【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 問(wèn)題，然后求出變分問(wèn)題的近似解，將其作為邊值問(wèn)題的近似解。變分解法在電磁場(chǎng)邊值問(wèn)題中的應(yīng)用主要是將其嚴(yán)格求解過(guò)程中得到的解變化為在泛函下的弱解，二者可以不相同；真實(shí)解可以用全域上的展開(kāi)函數(shù)的一組基函數(shù)構(gòu)成，當(dāng)然，這組基函數(shù) 必須滿足一定的邊界條件。 有限元方法的建模過(guò)程可以大致概括為： 1)針對(duì)邊值問(wèn)題給出泛函，將分析區(qū)域進(jìn)行離散化處理。 2)找出合理的插值函數(shù)。 3)建立有限元的代數(shù)方程，即把變分問(wèn)題離散化為多元函數(shù)的極值問(wèn)題。 4)求解有限元方程，從而得到邊值問(wèn)題的近似解。有限元方程為 Lf?? （ ） 或 AB? ? ?? 。 （ ） 三維時(shí)諧場(chǎng)有限元問(wèn)題 在具體模型的分析中，一維問(wèn)題相對(duì)少見(jiàn)，大多數(shù)涉及的是三維問(wèn)題， Ansoft HFSS 7 本身就是三維有限元法的集成軟件，故本章重點(diǎn)研究三維有限元法。 （ 1）三維支配方程。廣義來(lái)說(shuō)，三維麥克斯韋方程組是三維電磁場(chǎng)問(wèn)題的三維支配方程，然而，在研究求解的過(guò)程中，多數(shù)情況下采用麥克斯韋方程組的第一和第二方程，這兩個(gè)方程是關(guān)于電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的旋度方程，二者聯(lián)立可得到電場(chǎng)強(qiáng)度滿足的 矢量亥姆赫茲方程，此為支配方程。 Ansoft HFSS 軟件的支配方程即為 201 0rr E k E????? ? ? ? ? ????? （ ） （ 2）三維離散單元。有限元方法首先需要構(gòu)建離散單元的小矩陣，繼而將其填充至全域矩陣中。離散單元的分法不同，有限元法的計(jì)算速度及其精度也不同，需要儲(chǔ)存的空間也不同，三維空間中可以把四面體、六面體和矩形塊作為基本的離散單元，但是，不同離散單元對(duì)于有限元運(yùn)算的精度、速 度和內(nèi)存需求都有所不同。四面體作為 HFSS 軟件的基本離散單元，如圖 。 圖 Ansoft HFSS軟件中的四面體棱邊元 由結(jié)點(diǎn)值構(gòu)建四面體單元，從而分析奇異點(diǎn)和邊界不連續(xù)產(chǎn)生的偽解，如圖 所示的四面體內(nèi)的未知函數(shù) e可以近似表示成 e e e e ea b x c y d z? ? ? ? ? （ ） 圖 四面體單元 用四面體的四個(gè)頂點(diǎn)（即四個(gè)結(jié)點(diǎn)）處的值 (i=1,?,4) 來(lái)表示，可以得到： ? ? ? ?4 1, , , ,e e eiiix y z L x y z???? ? （ ） 8 式中插值函數(shù) ? ?,eiL x y z 為 ? ? ? ?1,6e e e e ei i i i ieL x y z a b x c y d zV? ? ? ? （ ） 1 2 3 41 2 3 41 2 3 4111116eeeeeeeeeeeeexxxxVyyyyzzzz? （ ） 其中， eV 為 單元四面體積。 i i iyze e ex ， ， （ i=1,2,3,4 ）為四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，而i i i ib c de e e ea ， ， ， ， 由此，可以得到： ? ?1 2 3 4 1 1 2 2 3 3 4 41 2 3 41 2 3 411111166eeeee e e e e e e e eeeeeeeeeeexxxxa a a a ayyyyVVzzzz????? ? ? ? ? （ ） ? ?1 2 3 4 1 1 2 2 3 3 4 41 2 3 41 2 3 411111166eeeee e e e e e e e eeeeeeeeeeeb b b b byyyyVVzzzz???? ????? ? ? ? ? （ ） ? ?1 2 3 4 1 1 2 2 3 3 4 41 2 3 41 2 3 411111166eeeee e e e e e e e eeeeeeeeeeexxxxc c c c cVVzzzz????????? ? ? ? ? （ ） ? ?1 2 3 4 1 1 2 2 3 3 4 41 2 3 41 2 3 411111166eeeee e e e e e e e eeeeeeeeeeexxxxd d d d dyyyyVV ????????? ? ? ? ? （ ） （ 4）三維棱邊元 。 