【文章內容簡介】 ydz+22zt??? dxdydz+qgendxdydz ① 引自文獻 [4]的 34 頁式（ 2– 9） x y dz dy dx ?z ?y ?x ?z+dz ?y+dy ?x+dx z 圖 21 11 ? ???t=22( xtc ???? +22yt?? + )22zt?? + cqgen? 【 2022 三（ 2）】（ 30 分）導熱系數(shù) =a+bt 的無窮大平板，其兩側溫度分別穩(wěn)定于 t1和 t2，且 t1 t2； ① 試就 b0、 b=0 和 b0 等三種情況，畫出平面中溫度分布曲線； ② 并就曲線的形狀特征分析其原因。 解：這是一維無內熱源穩(wěn)態(tài)變導熱系數(shù)問題，將導熱微分方程式一般的形式（三維、非穩(wěn)態(tài)、有內熱源、變物性）： ???????? ????????????? ??????????? ??????? ?ztzytyxtxtc ????? (22) 化簡 為 ?????? ???? xtx ?=0 積分 ? ?1cxtbtaxt ???????? 分離變量 (a+bt)dt=c1dx 積分 at+2bt2=c1x+c2 邊界條件： x=0， t=t1； x= ， t=t2。 得 c1= ? ? ? ?? 212212 2 ttbtta ??? ， c2= at1+2bt12 方程的解為 at+2bt2= ? ? ? ?? 212212 2 ttbtta ??? x+ at1+2bt12 t t1 t2 O x b0 t t1 t2 O x b=0 圖 22 t t1 t2 O x b0 12 由通解 at+2bt2=c1x+c2 可以看出，它是一簇關于 t 的拋物線，當 b=0 時，退化成直線；當 b0 時，是一個下凹的拋物線（頂點在下，向上開口）；當 b0 時，是一個上凸的拋物線（頂點在上，向下開口）。所以溫度分布曲線如下圖所示。 【 2022 四】（ 10 分）一厚度為 ? 的無限大平壁，導熱系數(shù) ?為 常數(shù)，平板內具有均勻的 內 熱源 qVW/m3（導熱體單位體積單位時間內發(fā)出的熱量）。平壁 x=0 的一側絕熱，x=? 的另一側與溫度為 tf 的流體直接接觸進行對流換熱，對流換熱系數(shù) ?為已知。試寫出這一穩(wěn)態(tài)導熱過程的完整數(shù)學描述。 解：此問題屬于具有內熱源、常物性的一維穩(wěn)態(tài)導熱過程。其導熱微分方程為 022 ?? ?Vqdxtd 邊界條件為 x=0 時 0?xdxdt =0 x=? 時 ?? ?? xdxdt =?(t?x=?tf) 【 2022 一 (1)】寫出一維 變導熱系數(shù)條件下的傅里葉定律。（ 3 分） 答： ? ?dxdttA?? ?? 【 2022 二】在一巨型木板上澆注混凝土厚板，由于混凝土固化時放出熱量，其容積發(fā)熱強度 =100 W/m3，混凝土的熱導率 ?=(W/m?K)。為保證澆注質量，不允許任何一處溫度變化率大于 50℃ /m，假定混凝土固化過程可視為穩(wěn)態(tài)導熱過程，混凝土露t t1 t2 O x b0 t t1 t2 O x b=0 圖 22 的解 t t1 t2 O x b0 x 20℃ =100W/m3 0 圖 23 13 在空氣中的表面溫度為 20℃，混凝土和木板接觸的邊界可視為絕熱。求混凝土的最高溫度和允許的混凝土最大厚度。（ 20 分） 解：此問題是有 內熱源的常物性一維穩(wěn)態(tài)導熱問題，其導熱微分方程為 022 ?? ???dxtd 邊界條件為 x=0 時，0?xdxdt =0 x=? 時， t=20℃ 且dxdt?50℃ /m。 微分方程積分： 1cxdxdt ?? ??? (a) 由第一個邊界條件得 c1=0 再次積分： t=222 cx ?? ??? 將第二個邊界條件代入，得： c2= 202 2 ????? 于是方程的解為 t= ? ? 