【文章內(nèi)容簡介】 ? ??n0j )()( jxxxw.由此可得到三階 Hermite 插值多項式的誤差為： ,)()(!4 )()()()( 212043 xxxxfxHxfxR ????? ? ? 在 0x 與 1x 之間 . 167。 Hermite插值其他情形 已知函數(shù)表： x 0x 1x … mx … nx y 0y 1y … my … ny 6 y? 0y? 1y? … my? 求一個插值多項式 ,使其滿足條件數(shù)表 .該問題中，導(dǎo)數(shù)個數(shù)與函數(shù)值個數(shù)不相等 .我們稱之為 Hermite 插值中其他情形 .在此簡介 NewtonHermite 插值法構(gòu)造插值多項式 . 先分析插值條件的個數(shù)： 2??mn 個，那么，所構(gòu)造的多項式的次數(shù)一般不能超 1??mn .于是，按牛頓差值的思想，可設(shè) )。())(()( ),()()()( 101 1 nn nmn xxxxxxx xxPxNxH ???? ??? ??? ? 其中， )(xNn 為 n 次牛頓差值多項式 。 )(xPm 為待定的次數(shù)不超過 m 次的多項式 . 顯然 ： nixfxNxH iini ,2,1,0),()()( ???? 為確定 )(xPm ，對 )(xH 求導(dǎo)： )()()()()()( 11 xxPxxPxNxH nmnmn ?? ??????? ?? 根據(jù)插值條件 )()( ii xfxH ??? ，有 )()()( )()()()()()( 1 11 inimin iniminimini xxPxN xxPxxPxNxH ? ?????? ??????? ? ?? 得到 mix xNxfxP in iniim ,2,1,0,)( )()()( 1 ??? ???? ?? 于是，把求 )(xPm 的問題轉(zhuǎn)化為又一個插值問題 已知 )(xPm 的函數(shù)表 x 1x 2x … mx )(xPm )( 1xPm )( 2xPm … )( mm xP 確定一個次數(shù)不超過 m 的插值多項式 )(xLm ，使其滿足 )()( imim xPxL ? . 根據(jù)牛頓差值公式 . )())(](,[)](,[)()( 10000100 ????????? mmmmmm xxxxxxxxPxxxxPxPxP ??? 7 將上式帶回，即得到滿足條件 。,2,1,0),()(。,2,1,0),()(mkxfxHnkxfxHkkkk???????? 的 NewtonHermite 插值 多項式 . 例 已知函數(shù)表： x 0x 1x y 0y 1y y? 039。y 求一個插值多項式 H (x)，使其滿足條件： ),()(),()(),()( 001100 xfxHxfxHxfxH ????? 該問題中，導(dǎo)數(shù)個數(shù)與函數(shù)值個數(shù)不相等 .我們稱之為 Hermite 插值中其他情形 .在此簡介 NewtonHermite 插值法構(gòu)造插值多項式 . 先由函數(shù)表 x x0 x1 y y0 y1 作線性插值，即為 ? ?? ?01001 ,)()( xxxxfxfxP ??? 再注意到 H (x)與 P1 (x)在節(jié)點 x0, x1上函數(shù)值相同，即： 11110010 )()( )()( yxPxH yxPxH ?? ?? 于是，它們的差可以設(shè)為 ))(()()( 101 xxxxKxPxH ???? 其中 K 為待 定常數(shù)，上式又可記為： ))(()()( 101 xxxxKxPxH ???? (13) 為確定 K ,對上式求導(dǎo)： )()()( 101 xxxxKxPxH ??????? 8 令 x = x0，代入上式，并且注意到插值條件 00)( yxH ??? 得： ? ? 0101010010 )(,)()()( yxxKxxfxxKxPxH ?????????? 于是有 ? ?01010 xx yxxfK ? ???? 將上式代入（ 13）得 ? ? ))(()()( 10010101 xxxxxx yxxfxPxH ??? ????? ? ? ? ? ))(()(,)( 1001 0100100 xxxxxx yxxfxxxxfxf ??? ??????? (14) 可以驗證（ 14）所確定的 H(x)確實滿足插值條件（ 11） .同時也可以看到，構(gòu)造牛頓 —— 埃米爾特插值多項式，完全采用牛頓插值的構(gòu)造思想 . 最后，也可以把（ 14）式整理成拉格朗日形式： 1001 112010001101010 )()( yxxxx xxyxx xxyxx xxxx xxxxxH ?????????? ??????????? ??????????? ??? ???? 插值余項為 ? ? ? ?120)3(2 !3 )()( xxxxfXR ??? ?， ? 在 0x 與 1x 之間 . 9 第二章 Hermite 插值的 Matlab 實現(xiàn) 167。 導(dǎo)數(shù)完全情形 Hermite 插值的 Matlab 實現(xiàn) 在實際應(yīng)用中，應(yīng)用最廣也是最簡單的 Hermite 插值情形即為導(dǎo)數(shù)完全的情況下， Hermite 插值多項式的擬合 .我們首先討論該情形下的 Matlab 程序 . 在給出程序之前，我們首先給出該公式所應(yīng)用的 Hermite 插值公式 . 定理 設(shè)在節(jié)點 bxxxa n ????? ?21 上， ,)( ,)( jj jj yxf yxf ??? ?, 其中 nj??1 ， 則函數(shù) )(xf 在結(jié)點處 nxxx , 21 ? 處的 Hermite插值多項式為 ?? ???? ni iiiiii yyyaxxhxy 1 ])2)([()( 其中 ?????? ????? nijj jiinijj jiji xxaxx xxh1211。)( . 該定理的證明詳見 文獻(xiàn) . 該情形下對應(yīng)的 Matlab 程序及流程圖詳見附錄 B . 為驗證該程序的正確性與有效性，下面給出例 . 例 設(shè)有如下數(shù)據(jù)表 : x 0 1 2 3 )sin(xy? 0 )cos(xy ?? 1 在 Matlab 工作臺輸入如下命令： x0=[0,1,2,3,]。 y0=[