20世紀(jì) 80 年代以后，棱邊元單元可以解決了出現(xiàn)偽解的問(wèn)題，從而克服有限元方法的缺點(diǎn)，下面給出詳細(xì)分析。 對(duì)于矢量函數(shù)： 1 2 1 2 2 1e e e eW L L L L? ? ? ? （ ） 兩側(cè)同時(shí)取散度和旋度： 9 12 0,W?? ? 12 1 22 eeW L L? ? ? ? ?? （ ） 令 1e 為從 1結(jié)點(diǎn)指向 2結(jié)點(diǎn)的單位矢量。線性函數(shù) 1eL （ 結(jié)點(diǎn) 1和 2的棱邊長(zhǎng) ） 是由 1 結(jié)點(diǎn)的 1處變化到 2結(jié)點(diǎn)的 0處，同理，線性函數(shù) 2eL 是由 2 結(jié)點(diǎn)處的 1處變化到1結(jié)點(diǎn)的 0處，因此， 1 1 11/eee L l?? ?? ， 1 2 11/eee L l?? ? 。這樣， 1 12 11/ ee W l?? ，該式表示 12W沿棱邊（ 1， 2）的常切向分量，而其它棱邊都不存在切向分量。令此棱邊為 1，其矢量基函數(shù)可定義成 1 121eeN Wl? ，同樣道理，12e e ei ii iN W l?可定義為棱邊 i的矢量基函數(shù)， Ansoft HFSS 軟件中的離散化單元的棱邊數(shù)和其相關(guān)結(jié)點(diǎn) 1i 和 2i 可做表 21 所示的定義形式。 表 21 四面體單元的棱邊定義 棱邊 i 結(jié)點(diǎn) i1 結(jié)點(diǎn) i2 1 1 2 2 1 3 3 1 4 4 2 3 5 4 2 6 5 4 從上述定義可知，在離散化單元中，電場(chǎng)矢量可表示為 61eiiiE N E??? （ ） 式中， i 1, ,6iE ??（ ） 為離散化單元的待求量。此即為 HFSS 軟件所采用的棱邊元。從而可見(jiàn)，域內(nèi)矢量基函數(shù)在四面體內(nèi)旋度不等于零，而散度等于零，并且該定義恰好沿切向。這樣結(jié)點(diǎn)值四面體偽解、界面不連續(xù)、奇異點(diǎn)等問(wèn)題得到解決。 求解有限元方程組 關(guān)于未知數(shù)（結(jié)點(diǎn)值）的矩陣方程為 Ax b? （ ） 方程中 x 是未知量， A 為 n 階系數(shù)矩陣， b 為已知向量。和具體問(wèn)題相結(jié)合，為使求解工程更精確，未知量的個(gè)數(shù)就是有限單元結(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，該值和 A 矩陣的維數(shù)相同。一般來(lái)說(shuō)，關(guān)于 A 矩陣的維數(shù)非常大，應(yīng)用計(jì)算機(jī)求解時(shí)間較長(zhǎng)。 （ 1）采用直接法解決確定性問(wèn)題。方程（ ）中的 b 為激勵(lì)向量，當(dāng) 0b? 時(shí)，方程兩端同時(shí)乘以 A 的逆矩陣，即可解除未知量。 Ansoft HFSS 軟件應(yīng)用 LU 分解法進(jìn) 10 行求解，該方法雖然最原始，但是大多數(shù)快速分解方法皆源于該方法。下面有必要研究該方法的求解過(guò)程。 矩陣 A 分解為 A LU? （ ） 方程中， U 為上三角 n 維矩陣， L 為下三角 n 維矩陣，（ Ly b? （ ） 式（ ）中的 y 應(yīng)用前向替代可得： 1 1 11/y b l? （ ） 111 ii i ik kkiiy b l yl??????????? （ ） x 采用后向替代可得： nn nnyx u? （ ） 11 i nni i ik kkiiix y u xu ??????????? （ ） 該方法計(jì)算的復(fù)雜度與 O3（ N） 成正比，未應(yīng)用有限元帶狀稀疏陣的性質(zhì)。如果采用該性質(zhì)再進(jìn)行計(jì)算，其運(yùn)行效率可大幅度提高，同時(shí)運(yùn)行復(fù)雜 度可以得到有效降低。因此， Ansoft HFSS 采用的算法計(jì)算復(fù)雜度可以在 O3（ N） 以下。 （ 2）求解本征值問(wèn)題。若（ ）式中 0b? 時(shí)，可以求解波導(dǎo)分析和腔體諧振方面的本征值問(wèn)題。下面定義標(biāo)準(zhǔn)的本征值問(wèn)題： Ax x?? （ ） 上面方程中λ是對(duì)應(yīng)本征向量 x 的本征值。當(dāng)滿足式（ ）時(shí) , ? ?det 0AI??? （ ） 方程（ ）才會(huì)出現(xiàn)非零解。方程（ ）中， I為 n 維單位矩陣。 