 15 解： q=??(T0– tw)= (tw– tf) tw– tf =??T0–??tw tw+??tw = ??T0+ tf 得 tw=??? ????? 0Ttf 因?yàn)? q=??(T0– tw)=x?(T0– t) 所以 t=T0–?x(T0– tw)= T0–?x(T0–??? ????? 0Ttf ) = T0–?????x(T0– tf) q=??(T0– tw)=??(T0–??? ????? 0Ttf )=??????(T0– tf) 【 2022 五】在如圖 26 所示的平板導(dǎo)熱系數(shù)測(cè)定裝 置中，試件厚度 遠(yuǎn)小于直徑 d。由于安裝制造不好，試件與冷熱表面之間平均存在著一層厚為 = 的空氣隙。設(shè)熱表面溫度 t1=180℃，冷表面溫度 t2=30℃，通過平板的熱流=，在 180℃和 30℃時(shí)，空氣隙的導(dǎo)熱系數(shù)可分別為(m K)和 (m K)。試計(jì)算空氣隙的存在給導(dǎo)熱系數(shù)測(cè)定帶來的誤差。通過空氣隙的輻射換熱可以忽略不計(jì)。（ 15 分） 解：本題為 〖 教材第三版 51 頁(yè)習(xí)題 28〗 或〖 第 四版 91 頁(yè)習(xí)題 213〗 ，也是 〖 王秋旺27 頁(yè)例 212〗 。 不考慮空氣隙時(shí)，熱阻的 計(jì)算式為： ???? tA?0 其中 0 是因?yàn)椴豢紤]空氣隙而計(jì)算出的，有誤差的材料導(dǎo)熱系數(shù)； A 為導(dǎo)熱面積， , T0 Tf, 圖 25 t1 t2 d=120mm 圖 26 16 A= 24d?， t=t1– t2。當(dāng)考慮空氣隙時(shí)，兩個(gè)空氣隙的導(dǎo)熱熱阻與材料的真實(shí)導(dǎo)熱系數(shù) 合成為 ???????? tA??? 21 0??? 其中 2 為空氣的導(dǎo)熱系數(shù)。于是 210 ???????? ??? 從而得導(dǎo)熱系數(shù)測(cè)量誤差為 ? ?301 8 40 2 6 0 0 0 0 3 7 0 0 0 2210210000??????????? ?????????????????????????tA =％ 三．通過肋片的導(dǎo)熱 1. 通過等截面直肋的導(dǎo)熱 如圖 27 所示，求溫度分布和散熱量，假定： (1) l H 和 ，可取單位長(zhǎng)度來分析。 引 自 教材第三版 37~39 頁(yè)或第四版 58~60 頁(yè) ，但這里的推導(dǎo)方法對(duì)于同樣類型的等截面肋如釘肋等也適用。 (2) 、 h、 Ac= l 為常數(shù)。 (3) 表面上的換熱熱阻h1肋片中的導(dǎo)熱熱阻??，因而認(rèn)為任一截面上肋片溫度可認(rèn)為是均勻的。 s 表面?zhèn)鳠嵯禂?shù) h t0 dx 端 0 x x+dx x 0?Hdxdt 肋 根 t 圖 27 肋 H l 17 (4) 肋端絕緣，即Hxt?? =0。 將肋片的散熱量 s 看成是內(nèi)熱源（放熱為負(fù)值），從而成為常物性、有內(nèi)熱源的一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。相應(yīng)的導(dǎo)熱微分方程為： 022 ?? ??sdxtd ? （ 23） 令截面 Ac 的周長(zhǎng)為 P， （使用 P 以后，好象是否直肋已經(jīng)無關(guān)緊要，只要是等截面肋即可，例如釘肋）， 則相應(yīng)的微元散熱面積為 Pdx。該微元段的散熱量為 s =(Pdx)h(t– t )，對(duì)應(yīng)的微元段體積為 Acdx，所以相應(yīng)的內(nèi)熱源項(xiàng)為： ? ?ccss A tthPdxA ?????? ??? 或 ? ?cs A tthP??? ????? 令 =t– t ，稱為過余溫度。 使微分方程變?yōu)? ???? 222 mAhPdxd c ?? （ 24） 其中 m=cAhP? ，為一常數(shù)。邊界條件： x=0， = 0； x=H， dxd? =0。 方程的通解為： =c1emx+ c2emx 當(dāng) x=0 時(shí)， 0 =c1e0+ c2e0=c1+ c2 x=H 時(shí)，dxd?=[c1memx– c2memx]x=H=c1memH– c2memH=0 得： ??????????????mHmHmHmHmHmHeeeceeec0201?? 于是，方程的解為： =c1emx+ c2emx=mHmHmxmHee ee???0? +mHmHmxmHee ee???0? =? ? ? ?? ?? ?220mHmHHxmHxmeeee??????? ? ?? ?? ?mH Hxmcoshcosh0 ?? ? （ 25） 18 當(dāng) x=H 時(shí)， (H)為肋端溫度， = ? ?? ?? ? ? ?mHmH HHm c o s hc o s hc o s h 00 ?? ?? 肋根處熱量 0全部通過肋片表面散到空氣中，也就是肋片散熱量 0= x=0= ? ?? ?? ?000 ?? ???????? ???????? ??????????xcxc mHchHxmchdxdAdxdA ???? = ? ? ? ?? ?? ?00???xc dx HxmchdmHch A ?? = ? ? ? ?? ? ? ?? ?00????xc dx HxmdHxmshmHch A ?? = ? ?? ?mHch mHshmAc 0??= Ac 0mth(mH) （ 26） 2．肋效率 肋基溫度下的散熱量假定整個(gè)肋表面都處于 肋片實(shí)際散熱量 0?? ?f （ 27） 對(duì)于等截面 肋 ? ? ? ? ? ?mHmHHmHhP mAh P H mHmA ccf ththth 00 ??? ????? 根據(jù) 教材第三版 圖 214 或第四版圖 219 所示，在“ mH”相同的條件下，三角形直肋的肋效率比矩形直肋的高；肋高越長(zhǎng)，肋效率越低。 【 1999 四（ 1）】（ 5 分）從增強(qiáng)傳熱的觀點(diǎn)來看，矩形直肋與三角形直肋哪一個(gè)好？為什么？ 答：三角形直肋比矩形直肋好。因?yàn)樵凇?mH”相同的