202 22 ?? x???? 由附加條件可知 dxdt?50℃ /m 因為 x 方向上為溫度降低的方向，所以上式去掉絕對值符號后成為 dxdt??50 ?dxdt?– 50 結合 (a)式，有 x????50 即 x? ?????= 最大厚度不超過 。 根據(jù)題意，最高溫度處應為 x=0 點，所以 t= ? ? 202 22 ?? x????= ? ? 0 0 22 ???=℃ 【 2022 一】如圖 24 所示，一爐壁由三層材料組成。第一層是耐火磚，導熱系數(shù)1=(m ℃ )，允許的最高使用溫度為 1450℃，第二層是絕熱磚，導熱系數(shù) 14 2=(m ℃ )，允許的最高使用溫度為1100℃，第三層是鐵板，厚度 3=6mm，導熱系數(shù) 3=(m ℃ )。爐壁內表面溫度t1=1350℃，外表面溫度 t2=220℃，熱穩(wěn)定狀態(tài)下，通過爐壁的熱流密度 q=4652W/m2。試問：各層壁應多厚才能使爐壁的總厚度最小？（ 10分） 解：要使爐壁總厚度最小，需盡可能增大導熱系數(shù)最小的材料的厚度，但由于材料耐熱性能的限制，絕熱磚與耐火磚交界處最高溫度為 1100℃，于是對于耐火層，有 q=11???t ? 1= ? ?4 6 5 21 1 0 01 3 5 ??q t??= 絕熱磚與鐵板間的溫度 q=33???t ? t3= 33??q +t4=4652 +220=℃ 絕熱磚厚度： 2= ? ?4 6 5 2 1 0 ??q t?? = 爐壁總厚度： = 1+ 2+ 3=++= 【 2022 六（ 1）】（ 6 分）寫出變導熱系數(shù)條件下的三維穩(wěn)態(tài)導 熱微分方程式。 答： 0???????? ????????????? ??????????? ???? ???? ?ztzytyxtx 若無內熱源，則為 0??????? ????????????? ??????????? ???? ztzytyxtx ??? 【 2022 二】如圖 25 所示無限大平壁厚度為 ，材料的導熱系數(shù)為 ，壁一側為第一類邊界條件，壁溫均為 T0，另一側為第三類邊界條件，該側流體的溫度為 tf ，對流換熱系數(shù)為 。試推導穩(wěn)態(tài)條件下平壁內溫度分布及熱流量計算式。（ 15 分）注：無內熱源 220℃ 鋼板 1350℃ 耐火磚 絕熱磚 圖 24 15 解： q=??(T0– tw)= (tw– tf) tw– tf =??T0–??tw tw+??tw = ??T0+ tf 得 tw=??? ????? 0Ttf 因為 q=??(T0– tw)=x?(T0– t) 所以 t=T0–?x(T0– tw)= T0–?x(T0–??? ????? 0Ttf ) = T0–?????x(T0– tf) q=??(T0– tw)=??(T0–??? ????? 0Ttf )=??????(T0– tf) 【 2022 五】在如圖 26 所示的平板導熱系數(shù)測定裝 置中，試件厚度 遠小于直徑 d。由于安裝制造不好，試件與冷熱表面之間平均存在著一層厚為 = 的空氣隙。設熱表面溫度 t1=180℃，冷表面溫度 t2=30℃，通過平板的熱流=，在 180℃和 30℃時，空氣隙的導熱系數(shù)可分別為(m K)和 (m K)。試計算空氣隙的存在給導熱系數(shù)測定帶來的誤差。通過空氣隙的輻射換熱可以忽略不計。（ 15 分） 解：本題為 〖 教材第三版 51 頁習題 28〗 或〖 第 四版 91 頁習題 213〗 ，也是 〖 王秋旺27 頁例 212〗 。 不考慮空氣隙時，熱阻的 計算式為： ???? tA?0 其中 0 是因為不考慮空氣隙而計算出的，有誤差的材料導熱系數(shù)； A 為導熱面積， , T0 Tf, 圖 25 t1 t2 d=120mm 圖 26 16 A= 24d?， t=t1– t2。當考慮空氣隙時，兩個空氣隙的導熱熱阻與材料的真實導熱系數(shù) 合成為 ???????? tA??? 21 0??? 