43洛朗展式及孤立奇點(diǎn)(編輯修改稿)
2025-11-05 10:16 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 nzzznn???? ||0 z機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 27 例 5 : )1)(2( 52)( 22在以下圓環(huán)域求 ?? ??? zz zzzf內(nèi)的洛朗展開式 . 。21)1( ?? z 520)2( ??? z解 1221)( 2 ???? zzzf, 21 )1 時(shí)當(dāng) ?? z ?????? ???????? ??22 1121221)(zzzzf?????? ????????22 111221121zzz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 28 nnnnnzzz ????????????????? ?? ????20201)1(2221.2)1(201121?? ?????????nnnnnn zz, 520 )2 內(nèi)在 ??? z1221)(2 ???? zzzf ???????????? iziziz1121???????????????? )2()2(1)2()2(121iziziz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 29 ????????????????????????????????????iziiziiz221)2(1221)2(121???????????? ??????????? ??????? ? ?????0 0 22)1(2122)1(2121n nnnnniziiziiz.5 )2(])2()2[()1(21 1110??????????????? ? nnnnnn ziiiz?????????????? ????? 110 )2(1)2(1)2()1(21nnnnniiziz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 30 四、解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn) 定義 如果函數(shù) 0z)(zf 在 不解析 , 但 )(zf 在 0z的某一去心鄰域 ???? 00 zz 內(nèi)處處解析 , 則稱 0z )(zf為 的 孤立奇點(diǎn) . 例 0?z 是函數(shù) z ze z s in,1的孤立奇點(diǎn) . 注意 : 孤立奇點(diǎn)一定是奇點(diǎn) , 但奇點(diǎn)不一定是孤 立奇點(diǎn) . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 31 例 1 指出函數(shù) 0?z在點(diǎn) zzzf 1s i n)(2?的奇點(diǎn)特性 . 解 ??? kzz1,0 ),2,1( ????k，因?yàn)?01l i m ???? kk即在 0?z 的不論怎樣小的去心鄰域內(nèi) , 的奇點(diǎn)存在 , 函數(shù)的奇點(diǎn)為 )(zf總有 0?z 不是孤立奇點(diǎn) . 所以 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 32 孤立奇點(diǎn)的分類 依據(jù) )(zf 在其孤立奇點(diǎn) 0z 的去心鄰域 ???? 00 zz 內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)的情況分為三類 : 1．可去奇點(diǎn) 1．可去奇點(diǎn) 。 2．極點(diǎn) 。 3．本性奇點(diǎn) . 如果洛朗級(jí)數(shù)中 不含 的負(fù)冪項(xiàng) , 0zz?0z )(zf那末孤立奇點(diǎn) 稱為 的 可去奇點(diǎn) . 1) 定義 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 33 2) 可去奇點(diǎn)的判定 (1) 由定義判斷 : 的洛朗級(jí)數(shù)無(wú)負(fù) 0z)(zf 在 如果 冪項(xiàng)則 0z 為 )(zf 的可去奇點(diǎn) . (2) 判斷極限 :)(lim0zfzz? 若極限存在且為有限值 , 則 0z 為 )(zf 的可去奇點(diǎn) . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 34 定理 設(shè)函數(shù) f (z) 在 0 |z?z0|? (0? ? +?)內(nèi)解析， 則 z0為 f (z) 的可去奇點(diǎn)的充分必要條件是 )(lim0zfzz?存在且有限 .() 證 必要性 設(shè) z0為 f (z)的可去奇點(diǎn)， 從而在 0 |z?z0|? 內(nèi)有 ?? ??????? nn zzczzcczf )()()( 0010因?yàn)樯鲜接叶藘缂?jí)數(shù)的和函數(shù) g(z)在 |z?z0|? 內(nèi)解析， 特別在 z = z0 處連續(xù)， 當(dāng) z ? z0 時(shí)， 記 f (z) = g (z), 則 .)(lim)(lim 000czgzf zzzz ?? ??機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 35 充分性 設(shè)在 0 |z?z0|? 內(nèi) f (z) 的洛朗展式為 .)()( 0 nnn zzczf ?? ??????存在，由于 )(lim0zfzz ?則存在正數(shù) M 和 ? ( ? ) 使得 0 |z?z0| ? 時(shí)， |f (z)| ? M. 所以 ? ??? ??? C nn zfic ?? ?? d)( )(2 1||0 10? ???? C nzf |d||| |)(|2 1 10?? ??),2,1( /22 1 1 ??? ?? nM n????令 ? ? 0得 cn= 0, (n =1,2, ? ), z0 是 f (z) 的可去奇點(diǎn) . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 36 例 2 0?z 為 zez 1?的哪種孤立奇點(diǎn) . 解 ??zez 1,!1!211 1 ?? ????? ?nznz ???? z0所以 0?z 為 的可去奇點(diǎn) . zez 1?無(wú)負(fù)冪項(xiàng) 另解 zzzzeze00l i m1l i m????因?yàn)??z所以 的可去奇點(diǎn) . 為 zez 1?)1!1!211(1 2 ?????? ?? nznzzz,1?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 37 2. 極點(diǎn) 1012020 )()()()( ?????? ??????? zzczzczzczf mm ?)0,1( ?? ? mcm ????? )( 010 zzcc且 級(jí)極點(diǎn) . 0z )(zf m那末孤立奇點(diǎn) 稱為函數(shù) 的
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