分解法在有限元問(wèn)題中的應(yīng)用可以推廣到廣義本征值問(wèn)題： Ax Bx?? （ ） 矩陣 B 可分解 B LLT? (L 為下三角 n 維矩陣 )，方程（ ）可變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形式 : 1T,TL AL y y y L x??? ?? （ ） 11 本章介紹了 Ansoft HFSS 軟件的背景和應(yīng)用，該軟件的理論基礎(chǔ)為有限元法，有限元法通過(guò)變分原理實(shí)現(xiàn)，結(jié)合該軟件闡述有限元法的求解過(guò)程。由于實(shí)際仿真時(shí)涉及的都是三維的，因此重點(diǎn)闡述三維求解理論。 12 第三章 微帶天線的基本理論和分析方法 微帶天線的結(jié)構(gòu)和分類 結(jié)構(gòu)最簡(jiǎn)單的微波天線 [5][6]是在一薄介質(zhì)基片上的一面上用光刻腐蝕等方法附上金屬輻射貼片，貼片導(dǎo)體通常是銅或者金，另一面附上一薄層金屬作為接地板，利用同軸線或微帶線對(duì)貼片饋電，這 就構(gòu)成了微帶天線。貼片的形狀多種多樣，若呈一個(gè)面積單元，則稱之為微帶貼片天線；若貼片是一個(gè)細(xì)長(zhǎng)的帶條就構(gòu)成微帶振子天線；若在接地板上刻出縫隙，在介質(zhì)基片的另一面印制微帶線并使其對(duì)縫隙饋電，這就構(gòu)成微帶縫隙天線。 按傳輸線可以工作在行波、駐波和行駐波三種工作狀態(tài)，對(duì)應(yīng)的天線一般可以工作在行波或者駐波狀態(tài)，因此可將微帶天線分為微帶駐波天線和微帶行波天線，對(duì)于前者，存有特定的諧振尺寸，故僅能在諧振頻率附近工作，其帶寬受到一定的限制，后者為保證天線工作在行波狀態(tài)，需要接匹配負(fù)載，其損耗相對(duì)來(lái)說(shuō)較大；按結(jié)構(gòu)特征來(lái)分類 ，又可把微帶天線分為微帶貼片天線和微帶縫隙天線。同時(shí)也可以根據(jù)貼片的幾何形狀進(jìn)行分類，可分為矩形、圓形、環(huán)形、星形和多邊形微帶天線等；按電磁波的極化方式分為線極化微帶天線、圓極化微帶天線和橢圓極化微帶天線等等。 圖 微帶天線結(jié)構(gòu) 本文主要研究微帶貼片天線，如圖 所示，它是由一塊厚度遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)的介質(zhì)板（稱為介質(zhì)基片）和（用印刷電路或微波集成技術(shù)）覆蓋在它的兩面上的金屬片構(gòu)成的 , 其中完全覆蓋介質(zhì)板一片稱為接地板 , 而尺寸可以和波長(zhǎng)相比擬的另一片稱為輻射元。有時(shí)介質(zhì)基片也被稱為襯底，一般來(lái)說(shuō)，為了 增強(qiáng)貼片邊緣的輻射場(chǎng)，介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)都。從幾何形狀上來(lái)看，微帶天線結(jié)構(gòu)都不復(fù)雜，然而產(chǎn)生的場(chǎng)在空間的分布卻需要嚴(yán)格的理論對(duì)其進(jìn)行分析，可見(jiàn)其空間場(chǎng)的復(fù)雜性。 13 微帶天線的輻射原理 為了說(shuō)明微帶天線的輻射原理，曾經(jīng)有三種經(jīng)典的理論，后面會(huì)有詳細(xì)說(shuō)明。以矩形貼片天線為例，可應(yīng)用傳輸線模型分析其輻射原理，將貼片、襯底和接地板等效為一段微帶傳輸線 ,其兩端處于開(kāi)路狀態(tài)。 令貼片的長(zhǎng) L , 寬 W , 襯底厚度 h 。 圖 圖 由傳輸線模型理論可知，襯底厚度 h ? ,即此時(shí)將電場(chǎng)量在 h 方向上可以看做幾乎不變化且均勻分布。電場(chǎng)量在 W 方向上也呈均勻分布，因此電場(chǎng)量只在 L 方向（ 2L ?? ）發(fā)生變化 , 如圖 所示。對(duì) W 方向的電場(chǎng)進(jìn)行分解，得到垂直接地板和平行接地板的分量，可見(jiàn)，二分量在遠(yuǎn)區(qū)某處進(jìn)行疊加時(shí)，兩垂直接地板的分量方向相反而相消，平行接地板的分量在遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)處同相疊加而增強(qiáng) , 從而可知微帶貼片在遠(yuǎn)區(qū)處的輻射場(chǎng)可以看做是由同相的兩個(gè)縫隙激勵(lì)而形成的。如圖 所示 , 電場(chǎng)在 W方向均勻不變其垂直于長(zhǎng)邊。令縫隙的等效寬度 lh?? ,則縫隙長(zhǎng) 度為 W ,兩個(gè)縫隙的距離為二分之一個(gè)介質(zhì)波長(zhǎng)（ 2L ?? ）。從上面分析中可以看出，貼片在遠(yuǎn)區(qū)的輻射場(chǎng)可看作縫隙組成二元陣的輻射場(chǎng)。 微帶天線的優(yōu)缺點(diǎn) 和