其中 2 為空氣的導熱系數(shù)。于是 210 ???????? ??? 從而得導熱系數(shù)測量誤差為 ? ?301 8 40 2 6 0 0 0 0 3 7 0 0 0 2210210000??????????? ?????????????????????????tA =％ 三．通過肋片的導熱 1. 通過等截面直肋的導熱 如圖 27 所示，求溫度分布和散熱量，假定： (1) l H 和 ，可取單位長度來分析。 引 自 教材第三版 37~39 頁或第四版 58~60 頁 ，但這里的推導方法對于同樣類型的等截面肋如釘肋等也適用。 (2) 、 h、 Ac= l 為常數(shù)。 (3) 表面上的換熱熱阻h1肋片中的導熱熱阻??，因而認為任一截面上肋片溫度可認為是均勻的。 s 表面?zhèn)鳠嵯禂?shù) h t0 dx 端 0 x x+dx x 0?Hdxdt 肋 根 t 圖 27 肋 H l 17 (4) 肋端絕緣，即Hxt?? =0。 將肋片的散熱量 s 看成是內熱源（放熱為負值），從而成為常物性、有內熱源的一維穩(wěn)態(tài)導熱問題。相應的導熱微分方程為： 022 ?? ??sdxtd ? （ 23） 令截面 Ac 的周長為 P， （使用 P 以后，好象是否直肋已經無關緊要，只要是等截面肋即可，例如釘肋）， 則相應的微元散熱面積為 Pdx。該微元段的散熱量為 s =(Pdx)h(t– t )，對應的微元段體積為 Acdx，所以相應的內熱源項為： ? ?ccss A tthPdxA ?????? ??? 或 ? ?cs A tthP??? ????? 令 =t– t ，稱為過余溫度。 使微分方程變?yōu)? ???? 222 mAhPdxd c ?? （ 24） 其中 m=cAhP? ，為一常數(shù)。邊界條件： x=0， = 0； x=H， dxd? =0。 方程的通解為： =c1emx+ c2emx 當 x=0 時， 0 =c1e0+ c2e0=c1+ c2 x=H 時，dxd?=[c1memx– c2memx]x=H=c1memH– c2memH=0 得： ??????????????mHmHmHmHmHmHeeeceeec0201?? 于是，方程的解為： =c1emx+ c2emx=mHmHmxmHee ee???0? +mHmHmxmHee ee???0? =? ? ? ?? ?? ?220mHmHHxmHxmeeee??????? ? ?? ?? ?mH Hxmcoshcosh0 ?? ? （ 25） 18 當 x=H 時， (H)為肋端溫度， = ? ?? ?? ? ? ?mHmH HHm c o s hc o s hc o s h 00 ?? ?? 肋根處熱量 0全部通過肋片表面散到空氣中，也就是肋片散熱量 0= x=0= ? ?? ?? ?000 ?? ???????? ???????? ??????????xcxc mHchHxmchdxdAdxdA ???? = ? ? ? ?? ?? ?00???xc dx HxmchdmHch A ?? = ? ? ? ?? ? ? ?? ?00????xc dx HxmdHxmshmHch A ?? = ? ?? ?mHch mHshmAc 0??= Ac 0mth(mH) （ 26） 2．肋效率 肋基溫度下的散熱量假定整個肋表面都處于 肋片實際散熱量 0?? ?f （ 27） 對于等截面 肋 ? ? ? ? ? ?mHmHHmHhP mAh P H mHmA ccf ththth 00 ??? ????? 根據(jù) 教材第三版 圖 214 或第四版圖 219 所示，在“ mH”相同的條件下，三角形直肋的肋效率比矩形直肋的高；肋高越長，肋效率越低。 【 1999 四（ 1）】（ 5 分）從增強傳熱的觀點來看，矩形直肋與三角形直肋哪一個好？為什么？ 答：三角形直肋比矩形直肋好。因為在“ mH”相同的